WEBVTT

00:00:00.775 --> 00:00:03.438
Vi skal finde ud af,
hvad definitionsmængden

00:00:03.438 --> 00:00:06.298
og værdimængden af sinusfunktionen er.

00:00:06.298 --> 00:00:10.909
For at gøre det, lad os tegne
grafen for sinusfunktionen.

00:00:10.909 --> 00:00:15.705
Her til venstre har jeg en enhedscirkel.

00:00:15.705 --> 00:00:21.283
-- lad mig lige fjerne dette --

00:00:21.283 --> 00:00:24.611
Jeg har en enhedscirkel her til venstre

00:00:24.611 --> 00:00:26.817
og nu skal jeg finde ud af,

00:00:26.817 --> 00:00:30.076
hvilke værdier sinus har for
forskellige værdier af θ.

00:00:30.076 --> 00:00:38.980
På enhedscirklen er dette x og dette er y.

00:00:38.980 --> 00:00:44.733
For enhver θ kan vi se, hvor det
andet vinkelben skærer enhedscirklen

00:00:44.733 --> 00:00:48.837
og y-koordinaten til dette punkt
svarer til sinus til θ.

00:00:49.076 --> 00:00:52.088
Her tegner jeg grafen.

00:00:52.088 --> 00:00:54.758
y er den lodrette akse,

00:00:54.758 --> 00:01:02.196
men jeg tegner grafen for
y = sin(θ).

00:01:02.220 --> 00:01:07.215
Den vandrette akse er ikke x men θ.

00:01:07.215 --> 00:01:09.657
θ er den uafhængige variabel

00:01:09.657 --> 00:01:13.649
og θ bliver målt i radianer.

00:01:13.649 --> 00:01:16.585
Vi skal nu vælge nogle θ'er

00:01:16.585 --> 00:01:19.406
er finde ud af, hvad sin(θ) er

00:01:19.406 --> 00:01:20.976
og tegne det.

00:01:20.976 --> 00:01:26.339
Lad os lave en lille tabel her.

00:01:26.342 --> 00:01:28.827
Her har jeg θ

00:01:28.827 --> 00:01:34.079
og her har jeg sin(θ).

00:01:34.102 --> 00:01:36.743
Vi skal vælge flere forskellige θ'er.

00:01:36.743 --> 00:01:41.826
Lad os starte med 0.

00:01:42.052 --> 00:01:44.488
Vi starter med theta er lig 0.

00:01:44.488 --> 00:01:46.734
Hvad er sin(θ)?

00:01:46.734 --> 00:01:51.421
Når vinklen er 0,
så skærer vi enhedscirklen lige her.

00:01:51.421 --> 00:01:53.815
y-koordinaten er 0.

00:01:53.815 --> 00:01:57.823
Dette punkt er (1,0).

00:01:57.823 --> 00:02:00.410
y-koordinaten er 0,
så sin(θ) er 0.

00:02:00.410 --> 00:02:07.464
Vi kan sige, at sin(0) er lig 0.

00:02:07.855 --> 00:02:13.111
Lad os prøve θ = π/2.

00:02:13.111 --> 00:02:14.781
θ er lig π/2.

00:02:14.781 --> 00:02:17.471
Jeg vælger værdier,
der er nemme at udregne.

00:02:17.471 --> 00:02:18.897
Hvis theta er lig pi/2,

00:02:18.897 --> 00:02:20.941
som er det samme som
en vinkel på 90 grader,

00:02:20.941 --> 00:02:25.516
så ligger det andet
vinkelben langs y-aksen,

00:02:25.516 --> 00:02:31.789
og den skærer enhedscirklen 
lige her.

00:02:31.789 --> 00:02:33.346
Hvad er dette punkt?

00:02:33.346 --> 00:02:37.389
Det er punktet (0,1).

00:02:37.389 --> 00:02:41.276
Hvad er sin(π/2)?

00:02:42.035 --> 00:02:45.730
sin(π/2) svarer
til denne y-koordinat.

00:02:45.730 --> 00:02:46.477
Den er 1.

00:02:46.477 --> 00:02:48.884
sin(π/2) er 1.

00:02:48.884 --> 00:02:51.407
Lad os fortsætte, og du kan
måske se et mønster.

