現在有函數f(x)=-x+4

且其曲線已經在坐標平面上畫出來了

我們試著求一下其反函數

要求反函數

我常做的是設變量y

y=f(x) 或者寫成

y=-x+4

現在 我們用x表示了y

爲了求反函數 要反過來

用y表示x

兩邊同時減4

得到y-4=-x

要求出x

可以對方程兩邊

同時乘以-1

得到-y+4=x

因爲我們習慣於

把自變量寫在左邊

因此可以改寫成x=-y+4

還有另一種寫法

就是f^(-1) (y)=-y+4

這個就是反函數

我們把它寫成了y的函數

爲了得到x的函數 我們可以把y命名爲x

我們來做一下

把y重命名爲x

得到f^(-1) (x)=-x+4

這兩個函數是等價的

在這裡我們用y表示自變量

或者說是輸入變量

在這兒則是用x 不過這兩者是完全一樣的

現在 爲了有趣 我們畫出反函數的曲線

看看它和這條曲線之間的聯係

如果看這個函數 它和原函數看起來完全一樣

都是-x+4

是同一個函數

我們看一下 如果我們-- y的截距是4

這兩條曲線應該是一樣的

這函數與自己互成反函數

如果要畫出來

應該把它畫到這條線上

有幾種方法思考這一情況

在第一個反函數的影片裏

我講過原函數和反函數是--

它們是關於y=x對稱的

那麽曲線y=x在哪呢？

y=x是這樣子的

而y=-x+4實際上是垂直於

y=x的 所以如果取對稱

實際上就是把它翻過來

是同一條曲線

自己是自己的映射

現在我們來確保這是正確的

當我們討論這個函數時

如果代入2 會由函數映射成2

代入4 得到0

如果反過來會怎樣？

輸入是2

兩種方向輸出都是2 這樣可以講得通

對於原函數 4被映射成0

對於反函數 0被映射成4

所以這是完全正確的

換種方式思考

對於原函數-- 我把它寫下來

你們可能對於這很熟悉了 不過僅僅是以防萬一

寫出來可能會有幫助的

我們選f(5)

f(5)=-1

或者說原函數把5映射成-1

那麽反函數呢？

f^(-1) (-1)是多少呢？

f^(-1) (-1)=5

或者可以說它把-1映射到5

如果你們想到了集合的概念

也就是定義域和值域

假設這是f的定義域

這是f的值域

f會從5得到-1

這就是f的作用

同時我們知道f^(-1)從-1回到5

f^(-1)把-1變回5

這也是我們所期望的

我再做一道

已知g(x)=-2x-1

就像上個問題 設y等於它

y=g(x)

也就等於-2x-1

現在要求x

y+1=-2x

這一步是兩邊同時加1

現在方程兩邊同時除以-2

得到(-y)/2-1/2=x

或者寫成x=(-y)/2-1/2

或者寫成

f^(-1) (y)=(-y)/2-1/2

我們直接把y命名爲x

也就有--

我要仔細點了 這不是f

原函數是g 我得說清楚這點

應該是g^(-1) (y)=(-y)/2-1/2

因爲是以g(x)作爲開始的

不是f(x)

要確保用對符號

我們可以重命名y並得到

g^(-1) (x)=(-x)/2-1/2

現在來畫一下圖

y截距是-1/2

這個點在那

斜率是-1/2

如果從-1/2開始

沿正方向移1

會下降1/2

如果再移動1個單位 縱坐標又會下降1/2

如果沿反方向移動-- 會變成這樣

我盡最大努力來畫

曲線應該是這樣子的

它會一直延伸 所以應該是這樣子

它會沿兩個方向一直延續

現在我們來看一下它們是否

關於y=x對稱 y=x是這條曲線

你們可以看出來 它們確實是對稱的

如果把這條藍色的曲線沿y=x翻轉

會得到這條橙色的曲線

按照字面來理解 反函數的中心思想是

函數最初被表示爲--

最初是用x表示y的

你們要通過做一些變換

把x用y來表示

得到的就是以y爲自變量的

反函數