0:00:00.560,0:00:03.520
Нека се опитаме да изчислим[br]определения интеграл

0:00:03.520,0:00:07.560
от 0 до 1, от х квадрат,

0:00:07.566,0:00:13.500
умножено по 2 на степен[br]х на трета, dx.

0:00:13.500,0:00:16.320
Както обикновено, насърчавам те[br]да спреш видеото

0:00:16.320,0:00:20.240
и да опиташ да се справиш[br]самостоятелно.

0:00:20.940,0:00:22.634
Предполагам, че вече[br]опита.

0:00:22.634,0:00:24.300
Има няколко интересни неща[br]в този пример.

0:00:24.300,0:00:26.100
Първото нещо, за което[br]се досещам, е,

0:00:26.100,0:00:28.780
че сме свикнали да намираме[br]производни и примитивни функции

0:00:28.780,0:00:31.860
от е на степен х, а не за някаква[br]друга основа на степен х.

0:00:31.860,0:00:35.040
Знаем, че производната[br]спрямо х на е^х

0:00:35.040,0:00:38.720
е равна на е^х. Можем да кажем, [br]че примитивната функция

0:00:38.720,0:00:44.060
на е^х е равна[br]на е^х плюс константа C.

0:00:44.640,0:00:46.820
Имаме дадено нещо,

0:00:46.820,0:00:49.860
което е повдигнато на степен,

0:00:50.280,0:00:53.160
която е функция на х. Тогава изглежда,[br]че е подходящо

0:00:53.160,0:00:56.700
да сменим основата. Как обаче[br]да го направим?

0:00:56.700,0:00:58.840
Начинът, който ще използвам,[br]е да изразя

0:00:58.840,0:01:00.940
числото 2 чрез константата е.

0:01:01.100,0:01:03.240
На какво ще бъде равно 2,[br]изразено чрез е?

0:01:03.240,0:01:06.420
Числото 2 е равно на

0:01:06.420,0:01:10.260
числото е, повдигнато на степен,

0:01:10.260,0:01:13.040
която е необходима,[br]за да се получи 2.

0:01:13.040,0:01:14.620
Каква е степента,

0:01:14.620,0:01:16.500
на която да повдигнем 2,[br]за да получим 2?

0:01:16.500,0:01:18.600
Това е натурален логаритъм от 2.

0:01:19.320,0:01:21.633
Натурален логаритъм от 2[br]е степента,

0:01:21.633,0:01:24.100
на която следва да повдигнем е,[br]за да получим 2.

0:01:24.100,0:01:27.700
Ако повдигнем е на тази степен,[br]то ще получим 2.

0:01:28.120,0:01:29.820
На този израз е равно числото 2.

0:01:29.820,0:01:32.280
А сега, на какво е равно 2[br]на степен х на трета?

0:01:32.280,0:01:35.700
Нека да повдигнем двете страни[br]на уравнението на х на трета.

0:01:35.700,0:01:38.160
Повдигаме двете страни[br]на х на трета.

0:01:38.160,0:01:41.960
2 на степен х на трета е равно[br]на следното. Повдигаме нещо

0:01:41.960,0:01:44.100
на степен и след това цялото[br]на друга степен.

0:01:44.100,0:01:46.120
Тогава ще получим

0:01:46.120,0:01:49.400
е на степен х на трета,

0:01:51.140,0:01:53.000
умножено по натурален[br]логаритъм от 2.

0:01:53.100,0:01:56.140
По натурален логаритъм от 2.

0:01:56.920,0:01:59.160
Това вече изглежда интересно.

0:01:59.166,0:02:01.567
Нека да преобразуваме интеграла.

0:02:01.567,0:02:04.100
Нека първо се фокусираме върху[br]неопределения интеграл

0:02:04.100,0:02:05.320
и да видим дали можем[br]да го изчислим.

0:02:05.320,0:02:06.500
След това вече можем

0:02:06.500,0:02:08.566
да изчислим определения.

0:02:08.566,0:02:11.566
Нека помислим върху това.[br]Нека да решим

0:02:11.566,0:02:15.033
неопределен интеграл[br]от х квадрат,

0:02:15.033,0:02:18.500
умножено по 2 на степен[br]х на трета, dx.

0:02:18.500,0:02:20.566
Искам да намерим примитивната[br]функция от този израз.

0:02:20.566,0:02:24.080
Това ще бъде равно точно[br]на същото нещо като следното.

0:02:24.080,0:02:28.420
х квадрат остава,

0:02:28.433,0:02:30.366
но вместо 2 на степен х на трета,

0:02:30.366,0:02:32.166
ще заместя ето този[br]израз в лилаво.

0:02:32.166,0:02:33.833
Нека просто го копирам и поставя.

