이번 시간에는
언제 u를 이용한 치환을 하고
적절한 u를 고르는 방법을 더 연습할 것입니다
다음과 같은 부정적분이 있습니다
(ln(x))^10 / x · dx
u를 이용한 치환이 되나요?
된다면 어떻게 치환하나요?
u를 이용한 치환의 핵심은
함수와 그 도함수가 있냐는 것입니다
여러분도 바로 알았다시피
lnx의 도함수는
1/x입니다
명확하게 만들어 보자면
(ln(x))^10 · 1/x · dx
이제 잘 보이네요
함수 lnx를
열 번 제곱하였습니다
그러나 여기에 도함수도 존재합니다
1/x이죠
따라서 치환할 수 있습니다
u = lnx 라고 할 수 있습니다
lnx를 고른 이유는
도함수가 여기 있다는 것을
확인할 수 있기 때문이죠
따라서
du/dx = 1/x 이고
즉 du = 1/x · dx 입니다
여기 있네요
이 부분이 du이고
이 부분은 u입니다
따라서 이렇게 간단히 할 수 있습니다
∫u^10·du
이제 이 식을 계산하고
부정적분을 구한 뒤
u를 lnx로 다시 되돌려서
정확한 부정적분 값을 계산합니다
다른 문제를 풀어보죠
다음 식이 있습니다
재밌는 것을 해보죠
∫tanx dx
u를 이용한 치환이 가능한가요?
우선 tanx가 있습니다
이 도함수는 무엇일까요?
하나 흥미로운 점은
tan를 sin과 cos로 나타낼 수 있다는 것입니다
따라서 ∫sinx/cosx dx 입니다
이제 물어보겠죠
무슨 식을 u로 치환하나요?
여러 방법이 있습니다
sinx의 도함수는 cosx지만
여기서는 도함수를 나눕니다
위에서는 반대로 곱했죠
하지만 더 재밌는 사실은
cosx의 도함수는 -sinx라는 것입니다
-sinx는 없지만
살짝 변형시켜 주면 됩니다
-1을 두 번 곱하면 되죠
따라서 -(-sinx)라고 할 수 있습니다
마이너스 부호 하나는
적분 밖에 고정시킵니다
적분 성질을 바로 적용할 수 있게 말이죠
이것은 동일합니다
적분 밖과 안에 마이너스 부호를 두었으므로
이는 cosx의 도함수가 됩니다
되게 재밌네요
이 식을 다시 나타내 봅시다
다음과 같습니다
-∫1/cosx (-sinx) dx
어떤 값을 u로 할지 감이 오시나요?
분모에 cosx가 있고
도함수도 있으므로
u를 cosx로 하면 어떨까요?
u = cosx 라면
du/dx = -sinx 입니다
혹은
du = -sinx dx 입니다
이 부분은 du이고
이 부분은 당연히 u가 됩니다
전체 식을 다음과 같이 간단히 합니다
-∫1/u du
계산하기 훨씬 쉽습니다
이 식을 계산한 뒤
u를 cosx로 되돌려줍니다