[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.56,0:00:03.52,Default,,0000,0000,0000,,Нека се опитаме да изчислим\Nопределения интеграл
Dialogue: 0,0:00:03.52,0:00:07.56,Default,,0000,0000,0000,,от 0 до 1, от х квадрат,
Dialogue: 0,0:00:07.57,0:00:13.50,Default,,0000,0000,0000,,умножено по 2 на степен\Nх на трета, dx.
Dialogue: 0,0:00:13.50,0:00:16.32,Default,,0000,0000,0000,,Както обикновено, насърчавам те\Nда спреш видеото
Dialogue: 0,0:00:16.32,0:00:20.24,Default,,0000,0000,0000,,и да опиташ да се справиш\Nсамостоятелно.
Dialogue: 0,0:00:20.94,0:00:22.63,Default,,0000,0000,0000,,Предполагам, че вече\Nопита.
Dialogue: 0,0:00:22.63,0:00:24.30,Default,,0000,0000,0000,,Има няколко интересни неща\Nв този пример.
Dialogue: 0,0:00:24.30,0:00:26.10,Default,,0000,0000,0000,,Първото нещо, за което\Nсе досещам, е,
Dialogue: 0,0:00:26.10,0:00:28.78,Default,,0000,0000,0000,,че сме свикнали да намираме\Nпроизводни и примитивни функции
Dialogue: 0,0:00:28.78,0:00:31.86,Default,,0000,0000,0000,,от е на степен х, а не за някаква\Nдруга основа на степен х.
Dialogue: 0,0:00:31.86,0:00:35.04,Default,,0000,0000,0000,,Знаем, че производната\Nспрямо х на е^х
Dialogue: 0,0:00:35.04,0:00:38.72,Default,,0000,0000,0000,,е равна на е^х. Можем да кажем, \Nче примитивната функция
Dialogue: 0,0:00:38.72,0:00:44.06,Default,,0000,0000,0000,,на е^х е равна\Nна е^х плюс константа C.
Dialogue: 0,0:00:44.64,0:00:46.82,Default,,0000,0000,0000,,Имаме дадено нещо,
Dialogue: 0,0:00:46.82,0:00:49.86,Default,,0000,0000,0000,,което е повдигнато на степен,
Dialogue: 0,0:00:50.28,0:00:53.16,Default,,0000,0000,0000,,която е функция на х. Тогава изглежда,\Nче е подходящо
Dialogue: 0,0:00:53.16,0:00:56.70,Default,,0000,0000,0000,,да сменим основата. Как обаче\Nда го направим?
Dialogue: 0,0:00:56.70,0:00:58.84,Default,,0000,0000,0000,,Начинът, който ще използвам,\Nе да изразя
Dialogue: 0,0:00:58.84,0:01:00.94,Default,,0000,0000,0000,,числото 2 чрез константата е.
Dialogue: 0,0:01:01.10,0:01:03.24,Default,,0000,0000,0000,,На какво ще бъде равно 2,\Nизразено чрез е?
Dialogue: 0,0:01:03.24,0:01:06.42,Default,,0000,0000,0000,,Числото 2 е равно на
Dialogue: 0,0:01:06.42,0:01:10.26,Default,,0000,0000,0000,,числото е, повдигнато на степен,
Dialogue: 0,0:01:10.26,0:01:13.04,Default,,0000,0000,0000,,която е необходима,\Nза да се получи 2.
Dialogue: 0,0:01:13.04,0:01:14.62,Default,,0000,0000,0000,,Каква е степента,
Dialogue: 0,0:01:14.62,0:01:16.50,Default,,0000,0000,0000,,на която да повдигнем 2,\Nза да получим 2?
Dialogue: 0,0:01:16.50,0:01:18.60,Default,,0000,0000,0000,,Това е натурален логаритъм от 2.