0:02:33.833,0:02:35.300
Вече установихме, че това е равно

0:02:35.300,0:02:38.500
на същия израз като[br]2 на степен х на трета.

0:02:39.400,0:02:42.860
Копирам и поставям тук ето така.

0:02:43.800,0:02:48.160
Нека сега да завърша[br]записа с dx.

0:02:48.840,0:02:51.760
Успяхме да сменим основата[br]с числото е.

0:02:51.767,0:02:53.434
Това прави задачата ни малко[br]по-удобна,

0:02:53.434,0:02:55.366
но все още изглежда[br]доста сложна.

0:02:55.366,0:02:57.700
Може би ще кажеш: "Хей, виж,

0:02:57.700,0:03:00.966
вероятно можем да интегрираме[br]със заместване в случая."

0:03:00.966,0:03:05.033
Имам този странен израз[br]х на трета,

0:03:05.033,0:03:08.000
умножено по натурален логаритъм от 2,[br]но каква е производната му?

0:03:08.040,0:03:09.960
Ще бъде равна на 3х квадрат,

0:03:09.960,0:03:11.540
умножено по натурален[br]логаритъм от 2.

0:03:11.540,0:03:14.520
Или 3 по натурален логаритъм от 2,[br]умножено по х квадрат.

0:03:14.520,0:03:16.360
Или просто константа, умножена[br]по х квадрат.

0:03:16.360,0:03:19.560
Вече имаме х квадрат тук.[br]Следователно може да преобразуваме

0:03:19.560,0:03:22.920
малко този израз, така че да имаме[br]същата константа ето тук.

0:03:22.967,0:03:24.233
Нека да помислим върху това.

0:03:24.240,0:03:28.040
Нека да положим (заместим)[br]този израз с u.

0:03:28.940,0:03:33.240
Ако запишем, че u е равно[br]на х на трета,

0:03:33.240,0:03:37.000
умножено по натурален логаритъм от 2,[br]то какво се получава за du?

0:03:37.000,0:03:39.900
du ще бъде равно на следното.

0:03:39.900,0:03:42.340
Натурален логаритъм от 2 е просто[br]константа, така че ще се получи

0:03:42.340,0:03:45.940
3 по х квадрат, умножено[br]по натурален логаритъм от 2.

0:03:46.040,0:03:49.160
Може да променим реда, [br]в който умножаваме ето тук.

0:03:49.160,0:03:51.140
Това е равно на същото като

0:03:51.140,0:03:55.560
х квадрат по 3, по натурален[br]логаритъм от 2.

0:03:56.480,0:03:59.240
Просто използваме свойствата[br]на логаритмите. Това е същото като

0:03:59.240,0:04:03.760
х квадрат, умножено по натурален[br]логаритъм от 2 на трета.

0:04:03.760,0:04:05.600
3 по натурален логаритъм от 2[br]е равно на същото

0:04:05.600,0:04:07.360
като натурален логаритъм[br]от 2 на трета степен.

0:04:07.360,0:04:13.320
Това е равно на х квадрат, умножено[br]по натурален логаритъм от 8.

0:04:13.700,0:04:16.433
Добре, ако този израз е u,[br]то кой израз е du?

0:04:16.433,0:04:19.466
Нека не забравяме[br]dx ето тук.

0:04:19.966,0:04:25.800
Ето тук е умножено по dx, dx, dx, dx.

0:04:25.833,0:04:29.767
Къде ще се появи du? Имаме dx. Нека[br]да подчертая някои неща.

0:04:29.767,0:04:32.767
Имаме dx ето тук. Имаме dx ето там.

0:04:32.767,0:04:36.100
Имаме x квадрат тук. Имаме[br]и х квадрат там.

0:04:36.100,0:04:38.234
Следователно това, което ни трябва тук,

0:04:38.234,0:04:40.900
е натурален логаритъм от 8.

0:04:40.900,0:04:44.540
Теоретично трябва да имаме[br]натурален логаритъм от 8 ето тук.

0:04:44.540,0:04:46.960
Може да бъде тук.

0:04:46.966,0:04:49.233
Тоест може да умножим[br]по натурален логаритъм от 8,

0:04:49.233,0:04:53.333
ако също така разделим[br]на натурален логаритъм от 8.

0:04:53.366,0:04:56.300
Може да го запишем ето така,

0:04:56.300,0:04:58.833
показвайки, че разделяме на[br]натурален логаритъм от 8.

0:04:58.833,0:05:01.380
Знаем, че примитивната функция[br]от константа, умножена по функция,

0:05:01.380,0:05:04.640
е същото нещо като константата,

0:05:04.640,0:05:06.680
умножена по примитивната функция.

