WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.830
現在有函數f(x)=-x+4

00:00:00.830 --> 00:00:05.770
且其曲線已經在坐標平面上畫出來了

00:00:05.770 --> 00:00:08.460
我們試著求一下其反函數

00:00:08.460 --> 00:00:11.690
要求反函數

00:00:11.690 --> 00:00:14.770
我常做的是設變量y

00:00:14.770 --> 00:00:18.590
y=f(x) 或者寫成

00:00:18.590 --> 00:00:22.130
y=-x+4

00:00:22.130 --> 00:00:25.040
現在 我們用x表示了y

00:00:25.040 --> 00:00:26.750
爲了求反函數 要反過來

00:00:26.750 --> 00:00:29.600
用y表示x

00:00:29.600 --> 00:00:31.570
兩邊同時減4

00:00:31.570 --> 00:00:36.160
得到y-4=-x

00:00:36.160 --> 00:00:39.000
要求出x

00:00:39.000 --> 00:00:41.960
可以對方程兩邊

00:00:41.960 --> 00:00:47.530
同時乘以-1

00:00:47.530 --> 00:00:50.390
得到-y+4=x

00:00:50.390 --> 00:00:52.770
因爲我們習慣於

00:00:52.770 --> 00:00:55.620
把自變量寫在左邊

00:00:55.620 --> 00:00:58.300
因此可以改寫成x=-y+4

00:00:58.300 --> 00:01:06.840
還有另一種寫法

00:01:06.840 --> 00:01:09.470
就是f^(-1) (y)=-y+4

00:01:09.470 --> 00:01:13.360
這個就是反函數

00:01:13.360 --> 00:01:14.950
我們把它寫成了y的函數

00:01:14.950 --> 00:01:16.080
爲了得到x的函數 我們可以把y命名爲x

00:01:16.080 --> 00:01:23.120
我們來做一下

00:01:23.120 --> 00:01:25.780
把y重命名爲x

00:01:25.780 --> 00:01:27.540
得到f^(-1) (x)=-x+4

00:01:27.540 --> 00:01:30.730
這兩個函數是等價的

00:01:30.730 --> 00:01:31.760
在這裡我們用y表示自變量

00:01:31.760 --> 00:01:34.660
或者說是輸入變量

00:01:34.660 --> 00:01:37.840
在這兒則是用x 不過這兩者是完全一樣的

00:01:37.840 --> 00:01:40.220
現在 爲了有趣 我們畫出反函數的曲線

00:01:40.220 --> 00:01:42.190
看看它和這條曲線之間的聯係

00:01:42.190 --> 00:01:44.250
如果看這個函數 它和原函數看起來完全一樣

00:01:44.250 --> 00:01:45.510
都是-x+4

00:01:45.510 --> 00:01:47.010
是同一個函數

00:01:47.010 --> 00:01:48.395
我們看一下 如果我們-- y的截距是4

00:01:48.395 --> 00:01:51.630
這兩條曲線應該是一樣的

00:01:51.630 --> 00:01:52.950
這函數與自己互成反函數

00:01:52.950 --> 00:01:56.810
如果要畫出來

00:01:56.810 --> 00:01:58.990
應該把它畫到這條線上

00:01:58.990 --> 00:01:59.930
有幾種方法思考這一情況

00:01:59.930 --> 00:02:02.560
在第一個反函數的影片裏

00:02:02.560 --> 00:02:04.730
我講過原函數和反函數是--

00:02:04.730 --> 00:02:07.530
它們是關於y=x對稱的

00:02:07.530 --> 00:02:10.390
那麽曲線y=x在哪呢？

00:02:10.390 --> 00:02:12.030
y=x是這樣子的

00:02:12.030 --> 00:02:14.220
而y=-x+4實際上是垂直於

00:02:14.220 --> 00:02:16.445
y=x的 所以如果取對稱

00:02:16.445 --> 00:02:20.540
實際上就是把它翻過來

00:02:20.540 --> 00:02:25.710
是同一條曲線

00:02:25.710 --> 00:02:27.780
自己是自己的映射

00:02:27.780 --> 00:02:29.830
現在我們來確保這是正確的

00:02:29.830 --> 00:02:32.670
當我們討論這個函數時

00:02:32.670 --> 00:02:34.470
如果代入2 會由函數映射成2

00:02:34.470 --> 00:02:38.700
代入4 得到0

00:02:38.700 --> 00:02:43.480
如果反過來會怎樣？

00:02:43.480 --> 00:02:48.750
輸入是2

00:02:48.750 --> 00:02:50.370
兩種方向輸出都是2 這樣可以講得通

00:02:50.370 --> 00:02:54.460
對於原函數 4被映射成0

00:02:54.460 --> 00:02:55.870
對於反函數 0被映射成4

00:02:55.870 --> 00:02:59.180
所以這是完全正確的

00:02:59.180 --> 00:03:02.320
換種方式思考

00:03:02.320 --> 00:03:03.710
對於原函數-- 我把它寫下來

00:03:03.710 --> 00:03:04.610
你們可能對於這很熟悉了 不過僅僅是以防萬一

00:03:04.610 --> 00:03:07.770
寫出來可能會有幫助的

00:03:07.770 --> 00:03:09.390
我們選f(5)