Dialogue: 0,0:01:19.32,0:01:21.63,Default,,0000,0000,0000,,Натурален логаритъм от 2\Nе степента,
Dialogue: 0,0:01:21.63,0:01:24.10,Default,,0000,0000,0000,,на която следва да повдигнем е,\Nза да получим 2.
Dialogue: 0,0:01:24.10,0:01:27.70,Default,,0000,0000,0000,,Ако повдигнем е на тази степен,\Nто ще получим 2.
Dialogue: 0,0:01:28.12,0:01:29.82,Default,,0000,0000,0000,,На този израз е равно числото 2.
Dialogue: 0,0:01:29.82,0:01:32.28,Default,,0000,0000,0000,,А сега, на какво е равно 2\Nна степен х на трета?
Dialogue: 0,0:01:32.28,0:01:35.70,Default,,0000,0000,0000,,Нека да повдигнем двете страни\Nна уравнението на х на трета.
Dialogue: 0,0:01:35.70,0:01:38.16,Default,,0000,0000,0000,,Повдигаме двете страни\Nна х на трета.
Dialogue: 0,0:01:38.16,0:01:41.96,Default,,0000,0000,0000,,2 на степен х на трета е равно\Nна следното. Повдигаме нещо
Dialogue: 0,0:01:41.96,0:01:44.10,Default,,0000,0000,0000,,на степен и след това цялото\Nна друга степен.
Dialogue: 0,0:01:44.10,0:01:46.12,Default,,0000,0000,0000,,Тогава ще получим
Dialogue: 0,0:01:46.12,0:01:49.40,Default,,0000,0000,0000,,е на степен х на трета,
Dialogue: 0,0:01:51.14,0:01:53.00,Default,,0000,0000,0000,,умножено по натурален\Nлогаритъм от 2.
Dialogue: 0,0:01:53.10,0:01:56.14,Default,,0000,0000,0000,,По натурален логаритъм от 2.
Dialogue: 0,0:01:56.92,0:01:59.16,Default,,0000,0000,0000,,Това вече изглежда интересно.
Dialogue: 0,0:01:59.17,0:02:01.57,Default,,0000,0000,0000,,Нека да преобразуваме интеграла.
Dialogue: 0,0:02:01.57,0:02:04.10,Default,,0000,0000,0000,,Нека първо се фокусираме върху\Nнеопределения интеграл
Dialogue: 0,0:02:04.10,0:02:05.32,Default,,0000,0000,0000,,и да видим дали можем\Nда го изчислим.
Dialogue: 0,0:02:05.32,0:02:06.50,Default,,0000,0000,0000,,След това вече можем
Dialogue: 0,0:02:06.50,0:02:08.57,Default,,0000,0000,0000,,да изчислим определения.
Dialogue: 0,0:02:08.57,0:02:11.57,Default,,0000,0000,0000,,Нека помислим върху това.\NНека да решим
Dialogue: 0,0:02:11.57,0:02:15.03,Default,,0000,0000,0000,,неопределен интеграл\Nот х квадрат,
Dialogue: 0,0:02:15.03,0:02:18.50,Default,,0000,0000,0000,,умножено по 2 на степен\Nх на трета, dx.
Dialogue: 0,0:02:18.50,0:02:20.57,Default,,0000,0000,0000,,Искам да намерим примитивната\Nфункция от този израз.
Dialogue: 0,0:02:20.57,0:02:24.08,Default,,0000,0000,0000,,Това ще бъде равно точно\Nна същото нещо като следното.
Dialogue: 0,0:02:24.08,0:02:28.42,Default,,0000,0000,0000,,х квадрат остава,
Dialogue: 0,0:02:28.43,0:02:30.37,Default,,0000,0000,0000,,но вместо 2 на степен х на трета,
Dialogue: 0,0:02:30.37,0:02:32.17,Default,,0000,0000,0000,,ще заместя ето този\Nизраз в лилаво.
