0:00:00.000,0:00:00.830
現在有函數f(x)=-x+4

0:00:00.830,0:00:05.770
且其曲線已經在坐標平面上畫出來了

0:00:05.770,0:00:08.460
我們試著求一下其反函數

0:00:08.460,0:00:11.690
要求反函數

0:00:11.690,0:00:14.770
我常做的是設變量y

0:00:14.770,0:00:18.590
y=f(x) 或者寫成

0:00:18.590,0:00:22.130
y=-x+4

0:00:22.130,0:00:25.040
現在 我們用x表示了y

0:00:25.040,0:00:26.750
爲了求反函數 要反過來

0:00:26.750,0:00:29.600
用y表示x

0:00:29.600,0:00:31.570
兩邊同時減4

0:00:31.570,0:00:36.160
得到y-4=-x

0:00:36.160,0:00:39.000
要求出x

0:00:39.000,0:00:41.960
可以對方程兩邊

0:00:41.960,0:00:47.530
同時乘以-1

0:00:47.530,0:00:50.390
得到-y+4=x

0:00:50.390,0:00:52.770
因爲我們習慣於

0:00:52.770,0:00:55.620
把自變量寫在左邊

0:00:55.620,0:00:58.300
因此可以改寫成x=-y+4

0:00:58.300,0:01:06.840
還有另一種寫法

0:01:06.840,0:01:09.470
就是f^(-1) (y)=-y+4

0:01:09.470,0:01:13.360
這個就是反函數

0:01:13.360,0:01:14.950
我們把它寫成了y的函數

0:01:14.950,0:01:16.080
爲了得到x的函數 我們可以把y命名爲x

0:01:16.080,0:01:23.120
我們來做一下

0:01:23.120,0:01:25.780
把y重命名爲x

0:01:25.780,0:01:27.540
得到f^(-1) (x)=-x+4

0:01:27.540,0:01:30.730
這兩個函數是等價的

0:01:30.730,0:01:31.760
在這裡我們用y表示自變量

0:01:31.760,0:01:34.660
或者說是輸入變量

0:01:34.660,0:01:37.840
在這兒則是用x 不過這兩者是完全一樣的

0:01:37.840,0:01:40.220
現在 爲了有趣 我們畫出反函數的曲線

0:01:40.220,0:01:42.190
看看它和這條曲線之間的聯係

0:01:42.190,0:01:44.250
如果看這個函數 它和原函數看起來完全一樣

0:01:44.250,0:01:45.510
都是-x+4

0:01:45.510,0:01:47.010
是同一個函數

0:01:47.010,0:01:48.395
我們看一下 如果我們-- y的截距是4

0:01:48.395,0:01:51.630
這兩條曲線應該是一樣的

0:01:51.630,0:01:52.950
這函數與自己互成反函數

0:01:52.950,0:01:56.810
如果要畫出來

0:01:56.810,0:01:58.990
應該把它畫到這條線上

0:01:58.990,0:01:59.930
有幾種方法思考這一情況

0:01:59.930,0:02:02.560
在第一個反函數的影片裏

0:02:02.560,0:02:04.730
我講過原函數和反函數是--

0:02:04.730,0:02:07.530
它們是關於y=x對稱的

0:02:07.530,0:02:10.390
那麽曲線y=x在哪呢？

0:02:10.390,0:02:12.030
y=x是這樣子的

0:02:12.030,0:02:14.220
而y=-x+4實際上是垂直於

0:02:14.220,0:02:16.445
y=x的 所以如果取對稱

0:02:16.445,0:02:20.540
實際上就是把它翻過來

0:02:20.540,0:02:25.710
是同一條曲線

0:02:25.710,0:02:27.780
自己是自己的映射

0:02:27.780,0:02:29.830
現在我們來確保這是正確的

0:02:29.830,0:02:32.670
當我們討論這個函數時

0:02:32.670,0:02:34.470
如果代入2 會由函數映射成2

0:02:34.470,0:02:38.700
代入4 得到0

0:02:38.700,0:02:43.480
如果反過來會怎樣？

0:02:43.480,0:02:48.750
輸入是2

0:02:48.750,0:02:50.370
兩種方向輸出都是2 這樣可以講得通

0:02:50.370,0:02:54.460
對於原函數 4被映射成0

0:02:54.460,0:02:55.870
對於反函數 0被映射成4

0:02:55.870,0:02:59.180
所以這是完全正確的

0:02:59.180,0:03:02.320
換種方式思考

0:03:02.320,0:03:03.710
對於原函數-- 我把它寫下來

0:03:03.710,0:03:04.610
你們可能對於這很熟悉了 不過僅僅是以防萬一

0:03:04.610,0:03:07.770
寫出來可能會有幫助的

0:03:07.770,0:03:09.390
我們選f(5)

