WEBVTT

00:00:00.560 --> 00:00:03.520
Нека се опитаме да изчислим
определения интеграл

00:00:03.520 --> 00:00:07.560
от 0 до 1, от х квадрат,

00:00:07.566 --> 00:00:13.500
умножено по 2 на степен
х на трета, dx.

00:00:13.500 --> 00:00:16.320
Както обикновено, насърчавам те
да спреш видеото

00:00:16.320 --> 00:00:20.240
и да опиташ да се справиш
самостоятелно.

00:00:20.940 --> 00:00:22.634
Предполагам, че вече
опита.

00:00:22.634 --> 00:00:24.300
Има няколко интересни неща
в този пример.

00:00:24.300 --> 00:00:26.100
Първото нещо, за което
се досещам, е,

00:00:26.100 --> 00:00:28.780
че сме свикнали да намираме
производни и примитивни функции

00:00:28.780 --> 00:00:31.860
от е на степен х, а не за някаква
друга основа на степен х.

00:00:31.860 --> 00:00:35.040
Знаем, че производната
спрямо х на е^х

00:00:35.040 --> 00:00:38.720
е равна на е^х. Можем да кажем, 
че примитивната функция

00:00:38.720 --> 00:00:44.060
на е^х е равна
на е^х плюс константа C.

00:00:44.640 --> 00:00:46.820
Имаме дадено нещо,

00:00:46.820 --> 00:00:49.860
което е повдигнато на степен,

00:00:50.280 --> 00:00:53.160
която е функция на х. Тогава изглежда,
че е подходящо

00:00:53.160 --> 00:00:56.700
да сменим основата. Как обаче
да го направим?

00:00:56.700 --> 00:00:58.840
Начинът, който ще използвам,
е да изразя

00:00:58.840 --> 00:01:00.940
числото 2 чрез константата е.

00:01:01.100 --> 00:01:03.240
На какво ще бъде равно 2,
изразено чрез е?

00:01:03.240 --> 00:01:06.420
Числото 2 е равно на

00:01:06.420 --> 00:01:10.260
числото е, повдигнато на степен,

00:01:10.260 --> 00:01:13.040
която е необходима,
за да се получи 2.

00:01:13.040 --> 00:01:14.620
Каква е степента,

00:01:14.620 --> 00:01:16.500
на която да повдигнем 2,
за да получим 2?

00:01:16.500 --> 00:01:18.600
Това е натурален логаритъм от 2.

00:01:19.320 --> 00:01:21.633
Натурален логаритъм от 2
е степента,

00:01:21.633 --> 00:01:24.100
на която следва да повдигнем е,
за да получим 2.

00:01:24.100 --> 00:01:27.700
Ако повдигнем е на тази степен,
то ще получим 2.

00:01:28.120 --> 00:01:29.820
На този израз е равно числото 2.

00:01:29.820 --> 00:01:32.280
А сега, на какво е равно 2
на степен х на трета?

00:01:32.280 --> 00:01:35.700
Нека да повдигнем двете страни
на уравнението на х на трета.

00:01:35.700 --> 00:01:38.160
Повдигаме двете страни
на х на трета.

00:01:38.160 --> 00:01:41.960
2 на степен х на трета е равно
на следното. Повдигаме нещо

00:01:41.960 --> 00:01:44.100
на степен и след това цялото
на друга степен.

00:01:44.100 --> 00:01:46.120
Тогава ще получим

00:01:46.120 --> 00:01:49.400
е на степен х на трета,

00:01:51.140 --> 00:01:53.000
умножено по натурален
логаритъм от 2.

00:01:53.100 --> 00:01:56.140
По натурален логаритъм от 2.

00:01:56.920 --> 00:01:59.160
Това вече изглежда интересно.

00:01:59.166 --> 00:02:01.567
Нека да преобразуваме интеграла.

00:02:01.567 --> 00:02:04.100
Нека първо се фокусираме върху
неопределения интеграл

00:02:04.100 --> 00:02:05.320
и да видим дали можем
да го изчислим.

00:02:05.320 --> 00:02:06.500
След това вече можем

00:02:06.500 --> 00:02:08.566
да изчислим определения.

00:02:08.566 --> 00:02:11.566
Нека помислим върху това.
Нека да решим

00:02:11.566 --> 00:02:15.033
неопределен интеграл
от х квадрат,

00:02:15.033 --> 00:02:18.500
умножено по 2 на степен
х на трета, dx.

00:02:18.500 --> 00:02:20.566
Искам да намерим примитивната
функция от този израз.

00:02:20.566 --> 00:02:24.080
Това ще бъде равно точно
на същото нещо като следното.

00:02:24.080 --> 00:02:28.420
х квадрат остава,

00:02:28.433 --> 00:02:30.366
но вместо 2 на степен х на трета,

00:02:30.366 --> 00:02:32.166
ще заместя ето този
израз в лилаво.

