Σ' αυτό το βίντεο θέλω να κάνω κάποια παραδείγματα προβλημάτων που μπαίνουν στα τεστ...
και σίγουρα θα σας βοηθήσουν στις ασκήσεις στο σάιτ, γιατί εκεί υπάρχουν ερωτήσεις σαν κι αυτή:
"Όλοι οι αριθμοί" κι αυτό είναι ένα μόνο από τα παραδείγματα...
"Όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται τόσο από το 12 όσο και από το 20, διαιρούνται επίσης από το ..."
και το κόλπο εδώ είναι να καταλάβετε ότι αν ένας αριθμός διαιρείται τόσο από το 12, όσο και από το 20...
θα πρέπει να διαιρείται από καθένα από τους πρώτους παράγοντες αυτών των αριθμών.
Ας τους παραγοντοποιήσουμε λοιπόν για να βρούμε τους πρώτους παράγοντες.
Η παραγοντοποίηση του 12 είναι 2 x 6 ...
το 6 δεν είναι ακόμα πρώτος αριθμός, άρα το 6 γίνεται 2 x 3...
Έτσι, αυτός είναι πρώτος αριθμός...
άρα, κάθε αριθμός που διαιρείται από το 12, πρέπει να διαιρείται κι από το 2 x 3 x 3...
Έτσι η παραγοντοποίησή του πρέπει να έχει ένα 2 x 2 x 3 μέσα της...
για κάθε αριθμό που διαιρείται από το 12.
Τώρα, κάθε αριθμός που διαιρείται από το 20, πρέπει να διαιρείται και από...
ας κάνουμε την παραγοντοποίησή του...
2 x 10... το 10 είναι 2 x 5...
άρα κάθε αριθμός που διαιρείται από το 2, πρέπει επίσης να διαιρείται και από το 2 x 2 x 5...
ή αλλιώς, πρέπει να έχει δύο δυάρια και ένα 5 στην παραγοντοποίησή του.
Τώρα, αν ένας αριθμός διαιρείται και από το 12 και από το 20, πρέπει να έχει 2 δυάρια, ένα 3 και ένα 5.
δύο 2άρια και ένα 3 για το 12, και μετά δυο 2άρια και ένα 5 για το 20.
Και μπορείτε να το επιβεβαιώσετε και σεις ότι αυτό διαιρείται και από τους δύο αριθμούς μας.
Προφανώς, αν διαιρέσεις έναν αριθμό με το 20, είναι το ίδιο με το να τον διαιρέσεις με το 2 x 2 x 5.
Άρα θα έχουμε... τα δυάρια αλληλοεξουδετερώνονται, τα 5άρια αλληλοεξουδετερώνονται...
μας μένει ένα 3, άρα σίγουρα διαιρείται με το 20...
και αν διαιρείται με το 12, θα διαιρούταν με το 2 x 2 x 3...
που είναι το ίδιο με το 12.
Άρα αυτά εδώ θα αλληλοεξουδετερώνονταν, και θα μας έμεινε αυτό το 5.
άρα σίγουρα διαιρείται και από τα δύο, και ο αριθμός αυτός εδώ πέρα είναι το 60...
είναι το 4 x 3 που μας κάνει 12 x 5 που μας κάνει 60.
Αυτός εδώ ο αριθμός είναι στην πραγματικότητα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 12 και του 20.
Τώρα, το 60 δεν είναι ο μόνος αριθμός που διαιρείται από το 12 και το 20...
Θα μπορούσαμε να πολλαπλασιάσουμε αυτόν εδώ τον αριθμό με ένα σωρό...
άλλων παραγόντων, τους οποίους ονομάζω α, β και γ.
Αλλά αυτός είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται από το 12 και το 20.
Κάθε μεγαλύτερος αριθμός θα διαιρείται από τους ίδιους αριθμούς με το 60, που είναι ο μικρότερος.
