확률 1모듈에서 나온 몇 가지 문제들을 풀어봅시다
빨간 구슬 9개, 파란 구슬 2개
초록 구슬 3개가 들어있는 가방이 있습니다
가방에서 파랑색이 아닌 구슬을
임의로 뽑는 확률은 얼마일까요?
가방을 그려봅시다
여기 가방이 있고
투명하다고 가정하면
화병 같이 생겼습니다
빨간 구슬 9개가 있으니까 9개를 그려보겠습니다
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9개가 있습니다
주황색 같지만 그래도 비슷합니다
파란 구슬 2개니까 1개 2개 있습니다
초록 구슬은 3개니까 그려보겠습니다
1개, 2개, 3개
임의로 파란색이 아닌 구슬을 뽑을
확률은 얼마일까요?
구슬을 섞고 나면 하나를 뽑을 확률은 같습니다
다른 식으로 생각하면
모든 경우의 수 중에서 몇 가지의 경우의 수가 조건을 충족할까요?
먼저 총 경우의 수를 생각해봅시다
몇 가지의 구슬을 뽑을 수 있을까요?
바로 총 구슬 개수입니다
총 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 12, 13, 14개의 구슬들이 있습니다
이게 총 경우의 수입니다
이제 총 경우의 수의 얼마만큼이
조건에 충족하는지 생각해봅시다
14를 구하는 다른 방법은 9 + 2 + 3을 해도 됩니다
그래서 총 경우의 수 중에 몇 가지가
조건에 맞을까요?
조건을 다시 상기하자면 파란색이 아닌 구슬을 뽑는겁니다
다른 식으로 생각하면 빨강이나 초록 구슬을 뽑는겁니다
왜냐하면 파랑이 아닌 두 색깔은
빨강과 초록밖에 없기 때문입니다
그럼 파랑이 아닌 구슬은 몇 개가 있을까요?
여러 방법으로 생각할 수 있는데
총 14개의 구슬이 있고
2개가 파란색이니까
파랑이 아닌 구슬은 14 - 2인 12개가 있습니다
아니면 직접 셀 수도 있습니다
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10, 11, 12
12개의 청색이 아닌 구슬이 있습니다
이게 총 경우의 수 중, 조건을 충족하는 경우의 수입니다
12랑 14가 2로 나눠질 수 있기 때문에
분자와 분모를 2로 나누면
6/7이 됩니다
그래서 가방에서 청색이 아닌 구슬을 고를 확률은 6/7 입니다
다른 문제를 풀어봅시다
만약에 다음 목록에서 숫자를 임의로 뽑는다면
그 숫자가 5의 배수일 확률은 얼마일까요?
이번에도 모든 가능한 경우의 수 중
몇 가지 경우가 해당 조건에 맞는지를 찾아야하는데
조건은 5의 배수인 수입니다
총 경우의 수는 얼마일까요?
생각해봅시다
얼마가 있을까요?
총 경우의 수는 총 숫자의 개수니까
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
총 12개의 경우의 수가 있습니다
12개 중에 하나를 뽑을 확률은 같습니다
12개의 숫자 중에 몇 개가 5의 배수일까요?
