V tomto videu se ještě víc procvičíme použití substituce,
kdy se hodí ji použít a jak správně definovat proměnnou "u".
Mějme neurčitý integrál (přirozeného logaritmu z x) na desátou,
to celé děleno x dx.
Hodí se použít substituci a pokud ano, tak jak definovat proměnnou "u"?
Klíč k úspěchu je vidět, jestli někde ve výrazu mám funkci a také i její derivaci.
A možná jste rovnou poznali,
že derivace přirozeného logaritmu z x je 1 lomeno x.
Aby to bylo lépe vidět,
tak můžu tento integrál zapsat jako (ln(x) na desátou) krát 1 lomeno x dx.
Nyní to je vidět lépe.
Máme funkci přirozený logaritmus z x umocněnou na desátou,
ale taky tady máme její derivaci, 1 lomeno x.
Takže můžeme použít substituci.
Můžeme definovat "u" jako přirozený logaritmus z x.
Vybral jsem přirozený logaritmus z x, protože vidím tady jeho derivaci.
A pak můžu říct, že du lomeno dx je rovno 1 lomeno x.
Což znamená, že du je rovno 1 lomeno x dx.
A tady to máme.
Toto je du, a toto je naše "u".
Krásně se to zjednodušilo na integrál z (u na desátou) du.
Dále bychom našli primitivní funkci a pak udělali zpětnou substituci ln(x) za u,
abychom získali neurčitý integrál vzhledem k proměnné x.
Pojďme na další.
Mějme integrál…
Zkusme udělat něco zajímavého.
Zkusme integrovat tangens z x dx.
Hodí se sem substituce?
Nejdřív si řeknete, že prostě máme tang(x), tak kde je nějaká derivace?
A to zajímavé právě je, že můžeme tangens přepsat pomocí sinu a kosinu.
Takže to můžeme zapsat jako integrál ze sin(x) lomeno cos(x) dx.
A nyní si možná říkáte, na co použijeme substituci?
Můžeme se na to podívat z několik pohledů.
Můžeme říci, že derivace sin(x) je cos(x),
ale to pak dělíme derivací, místo abychom násobili.
Zajímavější je říct, že derivace cos(x) je −sin(x).
Sice nemáme −sin(x), ale to není tak těžké získat.
Prostě budeme dvakrát násobit −1.
Můžeme říct, že máme −(−(sin(x)) a první minus strčit před integrál.
To plyne z vlastností integrálů.
Dáme jedno znaménko minus ven a jedno znaménko minus dovnitř,
takže získáme −(cos(x)).
A teď to je zajímavé.
Ještě to trochu upravím.
Je to rovno minus integrál z 1 lomeno cos(x) krát (−sin(x)) dx.
Napadne vás nyní, jak bychom mohli definovat proměnnou "u"?
Ve jmenovateli máme cos(x), a máme jeho derivaci,
tak co kdybychom položili "u" rovno cos(x)?
"U" je rovno cos(x),
pak du lomeno dx je rovno −sin(x).
Nebo můžeme říci, že du je rovno −sin(x) dx.
Takže máme du a "u".
Takže jsme to celé zjednodušili na neurčitý integrál z 1 lomeno "u" du.
Což je mnohem jednodušší spočítat,
a poté musíme opět udělat zpětnou substituci a dosadit cos(x) za u.