1
00:00:00,830 --> 00:00:03,000
這邊我有一個正方形

2
00:00:04,790 --> 00:00:08,060
每個邊都等長就構成正方形

3
00:00:08,060 --> 00:00:10,380
我還沒深入到角度方面，但是

4
00:00:10,380 --> 00:00:12,520
這些都是直角

5
00:00:12,520 --> 00:00:13,470
我會像這樣畫直角

6
00:00:13,470 --> 00:00:16,760
它就表示底邊是左右直線

7
00:00:16,760 --> 00:00:19,880
這個左側邊是上下的直線

8
00:00:19,880 --> 00:00:22,210
那就是直角真正的意思

9
00:00:22,210 --> 00:00:27,290
假設這個底邊是8公尺

10
00:00:27,290 --> 00:00:28,540
就是這個邊

11
00:00:28,540 --> 00:00:30,100
這是個正方形

12
00:00:30,100 --> 00:00:35,980
然後請問正方形的面積是多少?

13
00:00:35,980 --> 00:00:39,040
面積基本上就是正方形佔了多少空間

14
00:00:39,040 --> 00:00:41,430
假設，現在在你的螢幕

15
00:00:41,430 --> 00:00:46,040
所以，它基本上就是一個測量某件東西

16
00:00:46,040 --> 00:00:49,110
在二度空間平面上佔了多少空間

17
00:00:49,110 --> 00:00:52,170
一個二度空間平面就好像是這個電腦螢幕

18
00:00:52,170 --> 00:00:55,530
或者你的一張紙，假如你正在做這個問題

19
00:00:55,530 --> 00:00:58,680
一個比喻說，假設你有一個8公尺乘8公尺的房間

20
00:00:58,680 --> 00:01:01,570
你需要多大的地毯，就好像你需要多大的空間尺寸

21
00:01:01,570 --> 00:01:04,240
來填滿二度空間的

22
00:01:04,240 --> 00:01:05,500
某個平面

23
00:01:05,500 --> 00:01:09,750
所以，面積就是指你要填滿的尺寸有多大

24
00:01:09,750 --> 00:01:11,980
對一個正方形來說

25
00:01:11,980 --> 00:01:12,605
這很容易明白

26
00:01:12,605 --> 00:01:15,830
它就是用你的底乘上你的高

27
00:01:15,830 --> 00:01:18,570
這對任何長方形都是對的，但是既然這是個正方形

28
00:01:18,570 --> 00:01:20,650
你的底跟你的高都是一樣的

29
00:01:20,650 --> 00:01:22,340
都是8公尺

30
00:01:22,340 --> 00:01:27,930
所以，面積就等於8公尺乘以8公尺

31
00:01:27,930 --> 00:01:32,020
8乘以8等於64，然後你的公尺乘以公尺

32
00:01:32,020 --> 00:01:34,580
你也必須對你的單位做一樣的事

33
00:01:34,580 --> 00:01:37,200
你得到64公尺平方

34
00:01:37,200 --> 00:01:40,860
或者換一種說法，這是64平方公尺

35
00:01:40,860 --> 00:01:44,390
你可能會問，那64平方公尺在哪?

