1
00:00:00,000 --> 00:00:03,153
V tomto videu se ještě víc
procvičíme použití substituce,

2
00:00:03,153 --> 00:00:07,079
kdy se hodí ji použít a jak
správně definovat proměnnou "u".

3
00:00:07,079 --> 00:00:20,254
Mějme neurčitý integrál (přirozeného
logaritmu z x) na desátou,

4
00:00:20,254 --> 00:00:23,588
to celé děleno x dx.

5
00:00:23,588 --> 00:00:28,219
Hodí se použít substituci a pokud ano,
tak jak definovat proměnnou "u"?

6
00:00:28,219 --> 00:00:34,583
Klíč k úspěchu je vidět, jestli někde ve
výrazu mám funkci a také i její derivaci.

7
00:00:34,583 --> 00:00:36,112
A možná jste rovnou poznali,

8
00:00:36,112 --> 00:00:38,762
že derivace přirozeného
logaritmu z x je 1 lomeno x.

9
00:00:38,762 --> 00:00:39,901
Aby to bylo lépe vidět,

10
00:00:39,901 --> 00:00:50,368
tak můžu tento integrál zapsat jako
(ln(x) na desátou) krát 1 lomeno x dx.

11
00:00:50,368 --> 00:00:51,842
Nyní to je vidět lépe.

12
00:00:51,842 --> 00:00:55,735
Máme funkci přirozený logaritmus z x
umocněnou na desátou,

13
00:00:55,735 --> 00:00:59,232
ale taky tady máme
její derivaci, 1 lomeno x.

14
00:00:59,232 --> 00:01:01,228
Takže můžeme použít substituci.

15
00:01:01,228 --> 00:01:06,065
Můžeme definovat "u" jako
přirozený logaritmus z x.

16
00:01:06,065 --> 00:01:13,073
Vybral jsem přirozený logaritmus z x,
protože vidím tady jeho derivaci.

17
00:01:13,073 --> 00:01:20,903
A pak můžu říct, že
du lomeno dx je rovno 1 lomeno x.

18
00:01:20,903 --> 00:01:26,678
Což znamená, že du
je rovno 1 lomeno x dx.

19
00:01:26,678 --> 00:01:28,665
A tady to máme.

20
00:01:28,665 --> 00:01:35,328
Toto je du, a toto je naše "u".

21
00:01:35,328 --> 00:01:47,486
Krásně se to zjednodušilo na
integrál z (u na desátou) du.

22
00:01:47,486 --> 00:01:55,313
Dále bychom našli primitivní funkci a
pak udělali zpětnou substituci ln(x) za u,

23
00:01:55,313 --> 00:01:58,608
abychom získali neurčitý integrál
vzhledem k proměnné x.

24
00:01:58,608 --> 00:02:00,461
Pojďme na další.

25
00:02:00,461 --> 00:02:05,796
Mějme integrál…

26
00:02:05,796 --> 00:02:09,732
Zkusme udělat něco zajímavého.

27
00:02:09,732 --> 00:02:15,264
Zkusme integrovat
tangens z x dx.

28
00:02:15,264 --> 00:02:18,307
Hodí se sem substituce?

29
00:02:18,307 --> 00:02:22,010
Nejdřív si řeknete, že prostě máme
tang(x), tak kde je nějaká derivace?

30
00:02:22,010 --> 00:02:27,002
A to zajímavé právě je, že můžeme
tangens přepsat pomocí sinu a kosinu.

31
00:02:27,002 --> 00:02:35,969
Takže to můžeme zapsat jako
integrál ze sin(x) lomeno cos(x) dx.

32
00:02:35,969 --> 00:02:39,381
A nyní si možná říkáte,
na co použijeme substituci?

33
00:02:39,381 --> 00:02:41,958
Můžeme se na to podívat
z několik pohledů.

34
00:02:41,958 --> 00:02:44,843
Můžeme říci, že derivace sin(x) je cos(x),

35
00:02:44,843 --> 00:02:48,705
ale to pak dělíme derivací,
místo abychom násobili.

36
00:02:48,705 --> 00:02:53,959
Zajímavější je říct, že
derivace cos(x) je −sin(x).

37
00:02:53,959 --> 00:02:57,416
Sice nemáme −sin(x),
ale to není tak těžké získat.

38
00:02:57,416 --> 00:03:00,068
Prostě budeme dvakrát násobit −1.

39
00:03:00,068 --> 00:03:06,400
Můžeme říct, že máme −(−(sin(x))
a první minus strčit před integrál.

40
00:03:06,400 --> 00:03:09,660
To plyne z vlastností integrálů.

41
00:03:09,660 --> 00:03:12,567
Dáme jedno znaménko minus ven
a jedno znaménko minus dovnitř,

42
00:03:12,567 --> 00:03:15,597
takže získáme −(cos(x)).

43
00:03:15,597 --> 00:03:17,399
A teď to je zajímavé.

44
00:03:17,399 --> 00:03:18,671
Ještě to trochu upravím.

45
00:03:18,671 --> 00:03:32,959
Je to rovno minus integrál
z 1 lomeno cos(x) krát (−sin(x)) dx.

46
00:03:32,959 --> 00:03:36,713
Napadne vás nyní, jak bychom
mohli definovat proměnnou "u"?

47
00:03:36,713 --> 00:03:41,445
Ve jmenovateli máme cos(x),
a máme jeho derivaci,

48
00:03:41,445 --> 00:03:45,190
tak co kdybychom
položili "u" rovno cos(x)?

49
00:03:45,190 --> 00:03:47,992
"U" je rovno cos(x),

50
00:03:47,992 --> 00:03:54,268
pak du lomeno dx je rovno −sin(x).

51
00:03:54,268 --> 00:04:01,329
Nebo můžeme říci, že
du je rovno −sin(x) dx.

52
00:04:01,329 --> 00:04:09,494
Takže máme du a "u".

53
00:04:09,494 --> 00:04:24,680
Takže jsme to celé zjednodušili
na neurčitý integrál z 1 lomeno "u" du.

54
00:04:24,680 --> 00:04:27,675
Což je mnohem jednodušší spočítat,

55
00:04:27,675 --> 00:04:34,000
a poté musíme opět udělat zpětnou
substituci a dosadit cos(x) za u.