Dialogue: 0,0:02:32.17,0:02:33.83,Default,,0000,0000,0000,,Нека просто го копирам и поставя.
Dialogue: 0,0:02:33.83,0:02:35.30,Default,,0000,0000,0000,,Вече установихме, че това е равно
Dialogue: 0,0:02:35.30,0:02:38.50,Default,,0000,0000,0000,,на същия израз като\N2 на степен х на трета.
Dialogue: 0,0:02:39.40,0:02:42.86,Default,,0000,0000,0000,,Копирам и поставям тук ето така.
Dialogue: 0,0:02:43.80,0:02:48.16,Default,,0000,0000,0000,,Нека сега да завърша\Nзаписа с dx.
Dialogue: 0,0:02:48.84,0:02:51.76,Default,,0000,0000,0000,,Успяхме да сменим основата\Nс числото е.
Dialogue: 0,0:02:51.77,0:02:53.43,Default,,0000,0000,0000,,Това прави задачата ни малко\Nпо-удобна,
Dialogue: 0,0:02:53.43,0:02:55.37,Default,,0000,0000,0000,,но все още изглежда\Nдоста сложна.
Dialogue: 0,0:02:55.37,0:02:57.70,Default,,0000,0000,0000,,Може би ще кажеш: "Хей, виж,
Dialogue: 0,0:02:57.70,0:03:00.97,Default,,0000,0000,0000,,вероятно можем да интегрираме\Nсъс заместване в случая."
Dialogue: 0,0:03:00.97,0:03:05.03,Default,,0000,0000,0000,,Имам този странен израз\Nх на трета,
Dialogue: 0,0:03:05.03,0:03:08.00,Default,,0000,0000,0000,,умножено по натурален логаритъм от 2,\Nно каква е производната му?
Dialogue: 0,0:03:08.04,0:03:09.96,Default,,0000,0000,0000,,Ще бъде равна на 3х квадрат,
Dialogue: 0,0:03:09.96,0:03:11.54,Default,,0000,0000,0000,,умножено по натурален\Nлогаритъм от 2.
Dialogue: 0,0:03:11.54,0:03:14.52,Default,,0000,0000,0000,,Или 3 по натурален логаритъм от 2,\Nумножено по х квадрат.
Dialogue: 0,0:03:14.52,0:03:16.36,Default,,0000,0000,0000,,Или просто константа, умножена\Nпо х квадрат.
Dialogue: 0,0:03:16.36,0:03:19.56,Default,,0000,0000,0000,,Вече имаме х квадрат тук.\NСледователно може да преобразуваме
Dialogue: 0,0:03:19.56,0:03:22.92,Default,,0000,0000,0000,,малко този израз, така че да имаме\Nсъщата константа ето тук.
Dialogue: 0,0:03:22.97,0:03:24.23,Default,,0000,0000,0000,,Нека да помислим върху това.
Dialogue: 0,0:03:24.24,0:03:28.04,Default,,0000,0000,0000,,Нека да положим (заместим)\Nтози израз с u.
Dialogue: 0,0:03:28.94,0:03:33.24,Default,,0000,0000,0000,,Ако запишем, че u е равно\Nна х на трета,
Dialogue: 0,0:03:33.24,0:03:37.00,Default,,0000,0000,0000,,умножено по натурален логаритъм от 2,\Nто какво се получава за du?
Dialogue: 0,0:03:37.00,0:03:39.90,Default,,0000,0000,0000,,du ще бъде равно на следното.
Dialogue: 0,0:03:39.90,0:03:42.34,Default,,0000,0000,0000,,Натурален логаритъм от 2 е просто\Nконстанта, така че ще се получи
Dialogue: 0,0:03:42.34,0:03:45.94,Default,,0000,0000,0000,,3 по х квадрат, умножено\Nпо натурален логаритъм от 2.
