[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.78,0:00:03.44,Default,,0000,0000,0000,,Vi skal finde ud af,\Nhvad definitionsmængden
Dialogue: 0,0:00:03.44,0:00:06.30,Default,,0000,0000,0000,,og værdimængden af sinusfunktionen er.
Dialogue: 0,0:00:06.30,0:00:10.91,Default,,0000,0000,0000,,For at gøre det, lad os tegne\Ngrafen for sinusfunktionen.
Dialogue: 0,0:00:10.91,0:00:15.70,Default,,0000,0000,0000,,Her til venstre har jeg en enhedscirkel.
Dialogue: 0,0:00:15.70,0:00:21.28,Default,,0000,0000,0000,,-- lad mig lige fjerne dette --
Dialogue: 0,0:00:21.28,0:00:24.61,Default,,0000,0000,0000,,Jeg har en enhedscirkel her til venstre
Dialogue: 0,0:00:24.61,0:00:26.82,Default,,0000,0000,0000,,og nu skal jeg finde ud af,
Dialogue: 0,0:00:26.82,0:00:30.08,Default,,0000,0000,0000,,hvilke værdier sinus har for\Nforskellige værdier af θ.
Dialogue: 0,0:00:30.08,0:00:38.98,Default,,0000,0000,0000,,På enhedscirklen er dette x og dette er y.
Dialogue: 0,0:00:38.98,0:00:44.73,Default,,0000,0000,0000,,For enhver θ kan vi se, hvor det\Nandet vinkelben skærer enhedscirklen
Dialogue: 0,0:00:44.73,0:00:48.84,Default,,0000,0000,0000,,og y-koordinaten til dette punkt\Nsvarer til sinus til θ.
Dialogue: 0,0:00:49.08,0:00:52.09,Default,,0000,0000,0000,,Her tegner jeg grafen.
Dialogue: 0,0:00:52.09,0:00:54.76,Default,,0000,0000,0000,,y er den lodrette akse,
Dialogue: 0,0:00:54.76,0:01:02.20,Default,,0000,0000,0000,,men jeg tegner grafen for\Ny = sin(θ).
Dialogue: 0,0:01:02.22,0:01:07.22,Default,,0000,0000,0000,,Den vandrette akse er ikke x men θ.
Dialogue: 0,0:01:07.22,0:01:09.66,Default,,0000,0000,0000,,θ er den uafhængige variabel
Dialogue: 0,0:01:09.66,0:01:13.65,Default,,0000,0000,0000,,og θ bliver målt i radianer.
Dialogue: 0,0:01:13.65,0:01:16.58,Default,,0000,0000,0000,,Vi skal nu vælge nogle θ'er
Dialogue: 0,0:01:16.58,0:01:19.41,Default,,0000,0000,0000,,er finde ud af, hvad sin(θ) er
Dialogue: 0,0:01:19.41,0:01:20.98,Default,,0000,0000,0000,,og tegne det.
Dialogue: 0,0:01:20.98,0:01:26.34,Default,,0000,0000,0000,,Lad os lave en lille tabel her.
Dialogue: 0,0:01:26.34,0:01:28.83,Default,,0000,0000,0000,,Her har jeg θ
Dialogue: 0,0:01:28.83,0:01:34.08,Default,,0000,0000,0000,,og her har jeg sin(θ).
Dialogue: 0,0:01:34.10,0:01:36.74,Default,,0000,0000,0000,,Vi skal vælge flere forskellige θ'er.
Dialogue: 0,0:01:36.74,0:01:41.83,Default,,0000,0000,0000,,Lad os starte med 0.
Dialogue: 0,0:01:42.05,0:01:44.49,Default,,0000,0000,0000,,Vi starter med theta er lig 0.
Dialogue: 0,0:01:44.49,0:01:46.73,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er sin(θ)?
Dialogue: 0,0:01:46.73,0:01:51.42,Default,,0000,0000,0000,,Når vinklen er 0,\Nså skærer vi enhedscirklen lige her.
Dialogue: 0,0:01:51.42,0:01:53.82,Default,,0000,0000,0000,,y-koordinaten er 0.
Dialogue: 0,0:01:53.82,0:01:57.82,Default,,0000,0000,0000,,Dette punkt er (1,0).
Dialogue: 0,0:01:57.82,0:02:00.41,Default,,0000,0000,0000,,y-koordinaten er 0,\Nså sin(θ) er 0.
Dialogue: 0,0:02:00.41,0:02:07.46,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan sige, at sin(0) er lig 0.
Dialogue: 0,0:02:07.86,0:02:13.11,Default,,0000,0000,0000,,Lad os prøve θ = π/2.
Dialogue: 0,0:02:13.11,0:02:14.78,Default,,0000,0000,0000,,θ er lig π/2.