36
00:01:44,390 --> 00:01:46,615
好，你可以在這邊把它解開

37
00:01:46,615 --> 00:01:48,470
讓我來畫比我平常畫的

38
00:01:48,470 --> 00:01:49,630
大一些

39
00:01:49,630 --> 00:01:51,890
我可能應該要畫這麼大來開始說明

40
00:01:51,890 --> 00:01:55,940
所以，假設說這是同一個正方形

41
00:01:55,940 --> 00:01:58,100
我要畫一點東西，讓我把它

42
00:01:58,100 --> 00:02:00,240
從中間分開

43
00:02:00,240 --> 00:02:03,770
讓我想想，我們再次把它們分開

44
00:02:03,770 --> 00:02:07,142
然後我們再把每一邊像剛剛那樣分開

45
00:02:07,142 --> 00:02:08,410
我可能會做的工整點

46
00:02:08,410 --> 00:02:10,930
讓我再做一次

47
00:02:10,930 --> 00:02:16,840
將這些像剛剛那樣分開，然後將這些

48
00:02:16,840 --> 00:02:19,010
像剛剛那樣分開

49
00:02:19,010 --> 00:02:20,940
這是你要的

50
00:02:20,940 --> 00:02:21,480
好

51
00:02:21,480 --> 00:02:23,980
現在，我做這個的理由是為了讓你看到

52
00:02:23,980 --> 00:02:27,030
底跟高的量度

53
00:02:27,030 --> 00:02:30,650
我們說這是8公尺，注意我有1、2

54
00:02:30,650 --> 00:02:34,610
3、4、5、6、7、8公尺

55
00:02:34,610 --> 00:02:36,620
這邊也是一樣

56
00:02:36,620 --> 00:02:42,050
1、2、3、4、5、6、7、8公尺

57
00:02:42,050 --> 00:02:45,340
所以，當我們在說64平方公尺

58
00:02:45,340 --> 00:02:47,520
就字面而言，我們是在數算每一個平方公尺

59
00:02:47,520 --> 00:02:50,380
一平方公尺是一個二度空間的量度

60
00:02:50,380 --> 00:02:51,780
它是每邊都1公尺

61
00:02:51,780 --> 00:02:53,490
這邊是1公尺，這邊也是1公尺

62
00:02:53,490 --> 00:02:56,480
我這邊畫黃色陰影的地方就是1平方公尺

63
00:02:56,480 --> 00:02:59,030
你可以想像就是數算有幾個平方公尺

64
00:02:59,030 --> 00:03:05,070
在每一列，我們有1、2、3、4、5、6

65
00:03:05,070 --> 00:03:07,080
7、8平方公尺

66
00:03:07,080 --> 00:03:08,610
然後我們有8列

67
00:03:08,610 --> 00:03:11,200
所以我們有8乘以8平方公尺

68
00:03:11,200 --> 00:03:12,760
或者64公尺平方

69
00:03:12,760 --> 00:03:14,840
這基本上就是你坐在這邊，然後一個個數

70
00:03:14,840 --> 00:03:19,050
你會數算出有64平方公尺

71
00:03:19,050 --> 00:03:21,540
現在，如果我問你

72
00:03:21,540 --> 00:03:24,690
我的正方形周長是多少?

73
00:03:28,000 --> 00:03:30,620
周長就是你延著正方形周圍

74
00:03:30,620 --> 00:03:31,950
繞一圈的距離

75
00:03:31,950 --> 00:03:33,990
它不是測量，例如，你需要

76
00:03:33,990 --> 00:03:35,070
多大的地毯

77
00:03:35,070 --> 00:03:37,520
它是在測量，例如，如果你想要在你的地毯周圍

78
00:03:37,520 --> 00:03:40,050
放一個柵欄，我有點把室內及室外的比喻搞混

79
00:03:40,050 --> 00:03:42,400
它就是你需要多少距離的

80
00:03:42,400 --> 00:03:43,110
柵欄

81
00:03:43,110 --> 00:03:46,210
所以，它就是圍一圈的距離

82
00:03:46,210 --> 00:03:48,950
所以，它就是那個距離加那個距離加那個距離

83
00:03:48,950 --> 00:03:50,980
再加那個距離

84
00:03:50,980 --> 00:03:53,830
但是，我們已經知道這個底邊的距離

85
00:03:53,830 --> 00:03:58,020
我們已知這個距離是8公尺

86
00:03:58,020 --> 00:04:01,480
我們也知道這個高是8公尺

87
00:04:01,480 --> 00:04:02,180
它是個正方形

88
00:04:02,180 --> 00:04:04,570
這邊的距離就等於下面這邊的距離

89
00:04:04,570 --> 00:04:07,710
它也是8公尺

90
00:04:07,710 --> 00:04:09,450
當你看左側邊

91
00:04:09,450 --> 00:04:11,380
它也是8公尺

92
00:04:11,380 --> 00:04:15,670
我們有四個邊 - 1、2、3、4 - 每一個都是8公尺

93
00:04:15,670 --> 00:04:18,660
所以你把8加四次，就等於8乘以4

94
00:04:18,660 --> 00:04:21,070
你得到36公尺 [其實是32]

95
00:04:21,070 --> 00:04:25,050
現在注意，當我們只測量柵欄的長度

96
00:04:25,050 --> 00:04:28,530
我們的答案只有公尺

97
00:04:28,530 --> 00:04:30,680
只是一度空間的測量

98
00:04:30,680 --> 00:04:33,080
那是因為我們並非在測量平方公尺

99
00:04:33,080 --> 00:04:35,310
我們並非在測量有多大的面積

100
00:04:35,310 --> 00:04:38,560
我們在測量距離 - 一個繞一圈的距離

101
00:04:38,560 --> 00:04:40,920
我們轉了幾個彎，但你可以想像把這個柵欄拉直

102
00:04:40,920 --> 00:04:44,570
它會變成像一個大柵欄

103
00:04:44,570 --> 00:04:48,160
總共是36公尺長 [其實是32]

