1
00:00:00,250 --> 00:00:01,192
Wir wollen heute diese quadratische Gleichung lösen.

2
00:00:01,192 --> 00:00:03,374
Wir wollen heute diese quadratische Gleichung lösen.

3
00:00:03,374 --> 00:00:06,286


4
00:00:06,286 --> 00:00:08,855


5
00:00:08,855 --> 00:00:10,810


6
00:00:10,810 --> 00:00:14,327
[Sal entschuldigt sich für störende Geräusche.]

7
00:00:14,327 --> 00:00:15,619


8
00:00:15,619 --> 00:00:19,586
Gut. Zurück zu unserem Problem.

9
00:00:19,586 --> 00:00:20,808
Es gibt mehrere Möglichkeiten, 
um diese Gleichung zu lösen.

10
00:00:20,808 --> 00:00:22,130
Es gibt mehrere Möglichkeiten, 
um diese Gleichung zu lösen.

11
00:00:22,130 --> 00:00:24,752
Wir könnten z.B. die linke Seite 
faktorisieren.

12
00:00:24,752 --> 00:00:27,284
Aber wir werden hier die Gleichung mithilfe einer Quadratischen Ergänzung lösen.

13
00:00:27,284 --> 00:00:29,392
Aber wir werden hier die Gleichung mithilfe einer Quadratischen Ergänzung lösen.

14
00:00:29,392 --> 00:00:30,577
Was bedeutet das?

15
00:00:30,577 --> 00:00:32,799
Das bedeutet, dass ich die linke Seite 
der Gleichung

16
00:00:32,799 --> 00:00:36,169
Das bedeutet, dass ich die linke Seite 
der Gleichung

17
00:00:36,169 --> 00:00:37,588
in die Form (x+a)² + b bringen werde.

18
00:00:37,588 --> 00:00:42,148
in die Form (x+a)² + b bringen werde.

19
00:00:42,148 --> 00:00:45,936
Wenn wir diese linke Gleichung
in diese Form hier bringen,

20
00:00:45,936 --> 00:00:47,640
werden wir sehen, dass wir diese 
ziemlich einfach lösen können.

21
00:00:47,640 --> 00:00:49,072
werden wir sehen, dass wir diese 
ziemlich einfach lösen können.

22
00:00:49,072 --> 00:00:50,744
Also mal sehen, ob das klappt.

23
00:00:50,744 --> 00:00:52,736
Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten.

24
00:00:52,736 --> 00:00:54,818
Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten.

25
00:00:54,818 --> 00:00:56,419
Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten.

26
00:00:56,419 --> 00:00:59,075
Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren,

27
00:00:59,075 --> 00:01:00,717
Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren,

28
00:01:00,717 --> 00:01:03,140
Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren,

29
00:01:03,140 --> 00:01:07,160
erhalten wir x² + 2ax + a² + b

30
00:01:07,160 --> 00:01:08,722
erhalten wir x² + 2ax + a² + b

31
00:01:08,722 --> 00:01:10,183
erhalten wir x² + 2ax + a² + b

32
00:01:10,183 --> 00:01:11,845
erhalten wir x² + 2ax + a² + b

33
00:01:11,845 --> 00:01:16,069
erhalten wir x² + 2ax + a² + b

34
00:01:16,069 --> 00:01:18,648
Mal sehen, ob wir das in diese Form bringen können.

35
00:01:18,648 --> 00:01:20,493
Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung.

36
00:01:20,493 --> 00:01:21,551
Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung.

37
00:01:21,551 --> 00:01:22,763
Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung.

38
00:01:22,763 --> 00:01:25,155
Also, x² - 2x - 8 = 0.

39
00:01:25,155 --> 00:01:27,387
Also, x² - 2x - 8 = 0.

40
00:01:27,387 --> 00:01:29,989
Also, x² - 2x - 8 = 0.

41
00:01:29,989 --> 00:01:31,601
Also, x² - 2x - 8 = 0.

42
00:01:31,601 --> 00:01:33,416
Also, x² - 2x - 8 = 0.

43
00:01:33,416 --> 00:01:34,958
Ich habe hier etwas Platz gelassen.

44
00:01:34,958 --> 00:01:36,629
Ich habe hier etwas Platz gelassen,

45
00:01:36,629 --> 00:01:38,271
um hier noch eine Subtraktion oder Addition einzufügen.

46
00:01:38,271 --> 00:01:39,933
Damit könnte es einfacher werden,
diese Form zu erhalten.

47
00:01:39,933 --> 00:01:41,468
Damit könnte es einfacher werden,
diese Form zu erhalten.

48
00:01:41,468 --> 00:01:44,616
Wenn wir unsere Terme jetzt einfach vergleichen:

49
00:01:44,616 --> 00:01:47,388
x² hier und x² hier,

50
00:01:47,388 --> 00:01:51,544
2ax und -2x.

51
00:01:51,544 --> 00:01:54,180
Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2.

52
00:01:54,180 --> 00:01:56,813
Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2.

53
00:01:56,813 --> 00:01:58,828
Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2.