Dialogue: 0,0:03:46.04,0:03:49.16,Default,,0000,0000,0000,,Може да променим реда, \Nв който умножаваме ето тук.
Dialogue: 0,0:03:49.16,0:03:51.14,Default,,0000,0000,0000,,Това е равно на същото като
Dialogue: 0,0:03:51.14,0:03:55.56,Default,,0000,0000,0000,,х квадрат по 3, по натурален\Nлогаритъм от 2.
Dialogue: 0,0:03:56.48,0:03:59.24,Default,,0000,0000,0000,,Просто използваме свойствата\Nна логаритмите. Това е същото като
Dialogue: 0,0:03:59.24,0:04:03.76,Default,,0000,0000,0000,,х квадрат, умножено по натурален\Nлогаритъм от 2 на трета.
Dialogue: 0,0:04:03.76,0:04:05.60,Default,,0000,0000,0000,,3 по натурален логаритъм от 2\Nе равно на същото
Dialogue: 0,0:04:05.60,0:04:07.36,Default,,0000,0000,0000,,като натурален логаритъм\Nот 2 на трета степен.
Dialogue: 0,0:04:07.36,0:04:13.32,Default,,0000,0000,0000,,Това е равно на х квадрат, умножено\Nпо натурален логаритъм от 8.
Dialogue: 0,0:04:13.70,0:04:16.43,Default,,0000,0000,0000,,Добре, ако този израз е u,\Nто кой израз е du?
Dialogue: 0,0:04:16.43,0:04:19.47,Default,,0000,0000,0000,,Нека не забравяме\Ndx ето тук.
Dialogue: 0,0:04:19.97,0:04:25.80,Default,,0000,0000,0000,,Ето тук е умножено по dx, dx, dx, dx.
Dialogue: 0,0:04:25.83,0:04:29.77,Default,,0000,0000,0000,,Къде ще се появи du? Имаме dx. Нека\Nда подчертая някои неща.
Dialogue: 0,0:04:29.77,0:04:32.77,Default,,0000,0000,0000,,Имаме dx ето тук. Имаме dx ето там.
Dialogue: 0,0:04:32.77,0:04:36.10,Default,,0000,0000,0000,,Имаме x квадрат тук. Имаме\Nи х квадрат там.
Dialogue: 0,0:04:36.10,0:04:38.23,Default,,0000,0000,0000,,Следователно това, което ни трябва тук,
Dialogue: 0,0:04:38.23,0:04:40.90,Default,,0000,0000,0000,,е натурален логаритъм от 8.
Dialogue: 0,0:04:40.90,0:04:44.54,Default,,0000,0000,0000,,Теоретично трябва да имаме\Nнатурален логаритъм от 8 ето тук.
Dialogue: 0,0:04:44.54,0:04:46.96,Default,,0000,0000,0000,,Може да бъде тук.
Dialogue: 0,0:04:46.97,0:04:49.23,Default,,0000,0000,0000,,Тоест може да умножим\Nпо натурален логаритъм от 8,
Dialogue: 0,0:04:49.23,0:04:53.33,Default,,0000,0000,0000,,ако също така разделим\Nна натурален логаритъм от 8.
Dialogue: 0,0:04:53.37,0:04:56.30,Default,,0000,0000,0000,,Може да го запишем ето така,
Dialogue: 0,0:04:56.30,0:04:58.83,Default,,0000,0000,0000,,показвайки, че разделяме на\Nнатурален логаритъм от 8.
Dialogue: 0,0:04:58.83,0:05:01.38,Default,,0000,0000,0000,,Знаем, че примитивната функция\Nот константа, умножена по функция,
Dialogue: 0,0:05:01.38,0:05:04.64,Default,,0000,0000,0000,,е същото нещо като константата,
Dialogue: 0,0:05:04.64,0:05:06.68,Default,,0000,0000,0000,,умножена по примитивната функция.
