WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.153
V tomto videu se ještě víc
procvičíme použití substituce,

00:00:03.153 --> 00:00:07.079
kdy se hodí ji použít a jak
správně definovat proměnnou "u".

00:00:07.079 --> 00:00:20.254
Mějme neurčitý integrál (přirozeného
logaritmu z x) na desátou,

00:00:20.254 --> 00:00:23.588
to celé děleno x dx.

00:00:23.588 --> 00:00:28.219
Hodí se použít substituci a pokud ano,
tak jak definovat proměnnou "u"?

00:00:28.219 --> 00:00:34.583
Klíč k úspěchu je vidět, jestli někde ve
výrazu mám funkci a také i její derivaci.

00:00:34.583 --> 00:00:36.112
A možná jste rovnou poznali,

00:00:36.112 --> 00:00:38.762
že derivace přirozeného
logaritmu z x je 1 lomeno x.

00:00:38.762 --> 00:00:39.901
Aby to bylo lépe vidět,

00:00:39.901 --> 00:00:50.368
tak můžu tento integrál zapsat jako
(ln(x) na desátou) krát 1 lomeno x dx.

00:00:50.368 --> 00:00:51.842
Nyní to je vidět lépe.

00:00:51.842 --> 00:00:55.735
Máme funkci přirozený logaritmus z x
umocněnou na desátou,

00:00:55.735 --> 00:00:59.232
ale taky tady máme
její derivaci, 1 lomeno x.

00:00:59.232 --> 00:01:01.228
Takže můžeme použít substituci.

00:01:01.228 --> 00:01:06.065
Můžeme definovat "u" jako
přirozený logaritmus z x.

00:01:06.065 --> 00:01:13.073
Vybral jsem přirozený logaritmus z x,
protože vidím tady jeho derivaci.

00:01:13.073 --> 00:01:20.903
A pak můžu říct, že
du lomeno dx je rovno 1 lomeno x.

00:01:20.903 --> 00:01:26.678
Což znamená, že du
je rovno 1 lomeno x dx.

00:01:26.678 --> 00:01:28.665
A tady to máme.

00:01:28.665 --> 00:01:35.328
Toto je du, a toto je naše "u".

00:01:35.328 --> 00:01:47.486
Krásně se to zjednodušilo na
integrál z (u na desátou) du.

00:01:47.486 --> 00:01:55.313
Dále bychom našli primitivní funkci a
pak udělali zpětnou substituci ln(x) za u,

00:01:55.313 --> 00:01:58.608
abychom získali neurčitý integrál
vzhledem k proměnné x.

00:01:58.608 --> 00:02:00.461
Pojďme na další.

00:02:00.461 --> 00:02:05.796
Mějme integrál…

00:02:05.796 --> 00:02:09.732
Zkusme udělat něco zajímavého.

00:02:09.732 --> 00:02:15.264
Zkusme integrovat
tangens z x dx.

00:02:15.264 --> 00:02:18.307
Hodí se sem substituce?

00:02:18.307 --> 00:02:22.010
Nejdřív si řeknete, že prostě máme
tang(x), tak kde je nějaká derivace?

00:02:22.010 --> 00:02:27.002
A to zajímavé právě je, že můžeme
tangens přepsat pomocí sinu a kosinu.

00:02:27.002 --> 00:02:35.969
Takže to můžeme zapsat jako
integrál ze sin(x) lomeno cos(x) dx.

00:02:35.969 --> 00:02:39.381
A nyní si možná říkáte,
na co použijeme substituci?

00:02:39.381 --> 00:02:41.958
Můžeme se na to podívat
z několik pohledů.

00:02:41.958 --> 00:02:44.843
Můžeme říci, že derivace sin(x) je cos(x),

00:02:44.843 --> 00:02:48.705
ale to pak dělíme derivací,
místo abychom násobili.

00:02:48.705 --> 00:02:53.959
Zajímavější je říct, že
derivace cos(x) je −sin(x).

00:02:53.959 --> 00:02:57.416
Sice nemáme −sin(x),
ale to není tak těžké získat.

00:02:57.416 --> 00:03:00.068
Prostě budeme dvakrát násobit −1.

00:03:00.068 --> 00:03:06.400
Můžeme říct, že máme −(−(sin(x))
a první minus strčit před integrál.

00:03:06.400 --> 00:03:09.660
To plyne z vlastností integrálů.

00:03:09.660 --> 00:03:12.567
Dáme jedno znaménko minus ven
a jedno znaménko minus dovnitř,

00:03:12.567 --> 00:03:15.597
takže získáme −(cos(x)).

00:03:15.597 --> 00:03:17.399
A teď to je zajímavé.

00:03:17.399 --> 00:03:18.671
Ještě to trochu upravím.

00:03:18.671 --> 00:03:32.959
Je to rovno minus integrál
z 1 lomeno cos(x) krát (−sin(x)) dx.

00:03:32.959 --> 00:03:36.713
Napadne vás nyní, jak bychom
mohli definovat proměnnou "u"?

00:03:36.713 --> 00:03:41.445
Ve jmenovateli máme cos(x),
a máme jeho derivaci,

00:03:41.445 --> 00:03:45.190
tak co kdybychom
položili "u" rovno cos(x)?

00:03:45.190 --> 00:03:47.992
"U" je rovno cos(x),

00:03:47.992 --> 00:03:54.268
pak du lomeno dx je rovno −sin(x).

00:03:54.268 --> 00:04:01.329
Nebo můžeme říci, že
du je rovno −sin(x) dx.

00:04:01.329 --> 00:04:09.494
Takže máme du a "u".

00:04:09.494 --> 00:04:24.680
Takže jsme to celé zjednodušili
na neurčitý integrál z 1 lomeno "u" du.

00:04:24.680 --> 00:04:27.675
Což je mnohem jednodušší spočítat,

00:04:27.675 --> 00:04:34.000
a poté musíme opět udělat zpětnou
substituci a dosadit cos(x) za u.