0:03:09.390,0:03:11.950
f(5)=-1

0:03:11.950,0:03:14.440
或者說原函數把5映射成-1

0:03:14.440,0:03:18.020
那麽反函數呢？

0:03:18.020,0:03:23.900
f^(-1) (-1)是多少呢？

0:03:23.900,0:03:27.230
f^(-1) (-1)=5

0:03:27.230,0:03:31.190
或者可以說它把-1映射到5

0:03:31.190,0:03:33.325
如果你們想到了集合的概念

0:03:33.325,0:03:36.200
也就是定義域和值域

0:03:36.200,0:03:41.000
假設這是f的定義域

0:03:41.000,0:03:44.140
這是f的值域

0:03:44.140,0:03:46.370
f會從5得到-1

0:03:46.370,0:03:49.070
這就是f的作用

0:03:49.070,0:03:50.760
同時我們知道f^(-1)從-1回到5

0:03:50.760,0:03:59.040
f^(-1)把-1變回5

0:03:59.040,0:04:00.960
這也是我們所期望的

0:04:00.960,0:04:04.920
我再做一道

0:04:04.920,0:04:09.720
已知g(x)=-2x-1

0:04:09.720,0:04:12.320
就像上個問題 設y等於它

0:04:12.320,0:04:15.200
y=g(x)

0:04:15.200,0:04:19.070
也就等於-2x-1

0:04:19.070,0:04:23.000
現在要求x

0:04:23.000,0:04:25.340
y+1=-2x

0:04:25.340,0:04:27.740
這一步是兩邊同時加1

0:04:27.740,0:04:29.950
現在方程兩邊同時除以-2

0:04:29.950,0:04:32.910
得到(-y)/2-1/2=x

0:04:32.910,0:04:34.920
或者寫成x=(-y)/2-1/2

0:04:34.920,0:04:39.050
或者寫成

0:04:39.050,0:04:46.630
f^(-1) (y)=(-y)/2-1/2

0:04:46.630,0:04:52.420
我們直接把y命名爲x

0:04:52.420,0:04:56.260
也就有--

0:04:56.260,0:05:02.435
我要仔細點了 這不是f

0:05:02.435,0:05:08.270
原函數是g 我得說清楚這點

0:05:08.270,0:05:09.250
應該是g^(-1) (y)=(-y)/2-1/2

0:05:09.250,0:05:11.300
因爲是以g(x)作爲開始的

0:05:11.300,0:05:21.850
不是f(x)

0:05:21.850,0:05:24.340
要確保用對符號

0:05:24.340,0:05:26.120
我們可以重命名y並得到

0:05:26.120,0:05:31.010
g^(-1) (x)=(-x)/2-1/2

0:05:31.010,0:05:34.320
現在來畫一下圖

0:05:34.320,0:05:35.140
y截距是-1/2

0:05:35.140,0:05:37.970
這個點在那

0:05:37.970,0:05:39.970
斜率是-1/2

0:05:39.970,0:05:43.460
如果從-1/2開始

0:05:43.460,0:05:48.940
沿正方向移1

0:05:48.940,0:05:52.760
會下降1/2

0:05:52.760,0:05:56.500
如果再移動1個單位 縱坐標又會下降1/2

0:05:56.500,0:05:59.770
如果沿反方向移動-- 會變成這樣

0:05:59.770,0:06:01.650
我盡最大努力來畫

0:06:01.650,0:06:05.440
曲線應該是這樣子的

0:06:05.440,0:06:07.830
它會一直延伸 所以應該是這樣子

0:06:07.830,0:06:10.580
它會沿兩個方向一直延續

0:06:10.580,0:06:13.170
現在我們來看一下它們是否

0:06:13.170,0:06:15.400
關於y=x對稱 y=x是這條曲線

0:06:15.400,0:06:21.910
你們可以看出來 它們確實是對稱的

0:06:21.910,0:06:22.750
如果把這條藍色的曲線沿y=x翻轉

0:06:22.750,0:06:25.440
會得到這條橙色的曲線

0:06:25.440,0:06:27.220
按照字面來理解 反函數的中心思想是

0:06:27.220,0:06:30.885
函數最初被表示爲--

0:06:30.885,0:06:34.460
最初是用x表示y的

0:06:34.460,0:06:35.530
你們要通過做一些變換

0:06:35.530,0:06:38.750
把x用y來表示

0:06:38.750,0:06:41.120
得到的就是以y爲自變量的

0:06:41.120,0:06:43.700
反函數