1
00:00:00,400 --> 00:00:05,013
Máme tu několik výrazů pod odmocninou.

2
00:00:05,053 --> 00:00:08,404
Pokusíme se je projít, zjednodušit je

3
00:00:08,454 --> 00:00:13,375
a určit, zda jde o racionální nebo
o iracionální čísla.

4
00:00:13,415 --> 00:00:15,636
Začneme s příkladem (a).

5
00:00:15,686 --> 00:00:20,490
Příklad (a) je druhá odmocnina z 25,

6
00:00:20,530 --> 00:00:26,504
což je to samé
jako druhá odmocnina z 5 krát 5.

7
00:00:26,554 --> 00:00:30,060
Je zřejmé, že tedy vyjde 5.

8
00:00:30,090 --> 00:00:34,400
Hledáme teď kladný výsledek odmocniny.

9
00:00:34,450 --> 00:00:38,856
Teď se koukněme na příklad (b).
Udělám ho jinou barvou.

10
00:00:38,916 --> 00:00:43,722
Hledáme kladný výsledek odmocniny (b).

11
00:00:43,772 --> 00:00:46,040
Máme tu odmocninu z 24.

12
00:00:46,090 --> 00:00:50,420
Číslo pod odmocninou
rozložíme na součin prvočísel.

13
00:00:50,470 --> 00:00:56,140
Číslo 24 se rozloží na součin 2 krát 12.

14
00:00:56,190 --> 00:00:59,656
12 dostaneme, když 6 vynásobíme 2.

15
00:00:59,716 --> 00:01:03,282
A 6 je 2 krát 3.

16
00:01:03,322 --> 00:01:06,342
Takže odmocnina z 24 je vlastně to samé

17
00:01:06,402 --> 00:01:15,342
jako odmocnina z prvočíselného rozkladu
2 krát 2 krát 2 krát 3.

18
00:01:15,392 --> 00:01:18,204
To je to samé jako 24.

19
00:01:18,264 --> 00:01:22,516
Zde máme 2 dvojky.

20
00:01:22,566 --> 00:01:33,976
Můžeme to tedy přepsat na odmocninu
z 2 krát 2, krát odmocnina z 2 krát 3.

21
00:01:34,032 --> 00:01:38,966
Toto je zjevně 2.
Je to odmocnina ze 4 a to je 2.

22
00:01:39,016 --> 00:01:43,932
Místo první odmocniny dostaneme tedy 2,
a druhou nemůžeme odmocnit.

23
00:01:43,932 --> 00:01:45,518
Dostáváme tedy výsledek,

24
00:01:45,518 --> 00:01:47,824
který je 2 krát odmocnina
ze šesti.

25
00:01:47,824 --> 00:01:49,756
Tento výsledek se dá
vyjádřit také jinak,

26
00:01:49,756 --> 00:01:52,018
jako 2 krát odmocnina ze 2 
krát odmocnina ze 3.

27
00:01:52,038 --> 00:01:54,657
Teď bych chtěl říci, jestli jsou tyto 
čísla racionální.

28
00:01:54,657 --> 00:02:07,256
(a) je racionální, lze totiž rozložit
jako podíl dvou prvočísel, 5 lomeno 1.

29
00:02:07,256 --> 00:02:14,075
Naopak (b) je zcela určitě iracionální,
nebudu to ale dokazovat v tomto videu.

30
00:02:14,075 --> 00:02:18,470
Nicméně dá se říci, že každá odmocnina z
prvočísla je irracionální.

31
00:02:18,470 --> 00:02:24,953
Odmocnina ze 6 je vlastně odmocnina z 
2 krát 3, takže z prvočísel.

32
00:02:24,953 --> 00:02:32,142
Je tedy jasné, že odmocnina ze 6 je
iracionální číslo.

33
00:02:32,142 --> 00:02:35,844
Odmocninu ze 6 nemůžu vyjádřit žádným
zlomkem, jde tedy o iracionální číslo.

34
00:02:35,844 --> 00:02:39,027
Naopak číslo (a) jsem zlomkem úspěšně 
vyjádřil.