Dialogue: 0,0:05:06.68,0:05:08.43,Default,,0000,0000,0000,,Следователно може да изнесем\Nконстантата пред интеграла.
Dialogue: 0,0:05:08.44,0:05:12.34,Default,,0000,0000,0000,,Тоест 1 върху натурален\Nлогаритъм от 8.
Dialogue: 0,0:05:13.06,0:05:15.43,Default,,0000,0000,0000,,Нека да запишем интеграла,\Nизразен чрез u и du.
Dialogue: 0,0:05:15.43,0:05:18.57,Default,,0000,0000,0000,,Получава се 1 върху натурален\Nлогаритъм от 8,
Dialogue: 0,0:05:18.57,0:05:23.35,Default,,0000,0000,0000,,умножено по примитивната\Nфункция
Dialogue: 0,0:05:24.45,0:05:31.77,Default,,0000,0000,0000,,от e на степен u – това\Nтук е u – по du.
Dialogue: 0,0:05:31.77,0:05:36.50,Default,,0000,0000,0000,,Това, умножено по това\Nи по ето това, е du.
Dialogue: 0,0:05:37.46,0:05:38.70,Default,,0000,0000,0000,,Оттук нататък вече е лесно.
Dialogue: 0,0:05:38.70,0:05:40.90,Default,,0000,0000,0000,,Знаем на какво ще бъде\Nравен този израз.
Dialogue: 0,0:05:40.90,0:05:43.10,Default,,0000,0000,0000,,Това ще бъде равно на следното.\NНека да запиша
Dialogue: 0,0:05:43.10,0:05:45.60,Default,,0000,0000,0000,,1 върху натурален\Nлогаритъм от 8 ето тук.
Dialogue: 0,0:05:46.30,0:05:48.36,Default,,0000,0000,0000,,1 върху натурален\Nлогаритъм от 8,
Dialogue: 0,0:05:48.36,0:05:51.94,Default,,0000,0000,0000,,умножено по е на степен u.
Dialogue: 0,0:05:52.46,0:05:54.58,Default,,0000,0000,0000,,По е на степен u.
Dialogue: 0,0:05:56.12,0:05:57.70,Default,,0000,0000,0000,,Разбира се, ако го разглеждаме като
Dialogue: 0,0:05:57.70,0:06:00.43,Default,,0000,0000,0000,,примитивна функция, то ще има \Nи една константа ето тук.
Dialogue: 0,0:06:00.80,0:06:02.90,Default,,0000,0000,0000,,Сега просто ще заместим\Nобратно израза за u.
Dialogue: 0,0:06:02.90,0:06:04.64,Default,,0000,0000,0000,,Вече знаем на какво е равно u.
Dialogue: 0,0:06:04.64,0:06:07.30,Default,,0000,0000,0000,,Получихме примитивната функция
Dialogue: 0,0:06:07.30,0:06:12.02,Default,,0000,0000,0000,,от този израз. Равно е на 1 върху\Nнатурален логаритъм от 8,
Dialogue: 0,0:06:12.02,0:06:16.00,Default,,0000,0000,0000,,умножено по е на степен u – което\Nзнаем на какво е равно –
Dialogue: 0,0:06:16.00,0:06:19.10,Default,,0000,0000,0000,,х на трета по натурален\Nлогаритъм от 2.
Dialogue: 0,0:06:19.10,0:06:21.87,Default,,0000,0000,0000,,Разбира се поставяме\Nконстанта C ето тук.
Dialogue: 0,0:06:22.10,0:06:24.62,Default,,0000,0000,0000,,Нека сега се върнем обратно към\Nпървоначалната задача.
Dialogue: 0,0:06:24.62,0:06:28.02,Default,,0000,0000,0000,,Искаме да изчислим\Nпримитивната функция на този израз
Dialogue: 0,0:06:28.02,0:06:29.50,Default,,0000,0000,0000,,във всяка от тези точки.