54
00:01:58,828 --> 00:02:01,648
Also ist a gleich -1.

55
00:02:01,648 --> 00:02:02,559
Man könnte auch sagen,

56
00:02:02,559 --> 00:02:07,549
a ist gleich der Hälfte des 
Koeffizienten erster Ordnung,

57
00:02:07,549 --> 00:02:09,341
oder des Koeffizienten des x-Terms.

58
00:02:09,341 --> 00:02:11,013
Der Koeffizient des x-Terms ist -2 
und die Hälfte davon ist -1.

59
00:02:11,013 --> 00:02:13,214
Der Koeffizient des x-Terms ist -2 
und die Hälfte davon ist -1.

60
00:02:13,214 --> 00:02:14,925
Jetzt wollen wir wissen, was a² ist.

61
00:02:14,925 --> 00:02:19,443
Jetzt wollen wir wissen, was a² ist.

62
00:02:19,443 --> 00:02:22,425
Wenn a = - 1 ist, 
dann ist a² = 1.

63
00:02:22,425 --> 00:02:24,758
Also 1.

64
00:02:24,758 --> 00:02:25,990
Aber wir können nicht nur 
auf einer Seite etwas hinzufügen,

65
00:02:25,990 --> 00:02:28,382
Aber wir können nicht nur 
auf einer Seite etwas hinzufügen,

66
00:02:28,382 --> 00:02:30,817
ohne es auf der anderen Seite auch hinzuzufügen,

67
00:02:30,817 --> 00:02:33,730
oder es auf der gleichen 
Seite wieder zu subtrahieren.

68
00:02:33,730 --> 00:02:37,372
Andernfalls stimmt die Gleichung nicht mehr.

69
00:02:37,372 --> 00:02:39,137
Andernfalls stimmt die Gleichung nicht mehr.

70
00:02:39,137 --> 00:02:41,989
Also, wenn ich links 1 hinzufüge,

71
00:02:41,989 --> 00:02:43,050
Also, wenn ich links 1 hinzufüge,

72
00:02:43,050 --> 00:02:44,652
muss ich auch rechts 1 hinzufügen, 
damit die Gleichung wahr bleibt.

73
00:02:44,652 --> 00:02:46,384
muss ich auch rechts 1 hinzufügen, 
damit die Gleichung wahr bleibt.

74
00:02:46,384 --> 00:02:50,518
Ich könnte auch links 1 addieren und
dann wieder subtrahieren,

75
00:02:50,518 --> 00:02:53,429
sodass ich den Wert der linken Seite
nicht ändere.

76
00:02:53,429 --> 00:02:54,717
Ich addiere und subtrahiere 1 auf einer Seite.

77
00:02:54,717 --> 00:02:57,320
Ich addiere und subtrahiere 1 auf einer Seite.

78
00:02:57,320 --> 00:02:59,412
Und warum habe ich das gemacht?

79
00:02:59,412 --> 00:03:00,467
Ich habe den Wert der Gleichung nicht verändert.

80
00:03:00,467 --> 00:03:02,379
Ich habe den Wert der Gleichung nicht verändert.

81
00:03:02,379 --> 00:03:04,621
Ich habe denselben Wert addiert und dann wieder subtrahiert.

82
00:03:04,621 --> 00:03:07,113
Aber dieser Teil der linken Seite

83
00:03:07,113 --> 00:03:10,650
entspricht nun diesem Muster direkt hier,

84
00:03:10,650 --> 00:03:13,329
x² + 2ax,

85
00:03:13,329 --> 00:03:16,460
wobei a = -1 ist,
also -2 x,

86
00:03:16,480 --> 00:03:19,165
+ a² + -1².

87
00:03:19,165 --> 00:03:21,400
Und das ist + b.

88
00:03:21,413 --> 00:03:24,384
Und das ist + b.

89
00:03:24,384 --> 00:03:28,471
Wir wissen, 
dass b gleich - 9 ist.

90
00:03:28,471 --> 00:03:31,758
- 8 - 1 ist - 9.

91
00:03:31,758 --> 00:03:35,148
b ist gleich - 9.

92
00:03:35,148 --> 00:03:37,937
Damit können wir das umformulieren:

93
00:03:37,937 --> 00:03:39,632
Was ich hier grün umrandet habe, ist (x+a)².

94
00:03:39,632 --> 00:03:42,842
Was ich hier grün umrandet habe, ist (x+a)².

95
00:03:42,842 --> 00:03:45,358


96
00:03:45,358 --> 00:03:48,061
a ist minus 1.

97
00:03:48,061 --> 00:03:50,847
Ich schreibe es zunächst so auf:

98
00:03:50,847 --> 00:03:54,344
(x + a)² oder (x + -1)².

99
00:03:54,344 --> 00:03:56,886
Also einfach (x - 1)²

100
00:03:56,886 --> 00:04:01,808
Also einfach (x - 1)²

101
00:04:01,808 --> 00:04:04,644
- 9

102
00:04:04,644 --> 00:04:08,625
- 9

103
00:04:08,625 --> 00:04:11,398
ist gleich 0.

