WEBVTT 00:00:00.250 --> 00:00:01.192 Wir wollen heute diese quadratische Gleichung lösen. 00:00:01.192 --> 00:00:03.374 Wir wollen heute diese quadratische Gleichung lösen. 00:00:03.374 --> 00:00:06.286 00:00:06.286 --> 00:00:08.855 00:00:08.855 --> 00:00:10.810 00:00:10.810 --> 00:00:14.327 [Sal entschuldigt sich für störende Geräusche.] 00:00:14.327 --> 00:00:15.619 00:00:15.619 --> 00:00:19.586 Gut. Zurück zu unserem Problem. 00:00:19.586 --> 00:00:20.808 Es gibt mehrere Möglichkeiten, um diese Gleichung zu lösen. 00:00:20.808 --> 00:00:22.130 Es gibt mehrere Möglichkeiten, um diese Gleichung zu lösen. 00:00:22.130 --> 00:00:24.752 Wir könnten z.B. die linke Seite faktorisieren. 00:00:24.752 --> 00:00:27.284 Aber wir werden hier die Gleichung mithilfe einer Quadratischen Ergänzung lösen. 00:00:27.284 --> 00:00:29.392 Aber wir werden hier die Gleichung mithilfe einer Quadratischen Ergänzung lösen. 00:00:29.392 --> 00:00:30.577 Was bedeutet das? 00:00:30.577 --> 00:00:32.799 Das bedeutet, dass ich die linke Seite der Gleichung 00:00:32.799 --> 00:00:36.169 Das bedeutet, dass ich die linke Seite der Gleichung 00:00:36.169 --> 00:00:37.588 in die Form (x+a)² + b bringen werde. 00:00:37.588 --> 00:00:42.148 in die Form (x+a)² + b bringen werde. 00:00:42.148 --> 00:00:45.936 Wenn wir diese linke Gleichung in diese Form hier bringen, 00:00:45.936 --> 00:00:47.640 werden wir sehen, dass wir diese ziemlich einfach lösen können. 00:00:47.640 --> 00:00:49.072 werden wir sehen, dass wir diese ziemlich einfach lösen können. 00:00:49.072 --> 00:00:50.744 Also mal sehen, ob das klappt. 00:00:50.744 --> 00:00:52.736 Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten. 00:00:52.736 --> 00:00:54.818 Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten. 00:00:54.818 --> 00:00:56.419 Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten. 00:00:56.419 --> 00:00:59.075 Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren, 00:00:59.075 --> 00:01:00.717 Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren, 00:01:00.717 --> 00:01:03.140 Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren, 00:01:03.140 --> 00:01:07.160 erhalten wir x² + 2ax + a² + b 00:01:07.160 --> 00:01:08.722 erhalten wir x² + 2ax + a² + b 00:01:08.722 --> 00:01:10.183 erhalten wir x² + 2ax + a² + b 00:01:10.183 --> 00:01:11.845 erhalten wir x² + 2ax + a² + b 00:01:11.845 --> 00:01:16.069 erhalten wir x² + 2ax + a² + b 00:01:16.069 --> 00:01:18.648 Mal sehen, ob wir das in diese Form bringen können. 00:01:18.648 --> 00:01:20.493 Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung. 00:01:20.493 --> 00:01:21.551 Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung. 00:01:21.551 --> 00:01:22.763 Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung. 00:01:22.763 --> 00:01:25.155 Also, x² - 2x - 8 = 0. 00:01:25.155 --> 00:01:27.387 Also, x² - 2x - 8 = 0. 00:01:27.387 --> 00:01:29.989 Also, x² - 2x - 8 = 0. 00:01:29.989 --> 00:01:31.601 Also, x² - 2x - 8 = 0. 00:01:31.601 --> 00:01:33.416 Also, x² - 2x - 8 = 0. 00:01:33.416 --> 00:01:34.958 Ich habe hier etwas Platz gelassen. 00:01:34.958 --> 00:01:36.629 Ich habe hier etwas Platz gelassen, 00:01:36.629 --> 00:01:38.271 um hier noch eine Subtraktion oder Addition einzufügen. 00:01:38.271 --> 00:01:39.933 Damit könnte es einfacher werden, diese Form zu erhalten. 00:01:39.933 --> 00:01:41.468 Damit könnte es einfacher werden, diese Form zu erhalten. 