104
00:04:48,160 --> 00:04:51,010
所以，那就是為什麼我們是用公尺來表示周長

105
00:04:51,010 --> 00:04:53,640
但是，我們用平方公尺來表示面積，因為我們是在計算

106
00:04:53,640 --> 00:04:56,220
二度空間的測量

107
00:04:56,220 --> 00:04:58,840
現在，讓我們來做一點更有趣的

108
00:04:58,840 --> 00:05:02,070
假設現在不是正方形，而是

109
00:05:02,070 --> 00:05:05,780
像這樣的長方形呢?

110
00:05:09,700 --> 00:05:15,280
假設這個邊是7公分

111
00:05:15,280 --> 00:05:23,170
假設這個高是4公分

112
00:05:23,170 --> 00:05:25,845
所以，這個長方形的面積是多少?

113
00:05:25,845 --> 00:05:28,280
就是7乘以4公分

114
00:05:28,280 --> 00:05:31,490
7公分乘以4公分

115
00:05:31,490 --> 00:05:36,390
記住，我們可以畫7行，然後每一行都是

116
00:05:36,390 --> 00:05:39,540
4平方公分，這些每一個都是

117
00:05:39,540 --> 00:05:40,380
1平方公分

118
00:05:40,380 --> 00:05:42,360
所以，假設你把它們數一遍，你會得到

119
00:05:42,360 --> 00:05:44,170
7乘以4平方公分

120
00:05:44,170 --> 00:05:45,140
它是4公分

121
00:05:45,140 --> 00:05:50,390
所以，答案是28公分平方或平方公分

122
00:05:50,390 --> 00:05:51,070
周長是多少呢?

123
00:05:55,260 --> 00:05:58,660
它會等於下面這個邊長，也就是7公分

124
00:05:58,660 --> 00:06:03,670
加上這個邊長4公分

125
00:06:03,670 --> 00:06:07,480
加上上面這個邊長，這是個長方形

126
00:06:07,480 --> 00:06:09,170
所以，它會等於

127
00:06:09,170 --> 00:06:10,440
下面這個邊的邊長

128
00:06:10,440 --> 00:06:13,170
所以加上另一個7公分

129
00:06:13,170 --> 00:06:16,300
然後，你要加上左側這個邊

130
00:06:16,300 --> 00:06:18,870
但是，左側這個邊長就等於

131
00:06:18,870 --> 00:06:21,810
右邊這個邊長 - 這也是4公分

132
00:06:21,810 --> 00:06:24,450
所以，再加上另一個4公分

133
00:06:24,450 --> 00:06:25,450
然後，你得到多少?

134
00:06:25,450 --> 00:06:27,570
你得到7加4等於11，然後你得到另一個

135
00:06:27,570 --> 00:06:29,020
7加4

136
00:06:29,020 --> 00:06:33,020
你得到11加11，所以答案是22公分

137
00:06:33,020 --> 00:06:36,300
再說一次，它不是平方公分

138
00:06:36,300 --> 00:06:42,300
現在讓我們改做別的 - 讓我們離開長方形的類似題

139
00:06:42,300 --> 00:06:43,760
或者我們的長方形例題

140
00:06:43,760 --> 00:06:46,930
所以，來試試是否可以用同樣的原則做三角形的題目

141
00:06:46,930 --> 00:06:49,940
假設我有一個三角形

142
00:06:49,940 --> 00:06:52,100
我有一個像這樣的三角形

143
00:06:54,990 --> 00:06:58,720
假設這個邊長

144
00:06:58,720 --> 00:06:59,760
讓我把它畫成這樣

145
00:06:59,760 --> 00:07:02,210
我想這樣會對你比較容易

146
00:07:02,210 --> 00:07:04,550
看看它如何與長方形有關

147
00:07:04,550 --> 00:07:05,810
讓我把它畫成這樣

148
00:07:09,360 --> 00:07:09,810
就是這樣

149
00:07:09,810 --> 00:07:11,300
那是我的三角形

150
00:07:11,300 --> 00:07:14,510
假設這個底邊是

151
00:07:14,510 --> 00:07:17,210
7公分

152
00:07:17,210 --> 00:07:21,090
假設這個三角形的高是

153
00:07:21,090 --> 00:07:23,520
4公分

154
00:07:23,520 --> 00:07:26,160
我要問你，這個三角形的面積是多少?