35
00:02:39,027 --> 00:02:42,260
Číslo (b) v žádném případě nejde vyjádřit 
jako podíl.

36
00:02:42,260 --> 00:02:44,683
Nesnažím se nic matematicky
dokazovat, chci jenom,

37
00:02:44,683 --> 00:02:45,982
abyste se trochu pocvičili.

38
00:02:45,982 --> 00:02:48,429
Rychlejší způsob, jak na to,
spočívá v uvědomění si,

39
00:02:48,429 --> 00:02:51,543
že odmocnina z 4 je krásná odmocnina,
proč bych si ji tedy nevzal,

40
00:02:51,543 --> 00:02:56,190
neodmocnil a nedostal bych tedy
výsledek hned.

41
00:02:56,190 --> 00:02:58,873
Na což potom rychle přijdete také,
ale zezačátku to budu

42
00:02:58,873 --> 00:03:01,038
dělat více systematicky.

43
00:03:01,038 --> 00:03:06,369
Teď pojďme na (c), odmocnina z 20.

44
00:03:06,369 --> 00:03:08,195
20 opět rozložíme na součin prvočísel,

45
00:03:08,195 --> 00:03:12,620
tedy 2 krát deset a 10 je 2 krát 5.

46
00:03:12,620 --> 00:03:14,303
Odmocnina z 20 je tedy to samé jako

47
00:03:14,303 --> 00:03:20,808
odmocnina z 2 krát 2 krát 5.

48
00:03:20,808 --> 00:03:22,562
Ted je tedy jasné, že dostaneme

49
00:03:22,562 --> 00:03:25,524
odmocninu ze 4, která je tedy 2.

50
00:03:25,524 --> 00:03:29,210
Napíšeme si tedy 2 krát odmocnina z 5.

51
00:03:29,210 --> 00:03:32,396
A zase jednou si to můžete udělat z hlavy:

52
00:03:32,396 --> 00:03:36,280
20 je 4 krát 5, odmocnina ze 4 je 2

53
00:03:36,280 --> 00:03:38,364
a 5 zůstane pod odmocninou.

54
00:03:38,364 --> 00:03:43,140
Ted se pojďme podívat na (d).

55
00:03:43,140 --> 00:03:47,182
Odmocnina z 200.

56
00:03:47,182 --> 00:03:48,726
Postup je pořád stejný.

57
00:03:48,726 --> 00:03:50,930
Rozložíme číslo 200 na prvočísla jako 
předtím.

58
00:03:50,930 --> 00:04:01,053
Dostaneme 2 krát 100, 100 je 2 krát 50,
50 je 2 krát 25 a 25 je 5 krát 5

59
00:04:01,053 --> 00:04:18,018
Můžeme si to tedy přepsat jako odmocninu
z 2 krát 2 krát 2 krát 5 krát 5.

60
00:04:18,018 --> 00:04:24,079
Dostaneme jednu ideální odmocninu.

61
00:04:24,079 --> 00:04:28,828
Teď si to přehledně rozepíšeme,
dostaneme odmocninu z (2 krát 2)

62
00:04:28,828 --> 00:04:35,376
krát odmocnina z 2
krát odmocnina z (5 krát 5).

63
00:04:35,376 --> 00:04:45,725
Když odmocníme 2 krát 2 a 5 krát 5, 
dostaneme 2 krát 5, ale bohužel ještě

64
00:04:45,725 --> 00:04:47,903
zbývá odmocnina ze 2.

65
00:04:47,903 --> 00:04:51,068
A 2 krát 5 je 10, tedy dostáváme 2 krát 5.

66
00:04:51,068 --> 00:04:54,014
Znovu opakuji, že odmocnina ze 2
je iracionální číslo.

67
00:04:54,014 --> 00:04:57,423
Nemůžete ho vyjádřit jako zlomek,

68
00:04:57,423 --> 00:05:00,846
jako čitatel se jmenovatelem.

69
00:05:00,846 --> 00:05:06,350
No a kdybyste se toto číslo snažili 
nějak vyjádřit, bude to nekonečné.

