Trong video này, chúng ta
sẽ luyện tập thêm về cách xác định khi nào
nên dùng phép đổi biến số và chọn ra u 1 cách hợp lý.
Giả dụ như chúng ta có
tích phân chưa xác định của
logarit tự nhiên
của x,
tất cả mũ 10,
và đều trên x, nhân dx.
Vậy phép đổi biến số có áp dụng được không,
nếu có thì làm thế nào để tạo ra nó?
Mấu chốt thực hiện được điều đó là xem xem
ở đây có hàm và đạo hàm của nó không?
Bạn có thể ngay lập tức nhận ra
đạo hàm của logarit Nêpe
là 1 trên x.
Nói dễ hiểu hơn chút,
Tôi có thể viết cái này bằng tích phân của
logarit Nepe của x tất cả mũ 10
nhân 1 trên x dx.
Bài toán trở nên rõ ràng rồi
Chúng ta có hàm logarit Nepe
tất cả mũ 10
nhưng chúng ta cũng có đạo hàm của nó
ở ngay đây, 1 trên x.
Vậy chúng ta có thể thực hiện phương pháp này
Chúng ta có thể nói rằng u
tương đương logarit nêpe của x.
Và lý do tôi chọn logarit nêpe của x
là vì tôi phát hiện
đạo hàm chính xác của nó ở đây,
cái gì đó gần với đạo hàm của nó,
trong trường hợp này là đạo hàm chính xác của nó
Nên tôi có thể khẳng định
du trên dx
bằng với 1 trên x.
nghĩa là du
bằng 1 trên x nhân dx.
Vậy là chúng ta đã tìm ra được
Biểu thức ở dưới đây là du
còn bên cạnh là u của chúng ta.
Vậy cái này đã được đơn giản hóa thành
tích phân của
u mũ 10
nhân với du.
Bây giờ, bạn có thể tính ra tích phân này
tìm nguyên hàm ra,
và thay logarit nepe của x ngược trở lại
vào u, để tìm ra được kết quả cuối cùng của tích phân ban đầu.
Chúng ta cùng làm một ví dụ nữa
Giả sử chúng ta có
tích phân của,
một điều gì đó
thú vị hơn một chút.
Tích phân của tan của x dx.
Vậy phương pháp đổi biến số có áp dụng ở đây được không ?
Ban đầu, bạn có thể nghĩ đề bài cho
mỗi tan của x, còn đạo hàm của nó đâu?
Nhưng điều thú vị ở đây là
tan có thể viết lại theo sin và cosin.
Do đó, chúng ta có thể viết thành tích phân
của sin của x
trên cosin của x, nhân dx.
Và bạn có thể thắc mắc
dùng phương pháp đổi biến số ở đâu?
Có vài phương án như sau.
Bạn có thể nói đạo hàm của sin của x là cosin của x,
nhưng bây giờ bạn đang chia cho đạo hàm
trái ngược với việc nhân nó lên.
Nhưng có cách thú vị hơn đó là
đạo hàm của cosin của x là âm sin của x.
Chúng ta không có âm sin của x,
nhưng chúng ta có thể dùng mánh khóe một chút.
Chúng ta có thể nhân với âm 1 2 lần.
Vậy chúng ta có âm của âm sin của x,
Tôi để 1 trong 2 cái âm 1
bên ngoài tích phân,
nhờ áp dụng tính chất tích phân.
Điều này là tương đương.
Tôi có thể đặt dấu âm ra ngoài,
lẫn bên trong
để nó trở thành đạo hàm của cosin của x.
Bây giờ thì bài toán trở nên thú vị.
Để tôi viết lại tích phân này
Nó sẽ tương đương với
âm tích phân,
của 1 trên cosin của x,
nhân âm sin của x dx.
Đến bước này thì trong đầu bạn có nảy ra u là gì không?
Tôi có cosin của x ở mẫu số,
và tôi có đạo hàm của nó,
vậy giả dụ tôi đặt u tương đương
với cosin của x thì sao,
và du trên dx
thì bằng âm sin của x
Hay tôi có thể viết
du bằng âm sin của x dx.
Như vậy là tôi đã tìm ra du rồi
và đương nhiên đây là u.
Vậy cả biểu thức này đã rút gọn thành
kết quả là
âm của
tích phân của 1 trên u,
1 trên u nhân du.
Và đây là tích phân dễ tính hơn rất nhiều,
Khi bạn giải nó,
bạn chỉ cần thay cosin của x trở lại vào u