다른 색으로 해봅시다
5의 배수인 숫자들을 골라봅시다
32는 5의 배수가 아니고 49도 5의 배수가 아니고
55는 5의 배수입니다
결국 1의 자리가
5나 0인 숫자를 찾는겁니다
55는 5의 배수이고 30도 5의 배수입니다
6 × 5니까
55는 11 × 5이고
56과 28은 아닙니다
이 값은 5 × 10이고 이 값은 8 × 5인데
똑같은 숫자가 있습니다 이 값도 8 × 5입니다
그래서 이 숫자들은 5의 배수이고
45는 9 × 5이고
3은 5의 배수가 아니고
25는 5 × 5입니다
5의 배수인 숫자들을 모두 동그라미 쳤습니다
총 가능한 숫자들 중에
5의 배수 조건에 맞는 경우의 수는
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7가지가 있습니다
총 7개가 조건을 만족시킵니다
이 예시에서는 5의 배수인 숫자를
뽑을 확률은 7/12입니다
다른 문제를 풀어봅시다
원둘레가 36π 입니다
원을 그려봅시다
원둘레가 36π 이고
원을 이렇게 그려보겠습니다
더 깔끔하게 그려보겠습니다
원이 이렇게 생겼다고 합시다
문제에서는 흥미롭게도
원둘레를 36π 라고 주어줬습니다
그리고 이 원 안에
넓이가 16π인 작은 원이 있습니다
큰 원 안에 넓이가
16π인 작은 원이 있습니다
큰 원 안에 점을 임의로 하나 정합니다
고른 점이 작은 원 안에 있을 확률은 얼마일까요?
흥미로운 점이 있는데
무한개의 점이
두 원 안에 있을 수 있는데
첫 예시에서 본
공이나 구슬처럼 셀 수 있는게 아닙니다
원 안에 무한개의 점을
뽑을 수 있습니다
그래서 점이 작은 원 안에 있을 확률은
큰 원에 있는 점들이 작은 원안에 있을 백분율을 구하는 것입니다
다른 방법으로 생각하면
큰 원에서 점을 골랐을 때
작은 원에도 있을 확률인데
큰 원에 중 몇 퍼센트가
작은 원인지를 물어보는 것과 같습니다
조금 헷갈릴 수도 있는데
먼저 두 원의 넓이를 찾은 다음에
비율을 구할겁니다
문제에 36π 를 쓰고 싶을 수도 있는데
이게 원둘레라는 점을 기억하고
두 원의 넓이를 구해야 합니다
넓이 공식은 πr² 이니까
반지름을 구해야 됩니다
반지름은 원둘레에서 알아낼 수 있는데
원둘레는 2 × π × 반지름입니다
주어진 원둘레 36π가
2 × π × 반지름이고
양쪽을 2π로 나누면 왼쪽에는
36 / 2는 18인데, π는 상쇄되고
큰 원의 반지름이 18인 것을 구했습니다
이제 넓이를 구하자면
넓이는 πr² 이니까
π 곱하기 18² 입니다
18의 제곱을 구해봅시다
18 곱하기 18은, 8 곱하기 8은 64, 8 곱하기 1은
8 더하기 6은 14인데
이제 십의 자리니까 여기에 0을 넣고, 1 × 8은 8이고
1 × 1은 1이고
저게 사실은 10 × 10여서 100이 나옵니다
4 + 0은 4이고 4 + 8은 12이고
1 + 1 + 1은 3이니까, 324 입니다
그래서 넓이는 π × 324
또는 324π입니다
그래서 큰 원의 넓이는
노랑색으로 칠한 부분과
주황색 원을 포함해서
이 부분의 넓이는
324π입니다
큰 원에서 고른 점이
작은 원에도 있을 확률은
작은 원이 차지하는 큰 원에서의 비율입니다
그래서 점이 작은 원안에 있을 확률은
이 부분을 괄호 안에 넣겠습니다
이 확률은
큰 원 안에 작은 원의 비율과 같은데
다른 말로 큰 원의 넓이분의
작은 원의 넓이라고 할 수 있습니다
그러면 324π 분의 16π가 됩니다
π는 상쇄되고 분자 분모가 4로 나뉘어집니다
분자를 4로 나누면 4이고
분모를 4로 나누면 얼마일까요?
320에 4가 80번 들어가고 4에 한 번 들어가니까
81입니다
이 그림은 비율을 잘 설명해주지 않습니다
이 넓이는 비율에 비해 지금 너무 큽니다
임의로 고른 점이 작은 원에도 있을 확률은
넓이의 비율인데 작은 원의 넓이 대 큰 원의 넓이인데
답은 4/81입니다