Τώρα, αφού τα βρήκαμε αυτά, ας απαντήσουμε τις ερωτήσεις.
Όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται από το 12 και το 20, διαιρούνται επίσης από το...
Λοιπόν, δεν ξέρουμε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί...
Άρα δεν μπορούμε να το απαντήσουμε...
θα μπορούσε να είναι μόνο το 1, ή να μην υπάρχει καν τέτοιος αριθμός....
γιατί ο αριθμός θα μπορούσε να είναι το 60, θα μπορούσε να είναι το 120...
ποιος ξέρει ποιος αριθμός είναι αυτός; Έτσι, οι μόνοι αριθμοί που ξέρουμε που θα μπορούσαν να διαιρεθούν μ' αυτόν τον αριθμό...
λοιπόν, ξέρουμε ότι το 2 μπορεί να διαιρεθεί. Ξέρουμε ότι το 2 είναι ένας αριθμός που μας κάνει...
το 2 προφανώς διαιρείται με το 2 x 2 x 3 x 5.
Ξέρουμε ότι το 2 x 2 διαιρείται μ' αυτό.
Έχουμε το 2 x 2 εδώ πέρα.
Ξέρουμε ότι το 3 διαιρείται μ' αυτό.
Ξέρουμε ότι το 2 x 3 διαιρείται μ' αυτό...
δηλαδή το 6.
Ξέρουμε ότι το 2 x 2 x 3 διαιρείται μ' αυτό...
Θα μπορούσα να βρω κάθε συνδυασμό αυτών εδώ των αριθμών.
Ξέρουμε ότι το 3 x 5 διαιρείται μ' αυτό...
Ξέρουμε ότι το 2 x 3 x 5 διαιρείται μ' αυτό.
Άρα γενικά μπορείτε να βλέπετε αυτούς τους πρώτους παράγοντες...
και κάθε συνδυασμός αυτών των πρώτων παραγόντων θα διαιρείται...
με κάθε αριθμό που διαιρείται τόσο από το 12, όσο και από το 20.
Άρα, αν αυτή ήταν μια ερώτηση πολλαπλών επιλογών...
και οι επιλογές σας ήταν το 7, το 9, το 12 και το 8...
θα λέγατε...
το 7 δεν είναι μέσα σ' αυτούς τους πρώτους παράγοντες εδώ πέρα...
το 9 είναι 3 x 3, άρα θα έπρεπε να έχω δύο 3αρια εδώ πέρα, άρα το 9 δεν μας κάνει...
το 7 λοιπόν δεν μας κάνει, το 9 δεν μας κάνει...
το 12 είναι 4 x 3, ή ένας άλλος τρόπος να το χωρίσουμε είναι να πούμε...
ότι το 12 είναι 2 x 2 x 3.
Έχουμε λοιπόν ένα 2 x 2 x 3 στην παραγοντοποίησή μας...
αυτού του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλάσιου αυτών των δύο αριθμών...
άρα αυτό είναι ένα 12, επομένως το 12 μας κάνει...
το 8 είναι 2 x 2 x 2, άρα χρειαζόμαστε τρία 2άρια στην παραγοντοποίησή μας...
δεν έχουμε τρία 2άρια, άρα αυτό δεν μας κάνει.
Ας δοκιμάσουμε κι άλλο ένα παράδειγμα, για να το καταλάβουμε καλά.
Ας πούμε ότι θέλουμε να μάθουμε -- θα ρωτήσω το ίδιο πράγμα...
Όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται με το 9 και το 24 διαιρούνται επίσης με [...] ...
κι εδώ λοιπόν θα κάνουμε απλώς την παραγοντοποίηση των πρώτων αριθμών.
Στην πραγματικότητα σκεφτόμαστε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο...
του 9 και του 24.
Πάρουμε την παραγοντοποίηση του 9...
3 x 3
και τελειώσαμε.