Dialogue: 0,0:02:14.78,0:02:17.47,Default,,0000,0000,0000,,Jeg vælger værdier,\Nder er nemme at udregne.
Dialogue: 0,0:02:17.47,0:02:18.90,Default,,0000,0000,0000,,Hvis theta er lig pi/2,
Dialogue: 0,0:02:18.90,0:02:20.94,Default,,0000,0000,0000,,som er det samme som\Nen vinkel på 90 grader,
Dialogue: 0,0:02:20.94,0:02:25.52,Default,,0000,0000,0000,,så ligger det andet\Nvinkelben langs y-aksen,
Dialogue: 0,0:02:25.52,0:02:31.79,Default,,0000,0000,0000,,og den skærer enhedscirklen \Nlige her.
Dialogue: 0,0:02:31.79,0:02:33.35,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er dette punkt?
Dialogue: 0,0:02:33.35,0:02:37.39,Default,,0000,0000,0000,,Det er punktet (0,1).
Dialogue: 0,0:02:37.39,0:02:41.28,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er sin(π/2)?
Dialogue: 0,0:02:42.04,0:02:45.73,Default,,0000,0000,0000,,sin(π/2) svarer\Ntil denne y-koordinat.
Dialogue: 0,0:02:45.73,0:02:46.48,Default,,0000,0000,0000,,Den er 1.
Dialogue: 0,0:02:46.48,0:02:48.88,Default,,0000,0000,0000,,sin(π/2) er 1.
Dialogue: 0,0:02:48.88,0:02:51.41,Default,,0000,0000,0000,,Lad os fortsætte, og du kan\Nmåske se et mønster.
Dialogue: 0,0:02:51.41,0:02:53.78,Default,,0000,0000,0000,,Vi fortsætter rundt om cirklen.
Dialogue: 0,0:02:53.78,0:02:57.93,Default,,0000,0000,0000,,Lad os se, hvad der sker,\Nnår θ er lig π.
Dialogue: 0,0:02:57.93,0:03:02.12,Default,,0000,0000,0000,,Når θ er lig π,\Nhvad er så sin(π)?
Dialogue: 0,0:03:02.69,0:03:06.44,Default,,0000,0000,0000,,Vi skærer enhedscirklen lige her.
Dialogue: 0,0:03:06.44,0:03:09.92,Default,,0000,0000,0000,,Koordinatsættet er (-1,0).
Dialogue: 0,0:03:09.92,0:03:11.95,Default,,0000,0000,0000,,Sinus svarer til y-koordinaten,
Dialogue: 0,0:03:11.95,0:03:14.20,Default,,0000,0000,0000,,så dette er sin(π).
Dialogue: 0,0:03:14.20,0:03:16.92,Default,,0000,0000,0000,,sin(π) er 0.
Dialogue: 0,0:03:16.92,0:03:21.67,Default,,0000,0000,0000,,Lad os gå til 3π/2.
Dialogue: 0,0:03:21.67,0:03:28.34,Default,,0000,0000,0000,,Nu er vi tre fjerdele rundt om cirklen.
Dialogue: 0,0:03:28.42,0:03:33.49,Default,,0000,0000,0000,,Vi skærer enhedscirklen lige her.
Dialogue: 0,0:03:33.49,0:03:38.45,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er sin(3π/2)?
Dialogue: 0,0:03:38.45,0:03:46.61,Default,,0000,0000,0000,,Dette punkt er (0,-1).
Dialogue: 0,0:03:46.97,0:03:52.45,Default,,0000,0000,0000,,sin(θ) er y-koordinaten,
Dialogue: 0,0:03:52.45,0:04:00.04,Default,,0000,0000,0000,,så sin(3π/2) er -1.
Dialogue: 0,0:04:00.36,0:04:08.34,Default,,0000,0000,0000,,Nu er vi nået hele vejen rundt\Nog θ er lig 2π.
Dialogue: 0,0:04:08.34,0:04:11.07,Default,,0000,0000,0000,,-- Lad mig lige bruge gult her --
Dialogue: 0,0:04:11.07,0:04:12.95,Default,,0000,0000,0000,,Hvad sker der når θ er lig 2π?
Dialogue: 0,0:04:12.95,0:04:18.67,Default,,0000,0000,0000,,Vi er gået hele vejen rundt om cirklen\Nog er tilbage, hvor vi startede,
Dialogue: 0,0:04:18.67,0:04:21.48,Default,,0000,0000,0000,,og y-koordinaten er 0,
Dialogue: 0,0:04:21.48,0:04:24.33,Default,,0000,0000,0000,,så sinus til 2π er 0.
Dialogue: 0,0:04:24.33,0:04:30.36,Default,,0000,0000,0000,,Hvis vi fortsætter med at gå rundt,\Nså vil vi få det samme mønster igen.
Dialogue: 0,0:04:30.52,0:04:32.60,Default,,0000,0000,0000,,Lad os nu tegne dette.