155
00:07:33,690 --> 00:07:36,590
當我們有一個像這樣的三角形

156
00:07:36,590 --> 00:07:38,660
我們只要用7乘以4

157
00:07:38,660 --> 00:07:39,600
但是，這會得到什麼?

158
00:07:39,600 --> 00:07:42,610
它會得到整個長方形的面積

159
00:07:42,610 --> 00:07:44,610
如果我們用7乘以4，我們會得到

160
00:07:44,610 --> 00:07:46,050
整個長方形的面積

161
00:07:46,050 --> 00:07:49,640
你可以想像把三角形像這樣延伸

162
00:07:49,640 --> 00:07:51,880
這是個直角三角形 - 這是上下的直線

163
00:07:51,880 --> 00:07:54,420
這是左右的直線

164
00:07:54,420 --> 00:07:55,910
在下面這邊

165
00:07:55,910 --> 00:07:58,910
它是90度角，假如你已經知道

166
00:07:58,910 --> 00:08:00,040
角度的觀念

167
00:08:00,040 --> 00:08:03,460
所以，你幾乎可以將它視為1/2個長方形

168
00:08:03,460 --> 00:08:04,610
不是幾乎，它就是1/2

169
00:08:04,610 --> 00:08:07,580
因為假設你把這個乘以2，你可以想像

170
00:08:07,580 --> 00:08:12,190
假如你把這個三角形翻轉，你可以得到相同的三角形

171
00:08:12,190 --> 00:08:14,910
但它只是上下相反，翻過去而已

172
00:08:14,910 --> 00:08:17,650
所以，假如你用7乘以4，你會得到

173
00:08:17,650 --> 00:08:25,140
整個長方形的面積，這是你

174
00:08:25,140 --> 00:08:26,800
剛剛在上面做的

175
00:08:26,800 --> 00:08:30,210
但是，我們想要知道的是三角形的面積

176
00:08:30,210 --> 00:08:33,190
我們想知道的是這一塊區域的面積

177
00:08:33,190 --> 00:08:36,290
你可以看到，希望從這個畫裡面得知

178
00:08:36,290 --> 00:08:39,390
這個三角形就剛好等於整個長方形

179
00:08:39,390 --> 00:08:40,990
面積的1/2

180
00:08:40,990 --> 00:08:47,040
所以，三角形的面積等於底乘以高

181
00:08:47,040 --> 00:08:50,490
現在到目前為止，底乘以高是

182
00:08:50,490 --> 00:08:52,150
整個長方形的面積

183
00:08:52,150 --> 00:08:53,755
所以為了得到三角形的面積

184
00:08:53,755 --> 00:08:55,910
你得把它乘以1/2

185
00:08:55,910 --> 00:08:58,160
所以1/2 底乘以高

186
00:08:58,160 --> 00:09:04,320
所以，在我們的例題，就是1/2乘以7公分

187
00:09:04,320 --> 00:09:07,020
乘以4公分

188
00:09:07,020 --> 00:09:10,780
我們知道7乘以4是多少

189
00:09:10,780 --> 00:09:13,880
我們已經知道它是28平方公分

190
00:09:13,880 --> 00:09:15,710
我們在上面做過了

191
00:09:15,710 --> 00:09:19,050
所以，這邊就是28平方公分

192
00:09:19,050 --> 00:09:22,070
我們想要把它乘以1/2

193
00:09:22,070 --> 00:09:26,720
所以，答案就是14平方公分

194
00:09:26,720 --> 00:09:29,950
所以，這個三角形的面積就等於

195
00:09:29,950 --> 00:09:31,700
1/2長方形的面積

196
00:09:31,700 --> 00:09:35,670
現在，這個三角形的周長

197
00:09:35,670 --> 00:09:43,380
變得有點複雜，因為知道這個邊的邊長

198
00:09:43,380 --> 00:09:45,320
不是世界上最容易的事

199
00:09:45,320 --> 00:09:47,965
好，它會變得容易當你知道

200
00:09:47,965 --> 00:09:48,870
畢氏定理

201
00:09:48,870 --> 00:09:50,290
但是，我現在要跳過這部分

202
00:09:50,290 --> 00:09:54,010