70
00:05:06,350 --> 00:05:08,610
Navíc se v něm cifry ani nebudou opakovat.

71
00:05:08,610 --> 00:05:10,790
Vrhněme se proto radši na (e).

72
00:05:10,790 --> 00:05:13,720
Odmocnina z 2000.

73
00:05:13,720 --> 00:05:17,620
Udělám to tady dole.

74
00:05:17,620 --> 00:05:20,620
Odmocnina z 2000.

75
00:05:20,620 --> 00:05:25,926
Jde o to si číslo 2000 opět rozložit na 
součin prvočísel.

76
00:05:25,926 --> 00:05:37,492
2000 je vlastně 2 krát
1000, což je 2 krát 500, 500 je 2 krát 250

77
00:05:37,492 --> 00:05:49,771
250 je 2 krát 125, 125 je 5 krát 25 a 25 
je 5 krát pět.

78
00:05:49,771 --> 00:05:50,790
Hurá!
Zvládli jsme to.

79
00:05:50,790 --> 00:06:04,190
Odmocnina z 2000 se tedy bude rovnat 
odmocnině z 2 krát 2 krát 2 krát 2

80
00:06:04,190 --> 00:06:16,030
krát 5 krát 5 krát 5,
tedy máme třikrát 5 a čtyřikrát 2.

81
00:06:16,050 --> 00:06:18,000
Čemu se to bude rovnat?

82
00:06:18,000 --> 00:06:20,520
Ted můžu čísla v závorkách násobit

83
00:06:20,520 --> 00:06:27,790
čili dostávám odmocninu z (4 krát 4 krát
25 krát 5).

84
00:06:27,790 --> 00:06:29,920
To si můžu rozdělit pod víc odmocnin.

85
00:06:29,920 --> 00:06:34,700
Můžu si napsat, že náš výraz se rovná
odmocnině ze 4 krát 4 krát odmocnina

86
00:06:34,700 --> 00:06:39,480
z 5 krát 5 krát odmocnina z 5.

87
00:06:39,480 --> 00:06:42,310
První výraz pod odmocninou je zřejmě 4.

88
00:06:42,310 --> 00:06:44,570
Druhý je jasná 5.

89
00:06:44,570 --> 00:06:47,070
A bohužel poslední odmocnina
zůstává z 5.

90
00:06:47,070 --> 00:06:50,120
Takže 4 krát 5 je 20.

91
00:06:50,120 --> 00:06:54,290
Výsledek je tedy 20 krát odmocnina z 5.

92
00:06:54,290 --> 00:06:58,524
Znovu tedy dostáváme irracionální číslo.

93
00:06:58,524 --> 00:07:06,099
Teď se vrhneme na příklad (f).

94
00:07:06,099 --> 00:07:13,674
(f) je odmocnina z 1/4.

95
00:07:13,674 --> 00:07:21,250
Odmocnina z 1/4 je vlastně to samé jako 
odmocnina z 1 lomeno odmocninou ze 4.

96
00:07:21,250 --> 00:07:25,183
Což se rovná jedné polovině.

97
00:07:25,183 --> 00:07:29,915
Jasně jde o racionální číslo,

98
00:07:29,915 --> 00:07:33,607
může být totiž vyjádřeno
hned několika zlomky.

99
00:07:33,607 --> 00:07:38,081
Pojďme se podívat na příklad G.

100
00:07:38,081 --> 00:07:43,815
G je odmocnina z 9/4.

101
00:07:43,815 --> 00:07:49,010
Zjistíme, že jde vlastně o odmocninu z 9 
děleno odmocninou ze 4.

102
00:07:49,010 --> 00:07:52,910
Což se rovná 3/2.

103
00:07:52,910 --> 00:07:56,960
Ted pokročíme k příkladu H.

104
00:07:56,960 --> 00:08:02,720
Odmocnina ze 0,16.

105
00:08:02,720 --> 00:08:05,250
Ti odvážnější to můžou samozřejmě vyřešit
z hlavy,

106
00:08:05,250 --> 00:08:09,080
pokud hned poznáte, že 0,4 krát 0,4 
je 0,16

107
00:08:09,080 --> 00:08:10,430
Pak je to snadné.