Dialogue: 0,0:04:32.60,0:04:37.30,Default,,0000,0000,0000,,Når θ er lig 0,\Nså er sin(θ) lig 0.
Dialogue: 0,0:04:37.52,0:04:47.51,Default,,0000,0000,0000,,Når θ er lig π/2,\Nså er sin(θ) lig 1.
Dialogue: 0,0:04:47.62,0:04:49.75,Default,,0000,0000,0000,,Lad os bruge samme skala.
Dialogue: 0,0:04:49.75,0:04:54.92,Default,,0000,0000,0000,,sin(θ) er lig 1.
Dialogue: 0,0:04:54.92,0:04:58.84,Default,,0000,0000,0000,,Dette er 1 på denne akse\Nog den akse herover,
Dialogue: 0,0:04:58.84,0:05:01.34,Default,,0000,0000,0000,,så vi bedre kan sammenligne.
Dialogue: 0,0:05:01.34,0:05:09.44,Default,,0000,0000,0000,,Når θ er lig π,\Nså er sin(θ) lig 0.
Dialogue: 0,0:05:09.49,0:05:11.57,Default,,0000,0000,0000,,Vi går derfor ned hertil.
Dialogue: 0,0:05:11.57,0:05:21.30,Default,,0000,0000,0000,,Når θ er lig 3π/2,\Nså er sin(3π/2) lig -1.
Dialogue: 0,0:05:21.46,0:05:29.31,Default,,0000,0000,0000,,-1 er lige her og jeg bruger\Nsamme skala, så dette er -1
Dialogue: 0,0:05:29.31,0:05:32.79,Default,,0000,0000,0000,,og sin(θ) er -1.
Dialogue: 0,0:05:33.44,0:05:44.24,Default,,0000,0000,0000,,Når theta er 2π,\Nså er sin(θ) lig 0.
Dialogue: 0,0:05:44.24,0:05:45.62,Default,,0000,0000,0000,,Nu kan vi forbinde punkterne.
Dialogue: 0,0:05:45.62,0:05:47.14,Default,,0000,0000,0000,,-- du kan lave flere punkter --
Dialogue: 0,0:05:47.14,0:05:53.89,Default,,0000,0000,0000,,Du får en graf, der ser\Nnogenlunde således ud.
Dialogue: 0,0:05:53.89,0:06:00.22,Default,,0000,0000,0000,,Mit bedste forsøg på en frihåndstegning.
Dialogue: 0,0:06:00.47,0:06:03.64,Default,,0000,0000,0000,,Dette er grunden til at grafer\Nsom disse er kaldet sinuskurver,
Dialogue: 0,0:06:03.64,0:06:08.40,Default,,0000,0000,0000,,da de ligner grafen for sinusfunktionen.
Dialogue: 0,0:06:08.40,0:06:10.79,Default,,0000,0000,0000,,Dette er dog ikke hele grafen,\Nda vi kan fortsætte.
Dialogue: 0,0:06:10.79,0:06:17.09,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan gå π/2 længere end 2π,
Dialogue: 0,0:06:17.09,0:06:21.01,Default,,0000,0000,0000,,så kommer du til 5π/2.
Dialogue: 0,0:06:21.01,0:06:26.16,Default,,0000,0000,0000,,Så kommer du tilbage hertil,\Nhvor sin(π) er lig 1.
Dialogue: 0,0:06:26.16,0:06:28.36,Default,,0000,0000,0000,,Vi får dette punkt.
Dialogue: 0,0:06:28.36,0:06:30.66,Default,,0000,0000,0000,,Du kan fortsætte og gå π/2 længere,
Dialogue: 0,0:06:30.66,0:06:33.64,Default,,0000,0000,0000,,og så får du dette punkt.
Dialogue: 0,0:06:33.64,0:06:40.81,Default,,0000,0000,0000,,Funktionen sin(θ) er\Ndefineret for enhver værdi af θ.
Dialogue: 0,0:06:40.81,0:06:45.38,Default,,0000,0000,0000,,Alle reelle værdier.
Dialogue: 0,0:06:45.38,0:06:46.62,Default,,0000,0000,0000,,Hvad med negative værdier?
Dialogue: 0,0:06:46.62,0:06:48.82,Default,,0000,0000,0000,,Når θ stiger som her,
Dialogue: 0,0:06:48.82,0:06:50.87,Default,,0000,0000,0000,,så fortsætter vi med at gå\Nrundt om cirklen,
Dialogue: 0,0:06:50.87,0:06:52.28,Default,,0000,0000,0000,,og dette mønster dukker op.
Dialogue: 0,0:06:52.28,0:06:54.62,Default,,0000,0000,0000,,Hvad sker der, hvis vi går\Ni den negative retning?