我要把它留給畢氏定理的影片

203
00:09:54,010 --> 00:09:58,450
讓我們再做一題三角形的面積問題

204
00:09:58,450 --> 00:10:00,120
假設我有一個像這樣的三角形

205
00:10:00,120 --> 00:10:03,190
這是個很特別的例子，我將它畫得

206
00:10:03,190 --> 00:10:04,520
像半個長方形

207
00:10:04,520 --> 00:10:07,220
假設我們有一個像這樣的三角形

208
00:10:07,220 --> 00:10:11,650
它像這樣比較斜一點

209
00:10:11,650 --> 00:10:19,346
假設下面這個邊長為3公尺

210
00:10:19,346 --> 00:10:21,950
這個邊長是3公尺

211
00:10:21,950 --> 00:10:25,230
假設我們不知道這個邊長是多少

212
00:10:25,230 --> 00:10:26,570
我們不知道這個邊長是多少

213
00:10:26,570 --> 00:10:30,660
但是，我們知道如果我們像這樣畫一條直線下來

214
00:10:30,660 --> 00:10:32,670
假如你想像這是個建築或是

215
00:10:32,670 --> 00:10:34,760
某種山，而你像這樣直直的落下某個東西

216
00:10:34,760 --> 00:10:38,850
到地上，我們知道這個邊長等於

217
00:10:38,850 --> 00:10:43,770
假設它等於4公尺

218
00:10:43,770 --> 00:10:46,140
所以，這個三角形的面積是多少?

219
00:10:50,420 --> 00:10:52,910
好，我們可以套用同樣的公式

220
00:10:52,910 --> 00:10:57,170
面積就等於1/2的底乘以高

221
00:10:57,170 --> 00:11:00,490
所以，它等於1/2 - 底就字面上而言就是

222
00:11:00,490 --> 00:11:02,260
這個三角形的底邊

223
00:11:02,260 --> 00:11:07,380
所以，1/2乘以3乘以這個三角形的高

224
00:11:07,380 --> 00:11:08,740
我想一個比較好理解的方式是

225
00:11:08,740 --> 00:11:10,570
這個三角形的高度

226
00:11:10,570 --> 00:11:12,760
所以，這個高甚至不在三角形裡面，但是

227
00:11:12,760 --> 00:11:13,820
它真的就是三角形的高

228
00:11:13,820 --> 00:11:15,850
如果你想像這是個建築，你說這個建築有多高

229
00:11:15,850 --> 00:11:18,360
它就是這邊這個高

230
00:11:18,360 --> 00:11:20,395
所以，1/2乘以3乘以4

231
00:11:20,395 --> 00:11:22,880
你用這邊這個邊長

232
00:11:22,880 --> 00:11:27,860
就等於3乘以4等於12，再乘以1/2，就等於6

233
00:11:27,860 --> 00:11:30,830
我們要處理平方公尺

234
00:11:30,830 --> 00:11:34,140
我真的很想強調這個觀念，因為如果我給你一個

235
00:11:34,140 --> 00:11:40,000
像這樣的三角形，它的底邊是3公尺

236
00:11:40,000 --> 00:11:44,250
然後，這個邊長是4公尺

237
00:11:44,250 --> 00:11:50,930
這不是某個你可以

238
00:11:50,930 --> 00:11:52,820
運用這個公式來計算出來的題目

239
00:11:52,820 --> 00:11:54,790
事實上，你需要知道某些角度

240
00:11:54,790 --> 00:11:56,840
才能計算出面積，或者你需要知道

241
00:11:56,840 --> 00:11:58,350
另一邊才可以

242
00:11:58,350 --> 00:12:02,480
所以，這不是容易的

243
00:12:02,480 --> 00:12:05,890
你需要知道三角形的

244
00:12:05,890 --> 00:12:06,720
高度或者是高

245
00:12:06,720 --> 00:12:07,900
你需要知道這個邊長

246
00:12:07,900 --> 00:12:11,330
在這一題，高是其中一邊，但在這一題

247
00:12:11,330 --> 00:12:12,290
高不是其中一邊

248
00:12:12,290 --> 00:12:15,840
你需要了解右手邊這個邊

249
00:12:15,840 --> 00:12:19,590
是為了套用這個公式