0:05:06.680,0:05:08.433
Следователно може да изнесем[br]константата пред интеграла.

0:05:08.440,0:05:12.340
Тоест 1 върху натурален[br]логаритъм от 8.

0:05:13.060,0:05:15.433
Нека да запишем интеграла,[br]изразен чрез u и du.

0:05:15.433,0:05:18.566
Получава се 1 върху натурален[br]логаритъм от 8,

0:05:18.566,0:05:23.346
умножено по примитивната[br]функция

0:05:24.453,0:05:31.766
от e на степен u – това[br]тук е u – по du.

0:05:31.766,0:05:36.500
Това, умножено по това[br]и по ето това, е du.

0:05:37.460,0:05:38.700
Оттук нататък вече е лесно.

0:05:38.700,0:05:40.900
Знаем на какво ще бъде[br]равен този израз.

0:05:40.900,0:05:43.100
Това ще бъде равно на следното.[br]Нека да запиша

0:05:43.100,0:05:45.600
1 върху натурален[br]логаритъм от 8 ето тук.

0:05:46.300,0:05:48.360
1 върху натурален[br]логаритъм от 8,

0:05:48.360,0:05:51.940
умножено по е на степен u.

0:05:52.460,0:05:54.580
По е на степен u.

0:05:56.120,0:05:57.700
Разбира се, ако го разглеждаме като

0:05:57.700,0:06:00.433
примитивна функция, то ще има [br]и една константа ето тук.

0:06:00.800,0:06:02.900
Сега просто ще заместим[br]обратно израза за u.

0:06:02.900,0:06:04.640
Вече знаем на какво е равно u.

0:06:04.640,0:06:07.300
Получихме примитивната функция

0:06:07.300,0:06:12.020
от този израз. Равно е на 1 върху[br]натурален логаритъм от 8,

0:06:12.020,0:06:16.000
умножено по е на степен u – което[br]знаем на какво е равно –

0:06:16.000,0:06:19.100
х на трета по натурален[br]логаритъм от 2.

0:06:19.100,0:06:21.866
Разбира се поставяме[br]константа C ето тук.

0:06:22.100,0:06:24.620
Нека сега се върнем обратно към[br]първоначалната задача.

0:06:24.620,0:06:28.020
Искаме да изчислим[br]примитивната функция на този израз

0:06:28.020,0:06:29.500
във всяка от тези точки.

0:06:29.500,0:06:30.967
Нека преобразуваме израза.

0:06:30.967,0:06:32.880
Нека използваме това,[br]което току-що открихме.

0:06:33.600,0:06:36.620
Ще копирам и поставя[br]ето тук израза.

0:06:36.620,0:06:39.120
Ще бъде равно на следното.

0:06:40.180,0:06:44.620
Равно е на примитивната функция,[br]изчислена

0:06:44.620,0:06:47.160
в точка 1, минус примитивната[br]функция, изчислена в точка 0.

0:06:47.160,0:06:48.740
Не е нужно да се притесняваме[br]за константите,

0:06:48.740,0:06:50.360
защото просто ще се[br]унищожат взаимно.

0:06:50.360,0:06:53.566
Получава се следното.

0:06:53.566,0:06:55.966
Нека изчислим първо с 1.

0:06:56.600,0:07:00.380
Получава се 1 върху натурален[br]логаритъм от 8,

0:07:00.380,0:07:05.433
умножено по e на степен[br]1 на трета –

0:07:05.440,0:07:08.100
което е равно на 1 – умножено по[br]натурален логаритъм от 2.

0:07:08.440,0:07:11.180
Това е стойността, изчислена[br]в точка 1.

0:07:11.760,0:07:15.080
Следва минус стойността, изчислена[br]в точка 0.

0:07:15.100,0:07:18.660
Тоест изваждаме 1 върху натурален[br]логаритъм от 8,

0:07:18.660,0:07:22.120
умножено по е на степен 0,[br]защото, когато х е 0,

0:07:22.120,0:07:23.900
то целият този израз[br]е равен на 0.

0:07:24.560,0:07:28.260
е на степен 0 е равно на 1,

0:07:28.260,0:07:32.233
а е на степен натурален логаритъм[br]от 2 е равно на 2.

0:07:32.233,0:07:33.966
По-рано вече установихме,[br]че това е вярно.

0:07:33.966,0:07:35.760
Това ще бъде просто[br]равно на 2.

0:07:36.340,0:07:39.560
Остава ни само 2 върху[br]натурален логаритъм от 8

0:07:39.560,0:07:42.460
минус 1 върху натурален[br]логаритъм от 8,

0:07:42.460,0:07:47.540
което е равно на 1 върху натурален[br]логаритъм от 8.

0:07:50.120,0:07:52.260
И сме готови.