00:01:41.468 --> 00:01:44.616 Wenn wir unsere Terme jetzt einfach vergleichen: 00:01:44.616 --> 00:01:47.388 x² hier und x² hier, 00:01:47.388 --> 00:01:51.544 2ax und -2x. 00:01:51.544 --> 00:01:54.180 Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2. 00:01:54.180 --> 00:01:56.813 Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2. 00:01:56.813 --> 00:01:58.828 Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2. 00:01:58.828 --> 00:02:01.648 Also ist a gleich -1. 00:02:01.648 --> 00:02:02.559 Man könnte auch sagen, 00:02:02.559 --> 00:02:07.549 a ist gleich der Hälfte des Koeffizienten erster Ordnung, 00:02:07.549 --> 00:02:09.341 oder des Koeffizienten des x-Terms. 00:02:09.341 --> 00:02:11.013 Der Koeffizient des x-Terms ist -2 und die Hälfte davon ist -1. 00:02:11.013 --> 00:02:13.214 Der Koeffizient des x-Terms ist -2 und die Hälfte davon ist -1. 00:02:13.214 --> 00:02:14.925 Jetzt wollen wir wissen, was a² ist. 00:02:14.925 --> 00:02:19.443 Jetzt wollen wir wissen, was a² ist. 00:02:19.443 --> 00:02:22.425 Wenn a = - 1 ist, dann ist a² = 1. 00:02:22.425 --> 00:02:24.758 Also 1. 00:02:24.758 --> 00:02:25.990 Aber wir können nicht nur auf einer Seite etwas hinzufügen, 00:02:25.990 --> 00:02:28.382 Aber wir können nicht nur auf einer Seite etwas hinzufügen, 00:02:28.382 --> 00:02:30.817 ohne es auf der anderen Seite auch hinzuzufügen, 00:02:30.817 --> 00:02:33.730 oder es auf der gleichen Seite wieder zu subtrahieren. 00:02:33.730 --> 00:02:37.372 Andernfalls stimmt die Gleichung nicht mehr. 00:02:37.372 --> 00:02:39.137 Andernfalls stimmt die Gleichung nicht mehr. 00:02:39.137 --> 00:02:41.989 Also, wenn ich links 1 hinzufüge, 00:02:41.989 --> 00:02:43.050 Also, wenn ich links 1 hinzufüge, 00:02:43.050 --> 00:02:44.652 muss ich auch rechts 1 hinzufügen, damit die Gleichung wahr bleibt. 00:02:44.652 --> 00:02:46.384 muss ich auch rechts 1 hinzufügen, damit die Gleichung wahr bleibt. 00:02:46.384 --> 00:02:50.518 Ich könnte auch links 1 addieren und dann wieder subtrahieren, 00:02:50.518 --> 00:02:53.429 sodass ich den Wert der linken Seite nicht ändere. 00:02:53.429 --> 00:02:54.717 Ich addiere und subtrahiere 1 auf einer Seite. 00:02:54.717 --> 00:02:57.320 Ich addiere und subtrahiere 1 auf einer Seite. 00:02:57.320 --> 00:02:59.412 Und warum habe ich das gemacht? 00:02:59.412 --> 00:03:00.467 Ich habe den Wert der Gleichung nicht verändert. 00:03:00.467 --> 00:03:02.379 Ich habe den Wert der Gleichung nicht verändert. 00:03:02.379 --> 00:03:04.621 Ich habe denselben Wert addiert und dann wieder subtrahiert. 00:03:04.621 --> 00:03:07.113 Aber dieser Teil der linken Seite 00:03:07.113 --> 00:03:10.650 entspricht nun diesem Muster direkt hier, 00:03:10.650 --> 00:03:13.329 x² + 2ax, 00:03:13.329 --> 00:03:16.460 wobei a = -1 ist, also -2 x, 00:03:16.480 --> 00:03:19.165 + a² + -1². 00:03:19.165 --> 00:03:21.400 Und das ist + b. 00:03:21.413 --> 00:03:24.384 Und das ist + b. 00:03:24.384 --> 00:03:28.471 Wir wissen, dass b gleich - 9 ist. 00:03:28.471 --> 00:03:31.758 - 8 - 1 ist - 9. 00:03:31.758 --> 00:03:35.148 b ist gleich - 9. 00:03:35.148 --> 00:03:37.937 Damit können wir das umformulieren: 00:03:37.937 --> 00:03:39.632 Was ich hier grün umrandet habe, ist (x+a)². 00:03:39.632 --> 00:03:42.842 Was ich hier grün umrandet habe, ist (x+a)². 00:03:42.842 --> 00:03:45.358 00:03:45.358 --> 00:03:48.061 a ist minus 1. 00:03:48.061 --> 00:03:50.847 Ich schreibe es zunächst so auf: 00:03:50.847 --> 00:03:54.344 (x + a)² oder (x + -1)². 00:03:54.344 --> 00:03:56.886 Also einfach (x - 1)² 00:03:56.886 --> 00:04:01.808 Also einfach (x - 1)² 00:04:01.808 --> 00:04:04.644 - 9 00:04:04.644 --> 00:04:08.625 - 9 00:04:08.625 --> 00:04:11.398 ist gleich 0. 