Vi skal finde ud af, hvad definitionsmængden
og værdimængden af sinusfunktionen er.
For at gøre det, lad os tegne grafen for sinusfunktionen.
Her til venstre har jeg en enhedscirkel.
-- lad mig lige fjerne dette --
Jeg har en enhedscirkel her til venstre
og nu skal jeg finde ud af,
hvilke værdier sinus har for forskellige værdier af θ.
På enhedscirklen er dette x og dette er y.
For enhver θ kan vi se, hvor det andet vinkelben skærer enhedscirklen
og y-koordinaten til dette punkt svarer til sinus til θ.
Her tegner jeg grafen.
y er den lodrette akse,
men jeg tegner grafen for y = sin(θ).
Den vandrette akse er ikke x men θ.
θ er den uafhængige variabel
og θ bliver målt i radianer.
Vi skal nu vælge nogle θ'er
er finde ud af, hvad sin(θ) er
og tegne det.
Lad os lave en lille tabel her.
Her har jeg θ
og her har jeg sin(θ).
Vi skal vælge flere forskellige θ'er.
Lad os starte med 0.
Vi starter med theta er lig 0.
Hvad er sin(θ)?
Når vinklen er 0, så skærer vi enhedscirklen lige her.
y-koordinaten er 0.
Dette punkt er (1,0).
y-koordinaten er 0, så sin(θ) er 0.
Vi kan sige, at sin(0) er lig 0.
Lad os prøve θ = π/2.
θ er lig π/2.
Jeg vælger værdier, der er nemme at udregne.
Hvis theta er lig pi/2,
som er det samme som en vinkel på 90 grader,
så ligger det andet vinkelben langs y-aksen,
og den skærer enhedscirklen lige her.
Hvad er dette punkt?
Det er punktet (0,1).
Hvad er sin(π/2)?
sin(π/2) svarer til denne y-koordinat.
Den er 1.
sin(π/2) er 1.
Lad os fortsætte, og du kan måske se et mønster.
Vi fortsætter rundt om cirklen.
Lad os se, hvad der sker, når θ er lig π.
Når θ er lig π, hvad er så sin(π)?
Vi skærer enhedscirklen lige her.
Koordinatsættet er (-1,0).
Sinus svarer til y-koordinaten,
så dette er sin(π).
sin(π) er 0.
Lad os gå til 3π/2.
Nu er vi tre fjerdele rundt om cirklen.
Vi skærer enhedscirklen lige her.
Hvad er sin(3π/2)?
Dette punkt er (0,-1).
sin(θ) er y-koordinaten,
så sin(3π/2) er -1.
Nu er vi nået hele vejen rundt og θ er lig 2π.
-- Lad mig lige bruge gult her --
Hvad sker der når θ er lig 2π?
Vi er gået hele vejen rundt om cirklen og er tilbage, hvor vi startede,
og y-koordinaten er 0,
så sinus til 2π er 0.
Hvis vi fortsætter med at gå rundt, så vil vi få det samme mønster igen.
Lad os nu tegne dette.
Når θ er lig 0, så er sin(θ) lig 0.
Når θ er lig π/2, så er sin(θ) lig 1.
Lad os bruge samme skala.
sin(θ) er lig 1.
Dette er 1 på denne akse og den akse herover,
så vi bedre kan sammenligne.
Når θ er lig π, så er sin(θ) lig 0.
Vi går derfor ned hertil.
Når θ er lig 3π/2, så er sin(3π/2) lig -1.
-1 er lige her og jeg bruger samme skala, så dette er -1
og sin(θ) er -1.
Når theta er 2π, så er sin(θ) lig 0.
Nu kan vi forbinde punkterne.
-- du kan lave flere punkter --
Du får en graf, der ser nogenlunde således ud.
Mit bedste forsøg på en frihåndstegning.
Dette er grunden til at grafer som disse er kaldet sinuskurver,
da de ligner grafen for sinusfunktionen.
Dette er dog ikke hele grafen, da vi kan fortsætte.
Vi kan gå π/2 længere end 2π,
så kommer du til 5π/2.
Så kommer du tilbage hertil, hvor sin(π) er lig 1.
Vi får dette punkt.
Du kan fortsætte og gå π/2 længere,
og så får du dette punkt.
Funktionen sin(θ) er defineret for enhver værdi af θ.
Alle reelle værdier.
Hvad med negative værdier?
Når θ stiger som her,
så fortsætter vi med at gå rundt om cirklen,
og dette mønster dukker op.
Hvad sker der, hvis vi går i den negative retning?
Lad os prøve ..
Hvad får vi, når θ er lig -π/2?
-π/2 er lige her.
Vi skærer enhedscirklen lige her.
y-koordinaten er -1.
sin(-π/2) er -1.
Vi kan se at det blot fortsætter.
sin(θ) er defineret for enhver positiv og negativ værdi og 0,
altså enhver værdi.
Den en er defineret for alle værdier.
Lad os gå tilbage til spørgsmålet.
Jeg kan forsætte med at tegne funktionen.
Lad os gå tilbage til spørgsmålet.
Hvad er definitionsmængden?
Hvad er definitionsmængden af sinusfunktionen?
Husk definitionsmængden er alle de inputs for hvilke funktionen er defineret,
altså alle gyldige input for funktionen, hvor funktionen kan returnere en værdi.
Hvad er definitionsmængden for sinusfunktionen?
Det har vi lige set.
Vi kan inputte enhver værdi af θ.
Så definitionsmængden er alle reelle tal.
Hvad med værdimængden?
Værdimængden er også kaldet billedmængden.
Det er den mængde af værdier som en funktion er i stand til at returnere.
Hvad er den mængde?
Hvad er værdimængden?
Hvilke værdier kan y er lig sin(θ) være?
Vi kan se, at den bliver ved med at være mellem +1 og -1.
og så tilbage til +1 og så -1.
Den kan være alle værdierne i mellem.
sin(θ) er altid mindre end eller lig 1
og altid større end eller lig -1.
Værdimængden af sin(θ) er alle tal mellem -1 og +1
og både -1 og +1 er inkluderet,
så vi skal lave klammer, der vender indad.