00:02:32.166 --> 00:02:33.833
Нека просто го копирам и поставя.

00:02:33.833 --> 00:02:35.300
Вече установихме, че това е равно

00:02:35.300 --> 00:02:38.500
на същия израз като
2 на степен х на трета.

00:02:39.400 --> 00:02:42.860
Копирам и поставям тук ето така.

00:02:43.800 --> 00:02:48.160
Нека сега да завърша
записа с dx.

00:02:48.840 --> 00:02:51.760
Успяхме да сменим основата
с числото е.

00:02:51.767 --> 00:02:53.434
Това прави задачата ни малко
по-удобна,

00:02:53.434 --> 00:02:55.366
но все още изглежда
доста сложна.

00:02:55.366 --> 00:02:57.700
Може би ще кажеш: "Хей, виж,

00:02:57.700 --> 00:03:00.966
вероятно можем да интегрираме
със заместване в случая."

00:03:00.966 --> 00:03:05.033
Имам този странен израз
х на трета,

00:03:05.033 --> 00:03:08.000
умножено по натурален логаритъм от 2,
но каква е производната му?

00:03:08.040 --> 00:03:09.960
Ще бъде равна на 3х квадрат,

00:03:09.960 --> 00:03:11.540
умножено по натурален
логаритъм от 2.

00:03:11.540 --> 00:03:14.520
Или 3 по натурален логаритъм от 2,
умножено по х квадрат.

00:03:14.520 --> 00:03:16.360
Или просто константа, умножена
по х квадрат.

00:03:16.360 --> 00:03:19.560
Вече имаме х квадрат тук.
Следователно може да преобразуваме

00:03:19.560 --> 00:03:22.920
малко този израз, така че да имаме
същата константа ето тук.

00:03:22.967 --> 00:03:24.233
Нека да помислим върху това.

00:03:24.240 --> 00:03:28.040
Нека да положим (заместим)
този израз с u.

00:03:28.940 --> 00:03:33.240
Ако запишем, че u е равно
на х на трета,

00:03:33.240 --> 00:03:37.000
умножено по натурален логаритъм от 2,
то какво се получава за du?

00:03:37.000 --> 00:03:39.900
du ще бъде равно на следното.

00:03:39.900 --> 00:03:42.340
Натурален логаритъм от 2 е просто
константа, така че ще се получи

00:03:42.340 --> 00:03:45.940
3 по х квадрат, умножено
по натурален логаритъм от 2.

00:03:46.040 --> 00:03:49.160
Може да променим реда, 
в който умножаваме ето тук.

00:03:49.160 --> 00:03:51.140
Това е равно на същото като

00:03:51.140 --> 00:03:55.560
х квадрат по 3, по натурален
логаритъм от 2.

00:03:56.480 --> 00:03:59.240
Просто използваме свойствата
на логаритмите. Това е същото като

00:03:59.240 --> 00:04:03.760
х квадрат, умножено по натурален
логаритъм от 2 на трета.

00:04:03.760 --> 00:04:05.600
3 по натурален логаритъм от 2
е равно на същото

00:04:05.600 --> 00:04:07.360
като натурален логаритъм
от 2 на трета степен.

00:04:07.360 --> 00:04:13.320
Това е равно на х квадрат, умножено
по натурален логаритъм от 8.

00:04:13.700 --> 00:04:16.433
Добре, ако този израз е u,
то кой израз е du?

00:04:16.433 --> 00:04:19.466
Нека не забравяме
dx ето тук.

00:04:19.966 --> 00:04:25.800
Ето тук е умножено по dx, dx, dx, dx.

00:04:25.833 --> 00:04:29.767
Къде ще се появи du? Имаме dx. Нека
да подчертая някои неща.

00:04:29.767 --> 00:04:32.767
Имаме dx ето тук. Имаме dx ето там.

00:04:32.767 --> 00:04:36.100
Имаме x квадрат тук. Имаме
и х квадрат там.

00:04:36.100 --> 00:04:38.234
Следователно това, което ни трябва тук,

00:04:38.234 --> 00:04:40.900
е натурален логаритъм от 8.

00:04:40.900 --> 00:04:44.540
Теоретично трябва да имаме
натурален логаритъм от 8 ето тук.

00:04:44.540 --> 00:04:46.960
Може да бъде тук.

00:04:46.966 --> 00:04:49.233
Тоест може да умножим
по натурален логаритъм от 8,

00:04:49.233 --> 00:04:53.333
ако също така разделим
на натурален логаритъм от 8.

00:04:53.366 --> 00:04:56.300
Може да го запишем ето така,

00:04:56.300 --> 00:04:58.833
показвайки, че разделяме на
натурален логаритъм от 8.

00:04:58.833 --> 00:05:01.380
Знаем, че примитивната функция
от константа, умножена по функция,

00:05:01.380 --> 00:05:04.640
е същото нещо като константата,

00:05:04.640 --> 00:05:06.680
умножена по примитивната функция.