00:04:11.398 --> 00:04:13.400 Ich addiere 9 auf beiden Seiten, 00:04:13.400 --> 00:04:15.745 und ich erhalte hier dieses Quadrat auf der linken Seite. 00:04:15.745 --> 00:04:18.658 und ich erhalte hier dieses Quadrat auf der linken Seite. 00:04:18.658 --> 00:04:22.215 Ich addiere 9 auf beiden Seiten. 00:04:22.215 --> 00:04:27.215 Und ich erhalte-- 00:04:27.634 --> 00:04:30.447 auf der linken Seite kürzt sich das heraus.. 00:04:30.447 --> 00:04:31.988 Ich addiere 9. 00:04:31.988 --> 00:04:36.893 Und ich erhalte (x-1)² 00:04:36.893 --> 00:04:41.614 Und das ist gleich 00:04:41.614 --> 00:04:44.758 0 + 9, also 9. 00:04:44.758 --> 00:04:47.920 Wenn (x-1)² = 9 ist, 00:04:47.920 --> 00:04:50.323 Wenn (x-1)² = 9 ist, 00:04:50.323 --> 00:04:52.622 Wenn (x-1)² = 9 ist, 00:04:52.622 --> 00:04:54.344 etwas Quadriertes ist gleich 9, 00:04:54.344 --> 00:04:56.843 dann ist dieses Etwas entweder 00:04:56.843 --> 00:04:59.592 die positive oder die negative Quadratwurzel von 9. 00:04:59.592 --> 00:05:01.981 Also somit entweder 3 oder minus 3. 00:05:01.981 --> 00:05:06.981 x - 1 ist somit gleich 3 00:05:07.063 --> 00:05:10.510 oder x - 1 ist gleich -3 00:05:10.510 --> 00:05:11.501 Wenn x-1 = 3 ist, dann ist 3² = 9. 00:05:11.501 --> 00:05:14.013 Wenn x-1 = 3 ist, dann ist 3² = 9. 00:05:14.013 --> 00:05:15.875 Wenn x-1 = -3 ist, dann ist auch -3² = 9. 00:05:15.875 --> 00:05:18.341 Wenn x-1 = -3 ist, dann ist auch -3² = 9. 00:05:18.341 --> 00:05:20.283 Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung, 00:05:20.283 --> 00:05:22.405 Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung, 00:05:22.405 --> 00:05:25.835 Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung, 00:05:25.835 --> 00:05:30.063 und wir erhalten x = 4. 00:05:30.063 --> 00:05:34.467 Oder, wenn ich auf beiden Seiten dieser Gleichung 1 addiert hätte, 00:05:34.467 --> 00:05:37.684 erhalten wir x = -3+1 = 2 00:05:37.684 --> 00:05:42.684 erhalten wir x = -3+1 = 2 00:05:42.729 --> 00:05:45.144 erhalten wir x = -3+1 = 2 00:05:45.144 --> 00:05:46.446 x kann also = 4 oder = -2 sein. 00:05:46.446 --> 00:05:48.858 x kann also = 4 oder = -2 sein. 00:05:48.858 --> 00:05:49.830 Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen. 00:05:49.830 --> 00:05:51.102 Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen. 00:05:51.102 --> 00:05:52.043 Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen. 00:05:52.043 --> 00:05:54.135 Man hätte auch ausklammern können. 00:05:54.135 --> 00:05:55.793 Man hätte auch ausklammern können. 00:05:55.793 --> 00:05:58.125 Für dieses Beispiel hier könntest du damit recht haben. 00:05:58.125 --> 00:05:59.497 Aber die quadratische Ergänzung ist sehr wichtig, da du sie immer anwenden kannst. 00:05:59.497 --> 00:06:02.249 Aber die quadratische Ergänzung ist sehr wichtig, da du sie immer anwenden kannst. 00:06:02.249 --> 00:06:04.161 Bald wirst du auch die binomischen Formeln kennenlernen. 00:06:04.161 --> 00:06:05.211 Bald wirst du auch die binomischen Formeln kennenlernen. 00:06:05.211 --> 00:06:07.664 Und diese basieren auf der quadratischen Ergänzung. 00:06:07.664 --> 00:06:09.892 Und diese basieren auf der quadratischen Ergänzung. 00:06:09.892 --> 00:06:11.314 Tatsächlich ist es so, wenn du hier die Binomischen Formeln anwenden würdest, 00:06:11.314 --> 00:06:13.683 dann wäre dies im Ergebnis eine quadratische Ergänzung. 00:06:13.683 --> 00:06:15.675 dann wäre dies im Ergebnis eine quadratische Ergänzung. 00:06:15.675 --> 00:06:18.091 Hoffentlich hat dir das gefallen.