104
00:04:11,398 --> 00:04:13,400
Ich addiere 9 auf beiden Seiten,

105
00:04:13,400 --> 00:04:15,745
und ich erhalte hier dieses Quadrat auf der linken Seite.

106
00:04:15,745 --> 00:04:18,658
und ich erhalte hier dieses Quadrat auf der linken Seite.

107
00:04:18,658 --> 00:04:22,215
Ich addiere 9 auf beiden Seiten.

108
00:04:22,215 --> 00:04:27,215
Und ich erhalte--

109
00:04:27,634 --> 00:04:30,447
auf der linken Seite kürzt sich das heraus..

110
00:04:30,447 --> 00:04:31,988
Ich addiere 9.

111
00:04:31,988 --> 00:04:36,893
Und ich erhalte (x-1)²

112
00:04:36,893 --> 00:04:41,614
Und das ist gleich

113
00:04:41,614 --> 00:04:44,758
0 + 9, also 9.

114
00:04:44,758 --> 00:04:47,920
Wenn (x-1)² = 9 ist,

115
00:04:47,920 --> 00:04:50,323
Wenn (x-1)² = 9 ist,

116
00:04:50,323 --> 00:04:52,622
Wenn (x-1)² = 9 ist,

117
00:04:52,622 --> 00:04:54,344
etwas Quadriertes ist gleich 9,

118
00:04:54,344 --> 00:04:56,843
dann ist dieses Etwas entweder

119
00:04:56,843 --> 00:04:59,592
die positive oder die negative
Quadratwurzel von 9.

120
00:04:59,592 --> 00:05:01,981
Also somit entweder 3 oder minus 3.

121
00:05:01,981 --> 00:05:06,981
x - 1 ist somit gleich 3

122
00:05:07,063 --> 00:05:10,510
oder x - 1 ist gleich -3

123
00:05:10,510 --> 00:05:11,501
Wenn x-1 = 3 ist, dann ist 3² = 9.

124
00:05:11,501 --> 00:05:14,013
Wenn x-1 = 3 ist, dann ist 3² = 9.

125
00:05:14,013 --> 00:05:15,875
Wenn x-1 = -3 ist, dann ist auch -3² = 9.

126
00:05:15,875 --> 00:05:18,341
Wenn x-1 = -3 ist, dann ist auch -3² = 9.

127
00:05:18,341 --> 00:05:20,283
Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung,

128
00:05:20,283 --> 00:05:22,405
Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung,

129
00:05:22,405 --> 00:05:25,835
Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung,

130
00:05:25,835 --> 00:05:30,063
und wir erhalten x = 4.

131
00:05:30,063 --> 00:05:34,467
Oder, wenn ich auf beiden Seiten 
dieser Gleichung 1 addiert hätte,

132
00:05:34,467 --> 00:05:37,684
erhalten wir x = -3+1 = 2

133
00:05:37,684 --> 00:05:42,684
erhalten wir x = -3+1 = 2

134
00:05:42,729 --> 00:05:45,144
erhalten wir x = -3+1 = 2

135
00:05:45,144 --> 00:05:46,446
x kann also = 4 oder = -2 sein.

136
00:05:46,446 --> 00:05:48,858
x kann also = 4 oder = -2 sein.

137
00:05:48,858 --> 00:05:49,830
Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen.

138
00:05:49,830 --> 00:05:51,102
Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen.

139
00:05:51,102 --> 00:05:52,043
Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen.

140
00:05:52,043 --> 00:05:54,135
Man hätte auch ausklammern können.

141
00:05:54,135 --> 00:05:55,793
Man hätte auch ausklammern können.

142
00:05:55,793 --> 00:05:58,125
Für dieses Beispiel hier könntest du damit recht haben.

143
00:05:58,125 --> 00:05:59,497
Aber die quadratische Ergänzung ist sehr wichtig, da du sie immer anwenden kannst.

144
00:05:59,497 --> 00:06:02,249
Aber die quadratische Ergänzung ist sehr wichtig, da du sie immer anwenden kannst.

145
00:06:02,249 --> 00:06:04,161
Bald wirst du auch die binomischen Formeln kennenlernen.

146
00:06:04,161 --> 00:06:05,211
Bald wirst du auch die binomischen Formeln kennenlernen.

147
00:06:05,211 --> 00:06:07,664
Und diese basieren auf der quadratischen Ergänzung.

148
00:06:07,664 --> 00:06:09,892
Und diese basieren auf der quadratischen Ergänzung.

149
00:06:09,892 --> 00:06:11,314
Tatsächlich ist es so, wenn du hier die
Binomischen Formeln anwenden würdest,

150
00:06:11,314 --> 00:06:13,683
dann wäre dies im Ergebnis eine quadratische Ergänzung.

151
00:06:13,683 --> 00:06:15,675
dann wäre dies im Ergebnis eine quadratische Ergänzung.

152
00:06:15,675 --> 00:06:18,091
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