00:05:06.680 --> 00:05:08.433
Следователно може да изнесем
константата пред интеграла.

00:05:08.440 --> 00:05:12.340
Тоест 1 върху натурален
логаритъм от 8.

00:05:13.060 --> 00:05:15.433
Нека да запишем интеграла,
изразен чрез u и du.

00:05:15.433 --> 00:05:18.566
Получава се 1 върху натурален
логаритъм от 8,

00:05:18.566 --> 00:05:23.346
умножено по примитивната
функция

00:05:24.453 --> 00:05:31.766
от e на степен u – това
тук е u – по du.

00:05:31.766 --> 00:05:36.500
Това, умножено по това
и по ето това, е du.

00:05:37.460 --> 00:05:38.700
Оттук нататък вече е лесно.

00:05:38.700 --> 00:05:40.900
Знаем на какво ще бъде
равен този израз.

00:05:40.900 --> 00:05:43.100
Това ще бъде равно на следното.
Нека да запиша

00:05:43.100 --> 00:05:45.600
1 върху натурален
логаритъм от 8 ето тук.

00:05:46.300 --> 00:05:48.360
1 върху натурален
логаритъм от 8,

00:05:48.360 --> 00:05:51.940
умножено по е на степен u.

00:05:52.460 --> 00:05:54.580
По е на степен u.

00:05:56.120 --> 00:05:57.700
Разбира се, ако го разглеждаме като

00:05:57.700 --> 00:06:00.433
примитивна функция, то ще има 
и една константа ето тук.

00:06:00.800 --> 00:06:02.900
Сега просто ще заместим
обратно израза за u.

00:06:02.900 --> 00:06:04.640
Вече знаем на какво е равно u.

00:06:04.640 --> 00:06:07.300
Получихме примитивната функция

00:06:07.300 --> 00:06:12.020
от този израз. Равно е на 1 върху
натурален логаритъм от 8,

00:06:12.020 --> 00:06:16.000
умножено по е на степен u – което
знаем на какво е равно –

00:06:16.000 --> 00:06:19.100
х на трета по натурален
логаритъм от 2.

00:06:19.100 --> 00:06:21.866
Разбира се поставяме
константа C ето тук.

00:06:22.100 --> 00:06:24.620
Нека сега се върнем обратно към
първоначалната задача.

00:06:24.620 --> 00:06:28.020
Искаме да изчислим
примитивната функция на този израз

00:06:28.020 --> 00:06:29.500
във всяка от тези точки.

00:06:29.500 --> 00:06:30.967
Нека преобразуваме израза.

00:06:30.967 --> 00:06:32.880
Нека използваме това,
което току-що открихме.

00:06:33.600 --> 00:06:36.620
Ще копирам и поставя
ето тук израза.

00:06:36.620 --> 00:06:39.120
Ще бъде равно на следното.

00:06:40.180 --> 00:06:44.620
Равно е на примитивната функция,
изчислена

00:06:44.620 --> 00:06:47.160
в точка 1, минус примитивната
функция, изчислена в точка 0.

00:06:47.160 --> 00:06:48.740
Не е нужно да се притесняваме
за константите,

00:06:48.740 --> 00:06:50.360
защото просто ще се
унищожат взаимно.

00:06:50.360 --> 00:06:53.566
Получава се следното.

00:06:53.566 --> 00:06:55.966
Нека изчислим първо с 1.

00:06:56.600 --> 00:07:00.380
Получава се 1 върху натурален
логаритъм от 8,

00:07:00.380 --> 00:07:05.433
умножено по e на степен
1 на трета –

00:07:05.440 --> 00:07:08.100
което е равно на 1 – умножено по
натурален логаритъм от 2.

00:07:08.440 --> 00:07:11.180
Това е стойността, изчислена
в точка 1.

00:07:11.760 --> 00:07:15.080
Следва минус стойността, изчислена
в точка 0.

00:07:15.100 --> 00:07:18.660
Тоест изваждаме 1 върху натурален
логаритъм от 8,

00:07:18.660 --> 00:07:22.120
умножено по е на степен 0,
защото, когато х е 0,

00:07:22.120 --> 00:07:23.900
то целият този израз
е равен на 0.

00:07:24.560 --> 00:07:28.260
е на степен 0 е равно на 1,

00:07:28.260 --> 00:07:32.233
а е на степен натурален логаритъм
от 2 е равно на 2.

00:07:32.233 --> 00:07:33.966
По-рано вече установихме,
че това е вярно.

00:07:33.966 --> 00:07:35.760
Това ще бъде просто
равно на 2.

00:07:36.340 --> 00:07:39.560
Остава ни само 2 върху
натурален логаритъм от 8

00:07:39.560 --> 00:07:42.460
минус 1 върху натурален
логаритъм от 8,

00:07:42.460 --> 00:07:47.540
което е равно на 1 върху натурален
логаритъм от 8.

00:07:50.120 --> 00:07:52.260
И сме готови.