00:02:51.407 --> 00:02:53.780
Vi fortsætter rundt om cirklen.

00:02:53.780 --> 00:02:57.930
Lad os se, hvad der sker,
når θ er lig π.

00:02:57.930 --> 00:03:02.120
Når θ er lig π,
hvad er så sin(π)?

00:03:02.691 --> 00:03:06.436
Vi skærer enhedscirklen lige her.

00:03:06.436 --> 00:03:09.921
Koordinatsættet er (-1,0).

00:03:09.921 --> 00:03:11.951
Sinus svarer til y-koordinaten,

00:03:11.951 --> 00:03:14.197
så dette er sin(π).

00:03:14.197 --> 00:03:16.924
sin(π) er 0.

00:03:16.924 --> 00:03:21.674
Lad os gå til 3π/2.

00:03:21.674 --> 00:03:28.345
Nu er vi tre fjerdele rundt om cirklen.

00:03:28.415 --> 00:03:33.492
Vi skærer enhedscirklen lige her.

00:03:33.492 --> 00:03:38.448
Hvad er sin(3π/2)?

00:03:38.448 --> 00:03:46.612
Dette punkt er (0,-1).

00:03:46.973 --> 00:03:52.450
sin(θ) er y-koordinaten,

00:03:52.450 --> 00:04:00.044
så sin(3π/2) er -1.

00:04:00.359 --> 00:04:08.344
Nu er vi nået hele vejen rundt
og θ er lig 2π.

00:04:08.344 --> 00:04:11.074
-- Lad mig lige bruge gult her --

00:04:11.074 --> 00:04:12.952
Hvad sker der når θ er lig 2π?

00:04:12.952 --> 00:04:18.672
Vi er gået hele vejen rundt om cirklen
og er tilbage, hvor vi startede,

00:04:18.672 --> 00:04:21.483
og y-koordinaten er 0,

00:04:21.483 --> 00:04:24.333
så sinus til 2π er 0.

00:04:24.333 --> 00:04:30.364
Hvis vi fortsætter med at gå rundt,
så vil vi få det samme mønster igen.

00:04:30.520 --> 00:04:32.596
Lad os nu tegne dette.

00:04:32.596 --> 00:04:37.298
Når θ er lig 0,
så er sin(θ) lig 0.

00:04:37.519 --> 00:04:47.508
Når θ er lig π/2,
så er sin(θ) lig 1.

00:04:47.621 --> 00:04:49.751
Lad os bruge samme skala.

00:04:49.751 --> 00:04:54.924
sin(θ) er lig 1.

00:04:54.924 --> 00:04:58.837
Dette er 1 på denne akse
og den akse herover,

00:04:58.837 --> 00:05:01.343
så vi bedre kan sammenligne.

00:05:01.343 --> 00:05:09.440
Når θ er lig π,
så er sin(θ) lig 0.

00:05:09.491 --> 00:05:11.574
Vi går derfor ned hertil.

00:05:11.574 --> 00:05:21.300
Når θ er lig 3π/2,
så er sin(3π/2) lig -1.

00:05:21.465 --> 00:05:29.306
-1 er lige her og jeg bruger
samme skala, så dette er -1

00:05:29.306 --> 00:05:32.793
og sin(θ) er -1.

00:05:33.435 --> 00:05:44.238
Når theta er 2π,
så er sin(θ) lig 0.

00:05:44.238 --> 00:05:45.621
Nu kan vi forbinde punkterne.

00:05:45.621 --> 00:05:47.141
-- du kan lave flere punkter --

00:05:47.141 --> 00:05:53.891
Du får en graf, der ser
nogenlunde således ud.

00:05:53.891 --> 00:06:00.217
Mit bedste forsøg på en frihåndstegning.

00:06:00.470 --> 00:06:03.638
Dette er grunden til at grafer
som disse er kaldet sinuskurver,

00:06:03.638 --> 00:06:08.404
da de ligner grafen for sinusfunktionen.

00:06:08.404 --> 00:06:10.786
Dette er dog ikke hele grafen,
da vi kan fortsætte.

00:06:10.786 --> 00:06:17.092
Vi kan gå π/2 længere end 2π,

00:06:17.092 --> 00:06:21.007
så kommer du til 5π/2.

00:06:21.007 --> 00:06:26.161
Så kommer du tilbage hertil,
hvor sin(π) er lig 1.