Dialogue: 0,0:06:29.50,0:06:30.97,Default,,0000,0000,0000,,Нека преобразуваме израза.
Dialogue: 0,0:06:30.97,0:06:32.88,Default,,0000,0000,0000,,Нека използваме това,\Nкоето току-що открихме.
Dialogue: 0,0:06:33.60,0:06:36.62,Default,,0000,0000,0000,,Ще копирам и поставя\Nето тук израза.
Dialogue: 0,0:06:36.62,0:06:39.12,Default,,0000,0000,0000,,Ще бъде равно на следното.
Dialogue: 0,0:06:40.18,0:06:44.62,Default,,0000,0000,0000,,Равно е на примитивната функция,\Nизчислена
Dialogue: 0,0:06:44.62,0:06:47.16,Default,,0000,0000,0000,,в точка 1, минус примитивната\Nфункция, изчислена в точка 0.
Dialogue: 0,0:06:47.16,0:06:48.74,Default,,0000,0000,0000,,Не е нужно да се притесняваме\Nза константите,
Dialogue: 0,0:06:48.74,0:06:50.36,Default,,0000,0000,0000,,защото просто ще се\Nунищожат взаимно.
Dialogue: 0,0:06:50.36,0:06:53.57,Default,,0000,0000,0000,,Получава се следното.
Dialogue: 0,0:06:53.57,0:06:55.97,Default,,0000,0000,0000,,Нека изчислим първо с 1.
Dialogue: 0,0:06:56.60,0:07:00.38,Default,,0000,0000,0000,,Получава се 1 върху натурален\Nлогаритъм от 8,
Dialogue: 0,0:07:00.38,0:07:05.43,Default,,0000,0000,0000,,умножено по e на степен\N1 на трета –
Dialogue: 0,0:07:05.44,0:07:08.10,Default,,0000,0000,0000,,което е равно на 1 – умножено по\Nнатурален логаритъм от 2.
Dialogue: 0,0:07:08.44,0:07:11.18,Default,,0000,0000,0000,,Това е стойността, изчислена\Nв точка 1.
Dialogue: 0,0:07:11.76,0:07:15.08,Default,,0000,0000,0000,,Следва минус стойността, изчислена\Nв точка 0.
Dialogue: 0,0:07:15.10,0:07:18.66,Default,,0000,0000,0000,,Тоест изваждаме 1 върху натурален\Nлогаритъм от 8,
Dialogue: 0,0:07:18.66,0:07:22.12,Default,,0000,0000,0000,,умножено по е на степен 0,\Nзащото, когато х е 0,
Dialogue: 0,0:07:22.12,0:07:23.90,Default,,0000,0000,0000,,то целият този израз\Nе равен на 0.
Dialogue: 0,0:07:24.56,0:07:28.26,Default,,0000,0000,0000,,е на степен 0 е равно на 1,
Dialogue: 0,0:07:28.26,0:07:32.23,Default,,0000,0000,0000,,а е на степен натурален логаритъм\Nот 2 е равно на 2.
Dialogue: 0,0:07:32.23,0:07:33.97,Default,,0000,0000,0000,,По-рано вече установихме,\Nче това е вярно.
Dialogue: 0,0:07:33.97,0:07:35.76,Default,,0000,0000,0000,,Това ще бъде просто\Nравно на 2.
Dialogue: 0,0:07:36.34,0:07:39.56,Default,,0000,0000,0000,,Остава ни само 2 върху\Nнатурален логаритъм от 8
Dialogue: 0,0:07:39.56,0:07:42.46,Default,,0000,0000,0000,,минус 1 върху натурален\Nлогаритъм от 8,
Dialogue: 0,0:07:42.46,0:07:47.54,Default,,0000,0000,0000,,което е равно на 1 върху натурален\Nлогаритъм от 8.
Dialogue: 0,0:07:50.12,0:07:52.26,Default,,0000,0000,0000,,И сме готови.