0:00:00.000,0:00:03.153
V tomto videu se ještě víc[br]procvičíme použití substituce,

0:00:03.153,0:00:07.079
kdy se hodí ji použít a jak[br]správně definovat proměnnou "u".

0:00:07.079,0:00:20.254
Mějme neurčitý integrál (přirozeného[br]logaritmu z x) na desátou,

0:00:20.254,0:00:23.588
to celé děleno x dx.

0:00:23.588,0:00:28.219
Hodí se použít substituci a pokud ano,[br]tak jak definovat proměnnou "u"?

0:00:28.219,0:00:34.583
Klíč k úspěchu je vidět, jestli někde ve[br]výrazu mám funkci a také i její derivaci.

0:00:34.583,0:00:36.112
A možná jste rovnou poznali,

0:00:36.112,0:00:38.762
že derivace přirozeného[br]logaritmu z x je 1 lomeno x.

0:00:38.762,0:00:39.901
Aby to bylo lépe vidět,

0:00:39.901,0:00:50.368
tak můžu tento integrál zapsat jako[br](ln(x) na desátou) krát 1 lomeno x dx.

0:00:50.368,0:00:51.842
Nyní to je vidět lépe.

0:00:51.842,0:00:55.735
Máme funkci přirozený logaritmus z x[br]umocněnou na desátou,

0:00:55.735,0:00:59.232
ale taky tady máme[br]její derivaci, 1 lomeno x.

0:00:59.232,0:01:01.228
Takže můžeme použít substituci.

0:01:01.228,0:01:06.065
Můžeme definovat "u" jako[br]přirozený logaritmus z x.

0:01:06.065,0:01:13.073
Vybral jsem přirozený logaritmus z x,[br]protože vidím tady jeho derivaci.

0:01:13.073,0:01:20.903
A pak můžu říct, že[br]du lomeno dx je rovno 1 lomeno x.

0:01:20.903,0:01:26.678
Což znamená, že du[br]je rovno 1 lomeno x dx.

0:01:26.678,0:01:28.665
A tady to máme.

0:01:28.665,0:01:35.328
Toto je du, a toto je naše "u".

0:01:35.328,0:01:47.486
Krásně se to zjednodušilo na[br]integrál z (u na desátou) du.

0:01:47.486,0:01:55.313
Dále bychom našli primitivní funkci a[br]pak udělali zpětnou substituci ln(x) za u,

0:01:55.313,0:01:58.608
abychom získali neurčitý integrál[br]vzhledem k proměnné x.

0:01:58.608,0:02:00.461
Pojďme na další.

0:02:00.461,0:02:05.796
Mějme integrál…

0:02:05.796,0:02:09.732
Zkusme udělat něco zajímavého.

0:02:09.732,0:02:15.264
Zkusme integrovat[br]tangens z x dx.

0:02:15.264,0:02:18.307
Hodí se sem substituce?

0:02:18.307,0:02:22.010
Nejdřív si řeknete, že prostě máme[br]tang(x), tak kde je nějaká derivace?

0:02:22.010,0:02:27.002
A to zajímavé právě je, že můžeme[br]tangens přepsat pomocí sinu a kosinu.

0:02:27.002,0:02:35.969
Takže to můžeme zapsat jako[br]integrál ze sin(x) lomeno cos(x) dx.

0:02:35.969,0:02:39.381
A nyní si možná říkáte,[br]na co použijeme substituci?

0:02:39.381,0:02:41.958
Můžeme se na to podívat[br]z několik pohledů.

0:02:41.958,0:02:44.843
Můžeme říci, že derivace sin(x) je cos(x),

0:02:44.843,0:02:48.705
ale to pak dělíme derivací,[br]místo abychom násobili.

0:02:48.705,0:02:53.959
Zajímavější je říct, že[br]derivace cos(x) je −sin(x).

0:02:53.959,0:02:57.416
Sice nemáme −sin(x),[br]ale to není tak těžké získat.

0:02:57.416,0:03:00.068
Prostě budeme dvakrát násobit −1.

0:03:00.068,0:03:06.400
Můžeme říct, že máme −(−(sin(x))[br]a první minus strčit před integrál.

0:03:06.400,0:03:09.660
To plyne z vlastností integrálů.

0:03:09.660,0:03:12.567
Dáme jedno znaménko minus ven[br]a jedno znaménko minus dovnitř,

0:03:12.567,0:03:15.597
takže získáme −(cos(x)).

0:03:15.597,0:03:17.399
A teď to je zajímavé.

0:03:17.399,0:03:18.671
Ještě to trochu upravím.

0:03:18.671,0:03:32.959
Je to rovno minus integrál[br]z 1 lomeno cos(x) krát (−sin(x)) dx.

0:03:32.959,0:03:36.713
Napadne vás nyní, jak bychom[br]mohli definovat proměnnou "u"?

0:03:36.713,0:03:41.445
Ve jmenovateli máme cos(x),[br]a máme jeho derivaci,

0:03:41.445,0:03:45.190
tak co kdybychom[br]položili "u" rovno cos(x)?

0:03:45.190,0:03:47.992
"U" je rovno cos(x),

0:03:47.992,0:03:54.268
pak du lomeno dx je rovno −sin(x).

0:03:54.268,0:04:01.329
Nebo můžeme říci, že[br]du je rovno −sin(x) dx.

0:04:01.329,0:04:09.494
Takže máme du a "u".

0:04:09.494,0:04:24.680
Takže jsme to celé zjednodušili[br]na neurčitý integrál z 1 lomeno "u" du.

0:04:24.680,0:04:27.675
Což je mnohem jednodušší spočítat,

0:04:27.675,0:04:34.000
a poté musíme opět udělat zpětnou[br]substituci a dosadit cos(x) za u.