Dialogue: 0,0:06:54.62,0:06:55.57,Default,,0000,0000,0000,,Lad os prøve ..
Dialogue: 0,0:06:55.57,0:07:01.30,Default,,0000,0000,0000,,Hvad får vi, når θ er lig -π/2?
Dialogue: 0,0:07:01.30,0:07:04.38,Default,,0000,0000,0000,,-π/2 er lige her.
Dialogue: 0,0:07:04.38,0:07:11.28,Default,,0000,0000,0000,,Vi skærer enhedscirklen lige her.
Dialogue: 0,0:07:11.28,0:07:13.56,Default,,0000,0000,0000,,y-koordinaten er -1.
Dialogue: 0,0:07:13.56,0:07:16.59,Default,,0000,0000,0000,,sin(-π/2) er -1.
Dialogue: 0,0:07:16.59,0:07:20.86,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan se at det blot fortsætter.
Dialogue: 0,0:07:20.86,0:07:27.76,Default,,0000,0000,0000,,sin(θ) er defineret for\Nenhver positiv og negativ værdi og 0,
Dialogue: 0,0:07:27.76,0:07:28.66,Default,,0000,0000,0000,,altså enhver værdi.
Dialogue: 0,0:07:28.66,0:07:30.54,Default,,0000,0000,0000,,Den en er defineret for alle værdier.
Dialogue: 0,0:07:30.54,0:07:32.58,Default,,0000,0000,0000,,Lad os gå tilbage til spørgsmålet.
Dialogue: 0,0:07:32.58,0:07:36.09,Default,,0000,0000,0000,,Jeg kan forsætte med at tegne funktionen.
Dialogue: 0,0:07:36.09,0:07:37.91,Default,,0000,0000,0000,,Lad os gå tilbage til spørgsmålet.
Dialogue: 0,0:07:37.91,0:07:43.12,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er definitionsmængden?
Dialogue: 0,0:07:43.12,0:07:49.04,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er definitionsmængden\Naf sinusfunktionen?
Dialogue: 0,0:07:49.04,0:07:54.27,Default,,0000,0000,0000,,Husk definitionsmængden er alle de\Ninputs for hvilke funktionen er defineret,
Dialogue: 0,0:07:54.27,0:07:59.22,Default,,0000,0000,0000,,altså alle gyldige input for funktionen,\Nhvor funktionen kan returnere en værdi.
Dialogue: 0,0:07:59.22,0:08:04.08,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er definitionsmængden\Nfor sinusfunktionen?
Dialogue: 0,0:08:04.08,0:08:05.12,Default,,0000,0000,0000,,Det har vi lige set.
Dialogue: 0,0:08:05.12,0:08:06.89,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan inputte enhver værdi af θ.
Dialogue: 0,0:08:06.89,0:08:19.05,Default,,0000,0000,0000,,Så definitionsmængden er alle reelle tal.
Dialogue: 0,0:08:19.33,0:08:25.03,Default,,0000,0000,0000,,Hvad med værdimængden?
Dialogue: 0,0:08:25.69,0:08:31.98,Default,,0000,0000,0000,,Værdimængden er også\Nkaldet billedmængden.
Dialogue: 0,0:08:31.98,0:08:37.24,Default,,0000,0000,0000,,Det er den mængde af værdier som\Nen funktion er i stand til at returnere.
Dialogue: 0,0:08:37.24,0:08:38.63,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er den mængde?
Dialogue: 0,0:08:38.63,0:08:39.64,Default,,0000,0000,0000,,Hvad er værdimængden?
Dialogue: 0,0:08:39.64,0:08:43.91,Default,,0000,0000,0000,,Hvilke værdier kan y er lig\Nsin(θ) være?
Dialogue: 0,0:08:43.91,0:08:52.38,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan se, at den bliver ved\Nmed at være mellem +1 og -1.
Dialogue: 0,0:08:52.38,0:08:54.31,Default,,0000,0000,0000,,og så tilbage til +1 og så -1.
Dialogue: 0,0:08:54.31,0:08:57.12,Default,,0000,0000,0000,,Den kan være alle værdierne i mellem.
Dialogue: 0,0:08:57.12,0:09:03.89,Default,,0000,0000,0000,,sin(θ) er altid\Nmindre end eller lig 1
Dialogue: 0,0:09:03.89,0:09:07.48,Default,,0000,0000,0000,,og altid større end eller lig -1.
Dialogue: 0,0:09:07.48,0:09:14.46,Default,,0000,0000,0000,,Værdimængden af sin(θ)\Ner alle tal mellem -1 og +1
Dialogue: 0,0:09:14.46,0:09:17.04,Default,,0000,0000,0000,,og både -1 og +1 er inkluderet,
Dialogue: 0,0:09:17.04,0:09:21.20,Default,,0000,0000,0000,,så vi skal lave klammer, der vender indad.