108
00:08:10,430 --> 00:08:14,190
Ale já vás naučím univerzální způsob,
jak na to přijít více systematicky.

109
00:08:14,190 --> 00:08:16,040
Pokud vám to nebylo jasné.

110
00:08:16,040 --> 00:08:22,480
Toto je vlastně stejná věc jako odmocnina
z 16/100.

111
00:08:22,480 --> 00:08:24,710
To je totiž přesně to,
co odmocnina z 0,16 je.

112
00:08:24,710 --> 00:08:28,526
Odmocnina z podílu je podíl odmocnin, tedy
náš příklad se rovná odmocnina ze 16

113
00:08:28,526 --> 00:08:31,312
lomeno odmocnina ze 100

114
00:08:31,312 --> 00:08:37,010
Dále se to potom rovná 4/10, tedy 
vlastně 0,4.

115
00:08:37,010 --> 00:08:40,070
Pojďme na předposlední příklad.

116
00:08:40,070 --> 00:08:45,620
Příklad (i) je odmocnina z 0,1.

117
00:08:45,620 --> 00:08:53,970
A to se vlastně rovná odmocnině z 1 lomeno
odmocnině z 10.

118
00:08:53,970 --> 00:08:58,073
Neboli 1 lomeno odmocnině z 10,

119
00:08:58,073 --> 00:09:01,516
10 je vlastně 2 krát 5, což nám nepomůže.

120
00:09:01,516 --> 00:09:05,157
Mohli bychom se ještě zbavit odmocniny
ze jmenovatele.

121
00:09:05,157 --> 00:09:09,548
Hodně učitelů totiž nemá rádo odmocniny
ve jmenovateli.

122
00:09:09,548 --> 00:09:14,920
Je ale jasné,
že půjde o iracionální číslo.

123
00:09:14,920 --> 00:09:16,466
Zkuste si ho zadat do kalkulačky

124
00:09:16,466 --> 00:09:19,782
Vypočítá ho vždy jen přibližně, nikdy 
ne přesně

125
00:09:19,782 --> 00:09:21,268
K tomu abyste ho měli přesně

126
00:09:21,268 --> 00:09:23,644
byste potřebovali nekonečně velké
množství číslic.

127
00:09:23,644 --> 00:09:26,272
Ale jestli se chcete zbavit
odmocniny ve jmenovateli,

128
00:09:26,272 --> 00:09:28,620
můžete tento zlomek rozšířit odmocninou
z 10.

129
00:09:28,620 --> 00:09:33,253
Tedy vlastně vynásobit odmocninou z 10 
lomenou další odmocninou z 10.

130
00:09:33,253 --> 00:09:38,276
Dostanete tedy odmocninu z 10 lomenou 10.

131
00:09:38,276 --> 00:09:41,880
Toto jsou ekvivalentní vyjádření, ale obě 
dvě jsou stále iracionální čísla.

132
00:09:41,880 --> 00:09:43,930
Iracionální číslo lomeno racionálním
číslem

133
00:09:43,930 --> 00:09:46,596
je pořád číslo iracionální.

134
00:09:46,596 --> 00:09:49,892
Teď nás čeká poslední příklad (j).

135
00:09:49,892 --> 00:09:53,820
Máme odmocninu z 0,01.

136
00:09:53,820 --> 00:09:57,570
My už víme, že to je to samé jako 
kdybychom měli odmocninu z 1

137
00:09:57,570 --> 00:10:01,940
lomenou odmocninou ze 100

138
00:10:01,940 --> 00:10:05,210
Využijeme pravidla, že odmocnina podílu 
je podíl odmocnin, odmocníme

139
00:10:05,210 --> 00:10:07,240
a dostaneme 1/10.

140
00:10:07,240 --> 00:10:12,880
Tedy 0,1, což je racionální číslo.

141
00:10:12,880 --> 00:10:15,287
Může být tedy napsáno jako
zlomek, podobně jako

142
00:10:15,287 --> 00:10:17,804
předchozí racionální čísla.