00:03:09.390 --> 00:03:11.950
f(5)=-1

00:03:11.950 --> 00:03:14.440
或者說原函數把5映射成-1

00:03:14.440 --> 00:03:18.020
那麽反函數呢？

00:03:18.020 --> 00:03:23.900
f^(-1) (-1)是多少呢？

00:03:23.900 --> 00:03:27.230
f^(-1) (-1)=5

00:03:27.230 --> 00:03:31.190
或者可以說它把-1映射到5

00:03:31.190 --> 00:03:33.325
如果你們想到了集合的概念

00:03:33.325 --> 00:03:36.200
也就是定義域和值域

00:03:36.200 --> 00:03:41.000
假設這是f的定義域

00:03:41.000 --> 00:03:44.140
這是f的值域

00:03:44.140 --> 00:03:46.370
f會從5得到-1

00:03:46.370 --> 00:03:49.070
這就是f的作用

00:03:49.070 --> 00:03:50.760
同時我們知道f^(-1)從-1回到5

00:03:50.760 --> 00:03:59.040
f^(-1)把-1變回5

00:03:59.040 --> 00:04:00.960
這也是我們所期望的

00:04:00.960 --> 00:04:04.920
我再做一道

00:04:04.920 --> 00:04:09.720
已知g(x)=-2x-1

00:04:09.720 --> 00:04:12.320
就像上個問題 設y等於它

00:04:12.320 --> 00:04:15.200
y=g(x)

00:04:15.200 --> 00:04:19.070
也就等於-2x-1

00:04:19.070 --> 00:04:23.000
現在要求x

00:04:23.000 --> 00:04:25.340
y+1=-2x

00:04:25.340 --> 00:04:27.740
這一步是兩邊同時加1

00:04:27.740 --> 00:04:29.950
現在方程兩邊同時除以-2

00:04:29.950 --> 00:04:32.910
得到(-y)/2-1/2=x

00:04:32.910 --> 00:04:34.920
或者寫成x=(-y)/2-1/2

00:04:34.920 --> 00:04:39.050
或者寫成

00:04:39.050 --> 00:04:46.630
f^(-1) (y)=(-y)/2-1/2

00:04:46.630 --> 00:04:52.420
我們直接把y命名爲x

00:04:52.420 --> 00:04:56.260
也就有--

00:04:56.260 --> 00:05:02.435
我要仔細點了 這不是f

00:05:02.435 --> 00:05:08.270
原函數是g 我得說清楚這點

00:05:08.270 --> 00:05:09.250
應該是g^(-1) (y)=(-y)/2-1/2

00:05:09.250 --> 00:05:11.300
因爲是以g(x)作爲開始的

00:05:11.300 --> 00:05:21.850
不是f(x)

00:05:21.850 --> 00:05:24.340
要確保用對符號

00:05:24.340 --> 00:05:26.120
我們可以重命名y並得到

00:05:26.120 --> 00:05:31.010
g^(-1) (x)=(-x)/2-1/2

00:05:31.010 --> 00:05:34.320
現在來畫一下圖

00:05:34.320 --> 00:05:35.140
y截距是-1/2

00:05:35.140 --> 00:05:37.970
這個點在那

00:05:37.970 --> 00:05:39.970
斜率是-1/2

00:05:39.970 --> 00:05:43.460
如果從-1/2開始

00:05:43.460 --> 00:05:48.940
沿正方向移1

00:05:48.940 --> 00:05:52.760
會下降1/2

00:05:52.760 --> 00:05:56.500
如果再移動1個單位 縱坐標又會下降1/2

00:05:56.500 --> 00:05:59.770
如果沿反方向移動-- 會變成這樣

00:05:59.770 --> 00:06:01.650
我盡最大努力來畫

00:06:01.650 --> 00:06:05.440
曲線應該是這樣子的

00:06:05.440 --> 00:06:07.830
它會一直延伸 所以應該是這樣子

00:06:07.830 --> 00:06:10.580
它會沿兩個方向一直延續

00:06:10.580 --> 00:06:13.170
現在我們來看一下它們是否

00:06:13.170 --> 00:06:15.400
關於y=x對稱 y=x是這條曲線

00:06:15.400 --> 00:06:21.910
你們可以看出來 它們確實是對稱的

00:06:21.910 --> 00:06:22.750
如果把這條藍色的曲線沿y=x翻轉

00:06:22.750 --> 00:06:25.440
會得到這條橙色的曲線

00:06:25.440 --> 00:06:27.220
按照字面來理解 反函數的中心思想是

00:06:27.220 --> 00:06:30.885
函數最初被表示爲--

00:06:30.885 --> 00:06:34.460
最初是用x表示y的

00:06:34.460 --> 00:06:35.530
你們要通過做一些變換

00:06:35.530 --> 00:06:38.750
把x用y來表示

00:06:38.750 --> 00:06:41.120
得到的就是以y爲自變量的

00:06:41.120 --> 00:06:43.700
反函數