Нека се опитаме да изчислим определения интеграл
от 0 до 1, от х квадрат,
умножено по 2 на степен х на трета, dx.
Както обикновено, насърчавам те да спреш видеото
и да опиташ да се справиш самостоятелно.
Предполагам, че вече опита.
Има няколко интересни неща в този пример.
Първото нещо, за което се досещам, е,
че сме свикнали да намираме производни и примитивни функции
от е на степен х, а не за някаква друга основа на степен х.
Знаем, че производната спрямо х на е^х
е равна на е^х. Можем да кажем, че примитивната функция
на е^х е равна на е^х плюс константа C.
Имаме дадено нещо,
което е повдигнато на степен,
която е функция на х. Тогава изглежда, че е подходящо
да сменим основата. Как обаче да го направим?
Начинът, който ще използвам, е да изразя
числото 2 чрез константата е.
На какво ще бъде равно 2, изразено чрез е?
Числото 2 е равно на
числото е, повдигнато на степен,
която е необходима, за да се получи 2.
Каква е степента,
на която да повдигнем 2, за да получим 2?
Това е натурален логаритъм от 2.
Натурален логаритъм от 2 е степента,
на която следва да повдигнем е, за да получим 2.
Ако повдигнем е на тази степен, то ще получим 2.
На този израз е равно числото 2.
А сега, на какво е равно 2 на степен х на трета?
Нека да повдигнем двете страни на уравнението на х на трета.
Повдигаме двете страни на х на трета.
2 на степен х на трета е равно на следното. Повдигаме нещо
на степен и след това цялото на друга степен.
Тогава ще получим
е на степен х на трета,
умножено по натурален логаритъм от 2.
По натурален логаритъм от 2.
Това вече изглежда интересно.
Нека да преобразуваме интеграла.
Нека първо се фокусираме върху неопределения интеграл
и да видим дали можем да го изчислим.
След това вече можем
да изчислим определения.
Нека помислим върху това. Нека да решим
неопределен интеграл от х квадрат,
умножено по 2 на степен х на трета, dx.
Искам да намерим примитивната функция от този израз.
Това ще бъде равно точно на същото нещо като следното.
х квадрат остава,
но вместо 2 на степен х на трета,
ще заместя ето този израз в лилаво.
Нека просто го копирам и поставя.
Вече установихме, че това е равно
на същия израз като 2 на степен х на трета.
Копирам и поставям тук ето така.
Нека сега да завърша записа с dx.
Успяхме да сменим основата с числото е.
Това прави задачата ни малко по-удобна,
но все още изглежда доста сложна.
Може би ще кажеш: "Хей, виж,
вероятно можем да интегрираме със заместване в случая."
Имам този странен израз х на трета,
умножено по натурален логаритъм от 2, но каква е производната му?
Ще бъде равна на 3х квадрат,
умножено по натурален логаритъм от 2.
Или 3 по натурален логаритъм от 2, умножено по х квадрат.
Или просто константа, умножена по х квадрат.
Вече имаме х квадрат тук. Следователно може да преобразуваме
малко този израз, така че да имаме същата константа ето тук.
Нека да помислим върху това.
Нека да положим (заместим) този израз с u.
Ако запишем, че u е равно на х на трета,
умножено по натурален логаритъм от 2, то какво се получава за du?
du ще бъде равно на следното.
Натурален логаритъм от 2 е просто константа, така че ще се получи
3 по х квадрат, умножено по натурален логаритъм от 2.
Може да променим реда, в който умножаваме ето тук.
Това е равно на същото като
х квадрат по 3, по натурален логаритъм от 2.
Просто използваме свойствата на логаритмите. Това е същото като
х квадрат, умножено по натурален логаритъм от 2 на трета.
3 по натурален логаритъм от 2 е равно на същото
като натурален логаритъм от 2 на трета степен.
Това е равно на х квадрат, умножено по натурален логаритъм от 8.
Добре, ако този израз е u, то кой израз е du?
Нека не забравяме dx ето тук.
Ето тук е умножено по dx, dx, dx, dx.
Къде ще се появи du? Имаме dx. Нека да подчертая някои неща.
Имаме dx ето тук. Имаме dx ето там.
Имаме x квадрат тук. Имаме и х квадрат там.
Следователно това, което ни трябва тук,
е натурален логаритъм от 8.
Теоретично трябва да имаме натурален логаритъм от 8 ето тук.
Може да бъде тук.
Тоест може да умножим по натурален логаритъм от 8,
ако също така разделим на натурален логаритъм от 8.
Може да го запишем ето така,
показвайки, че разделяме на натурален логаритъм от 8.
Знаем, че примитивната функция от константа, умножена по функция,
е същото нещо като константата,
умножена по примитивната функция.
Следователно може да изнесем константата пред интеграла.
Тоест 1 върху натурален логаритъм от 8.
Нека да запишем интеграла, изразен чрез u и du.
Получава се 1 върху натурален логаритъм от 8,
умножено по примитивната функция
от e на степен u – това тук е u – по du.
Това, умножено по това и по ето това, е du.
Оттук нататък вече е лесно.
Знаем на какво ще бъде равен този израз.
Това ще бъде равно на следното. Нека да запиша
1 върху натурален логаритъм от 8 ето тук.
1 върху натурален логаритъм от 8,
умножено по е на степен u.
По е на степен u.
Разбира се, ако го разглеждаме като
примитивна функция, то ще има и една константа ето тук.
Сега просто ще заместим обратно израза за u.
Вече знаем на какво е равно u.
Получихме примитивната функция
от този израз. Равно е на 1 върху натурален логаритъм от 8,
умножено по е на степен u – което знаем на какво е равно –
х на трета по натурален логаритъм от 2.
Разбира се поставяме константа C ето тук.
Нека сега се върнем обратно към първоначалната задача.
Искаме да изчислим примитивната функция на този израз
във всяка от тези точки.
Нека преобразуваме израза.
Нека използваме това, което току-що открихме.
Ще копирам и поставя ето тук израза.
Ще бъде равно на следното.
Равно е на примитивната функция, изчислена
в точка 1, минус примитивната функция, изчислена в точка 0.
Не е нужно да се притесняваме за константите,
защото просто ще се унищожат взаимно.
Получава се следното.
Нека изчислим първо с 1.
Получава се 1 върху натурален логаритъм от 8,
умножено по e на степен 1 на трета –
което е равно на 1 – умножено по натурален логаритъм от 2.
Това е стойността, изчислена в точка 1.
Следва минус стойността, изчислена в точка 0.
Тоест изваждаме 1 върху натурален логаритъм от 8,
умножено по е на степен 0, защото, когато х е 0,
то целият този израз е равен на 0.
е на степен 0 е равно на 1,
а е на степен натурален логаритъм от 2 е равно на 2.
По-рано вече установихме, че това е вярно.
Това ще бъде просто равно на 2.
Остава ни само 2 върху натурален логаритъм от 8
минус 1 върху натурален логаритъм от 8,
което е равно на 1 върху натурален логаритъм от 8.
И сме готови.