Η παραγοντοποίηση του 24 είναι 2 x 12...
το 12 είναι 2 x 6...
το 6 είναι 2 x 3...
Άρα κάθε αριθμός που διαιρείται με το 9 πρέπει να έχει ένα 9 στην παραγοντοποίησή του...
ή αλλιώς, η παραγοντοποίησή του θα πρέπει να έχει ένα 3 x 3.
Κάθε αριθμός που διαιρείται με το 24 θα πρέπει να έχει τρία 2άρια στην παραγοντοποίησή του...
θα πρέπει να έχει ένα 2 x 2 x 2...
και θα πρέπει να έχει τουλάχιστον ένα 3... και ήδη έχουμε ένα 3 από το 9.
Έχουμε λοιπόν αυτά, άρα αυτός εδώ ο αριθμός διαιρείται και με τους δύο...
και με το 9 και με το 24. Αυτός ο αριθμός είναι στην πραγματικότητα το 72.
Είναι το 8 x 9 που μας κάνει 72.
Άρα, για τις επιλογές γι' αυτή την ερώτηση...
ας υποθέσουμε ότι ήταν μια ερώτηση πολλαπλής επιλογής...
ας πούμε ότι οι επιλογές μας ήταν το 16, το 27, το 5, το 11 και το 9...
έτσι για το 16, αν βρίσκαμε τους πρώτους παράγοντές του...
είναι το 2 x 2 x 2 x 2, είναι το 2 εις την τετάρτη...
άρα θα χρειαζόμασταν τέσσερα 2άρια εδώ, αλλά δεν έχουμε τέσσερα 2άρια...
θα μπορούσαν να υπάρχουν κι άλλοι αριθμοί, αλλά δεν ξέρουμε ποιοι είναι αυτοί...
αυτοί είναι οι μόνοι αριθμοί που μπορούμε να υποθέσουμε ότι περιλαμβάνονται στην παραγοντοποίηση των πρώτων αριθμών...
για κάθε αριθμό που διαιρείται τόσο από το 9, όσο και από το 24.
Άρα μπορούμε να απορρίψουμε το 16, γιατί δεν έχουμε τέσσερα 2άρια.
το 27 ισούται με 3 x 3 x 3.
Δεν έχουμε τρία 3άρια, έχουμε μόνο δύο απ' αυτά...
άρα το απορρίπτουμε κι αυτό.
το 5 είναι πρώτος αριθμός, δεν έχουμε 5 εδώ άρα το απορρίπτουμε κι αυτό...
το 11 είναι κι αυτός πρώτος αριθμός, δεν έχουμε 11, άρα το απορρίπτουμε.
το 9 ισούται με 3 x 3.
Και μόλις κατάλαβα ότι είναι μια χαζή ερώτηση...
γιατί όλοι αριθμοί που διαιρούνται με το 9 και το 24 διαιρούνται...
με το 9.
Άρα προφανώς το 9 μας κάνει, αλλά δεν θα έπρεπε να το βάλω στις επιλογές...
γιατί είναι στα δεδομένα του προβλήματος.
Αλλά, ούτως ή άλλως, το 9 μας κάνει. Και θα μας έκανε...
και το 8 αν ήταν στις επιλογές, γιατί το 8 ισούται με ...
2 x 2 x 2 και έχουμε ένα 2 x 2 x 2 εδώ...
το 4 επίσης θα μας έκανε, γιατί ισούται με 2 x 2...
το 6 θα μας έκανε, γιατί ισούται με 2 x 3...
το 18 θα μας έκανε, γιατί ισούται με 2 x 3 x 3...
Άρα, κάθε αριθμός που συντίθεται από έναν συνδυασμό αυτών των πρώτων παραγόντων...
θα διαιρείται με κάτι που με τη σειρά του διαιρείται ...
τόσο από το 9, όσο και από το 24
Ελπίζω ότι δεν σας μπέρδεψα πολύ.