00:06:26.161 --> 00:06:28.362
Vi får dette punkt.

00:06:28.362 --> 00:06:30.662
Du kan fortsætte og gå π/2 længere,

00:06:30.662 --> 00:06:33.641
og så får du dette punkt.

00:06:33.641 --> 00:06:40.813
Funktionen sin(θ) er
defineret for enhver værdi af θ.

00:06:40.813 --> 00:06:45.385
Alle reelle værdier.

00:06:45.385 --> 00:06:46.622
Hvad med negative værdier?

00:06:46.622 --> 00:06:48.818
Når θ stiger som her,

00:06:48.818 --> 00:06:50.868
så fortsætter vi med at gå
rundt om cirklen,

00:06:50.868 --> 00:06:52.279
og dette mønster dukker op.

00:06:52.279 --> 00:06:54.617
Hvad sker der, hvis vi går
i den negative retning?

00:06:54.617 --> 00:06:55.574
Lad os prøve ..

00:06:55.574 --> 00:07:01.301
Hvad får vi, når θ er lig -π/2?

00:07:01.301 --> 00:07:04.382
-π/2 er lige her.

00:07:04.382 --> 00:07:11.283
Vi skærer enhedscirklen lige her.

00:07:11.283 --> 00:07:13.555
y-koordinaten er -1.

00:07:13.555 --> 00:07:16.591
sin(-π/2) er -1.

00:07:16.591 --> 00:07:20.865
Vi kan se at det blot fortsætter.

00:07:20.865 --> 00:07:27.760
sin(θ) er defineret for
enhver positiv og negativ værdi og 0,

00:07:27.760 --> 00:07:28.663
altså enhver værdi.

00:07:28.663 --> 00:07:30.543
Den en er defineret for alle værdier.

00:07:30.543 --> 00:07:32.575
Lad os gå tilbage til spørgsmålet.

00:07:32.575 --> 00:07:36.088
Jeg kan forsætte med at tegne funktionen.

00:07:36.088 --> 00:07:37.911
Lad os gå tilbage til spørgsmålet.

00:07:37.911 --> 00:07:43.121
Hvad er definitionsmængden?

00:07:43.121 --> 00:07:49.037
Hvad er definitionsmængden
af sinusfunktionen?

00:07:49.037 --> 00:07:54.266
Husk definitionsmængden er alle de
inputs for hvilke funktionen er defineret,

00:07:54.266 --> 00:07:59.225
altså alle gyldige input for funktionen,
hvor funktionen kan returnere en værdi.

00:07:59.225 --> 00:08:04.076
Hvad er definitionsmængden
for sinusfunktionen?

00:08:04.076 --> 00:08:05.125
Det har vi lige set.

00:08:05.125 --> 00:08:06.894
Vi kan inputte enhver værdi af θ.

00:08:06.894 --> 00:08:19.046
Så definitionsmængden er alle reelle tal.

00:08:19.333 --> 00:08:25.034
Hvad med værdimængden?

00:08:25.693 --> 00:08:31.978
Værdimængden er også
kaldet billedmængden.

00:08:31.978 --> 00:08:37.243
Det er den mængde af værdier som
en funktion er i stand til at returnere.

00:08:37.243 --> 00:08:38.633
Hvad er den mængde?

00:08:38.633 --> 00:08:39.642
Hvad er værdimængden?

00:08:39.642 --> 00:08:43.914
Hvilke værdier kan y er lig
sin(θ) være?

00:08:43.914 --> 00:08:52.379
Vi kan se, at den bliver ved
med at være mellem +1 og -1.

00:08:52.379 --> 00:08:54.312
og så tilbage til +1 og så -1.

00:08:54.312 --> 00:08:57.115
Den kan være alle værdierne i mellem.

00:08:57.115 --> 00:09:03.887
sin(θ) er altid
mindre end eller lig 1

00:09:03.887 --> 00:09:07.485
og altid større end eller lig -1.

00:09:07.485 --> 00:09:14.456
Værdimængden af sin(θ)
er alle tal mellem -1 og +1

00:09:14.456 --> 00:09:17.036
og både -1 og +1 er inkluderet,

00:09:17.036 --> 00:09:21.203
så vi skal lave klammer, der vender indad.