WEBVTT

00:00:00.371 --> 00:00:02.145
我们来介绍

00:00:02.145 --> 00:00:06.277
多项式的余数定理

00:00:06.277 --> 00:00:07.436
当我们往下看的时候

00:00:07.436 --> 00:00:09.315
一开始您可能觉得有点神奇

00:00:09.315 --> 00:00:11.415
但是在今后的视频中，我们会去证明它

00:00:11.415 --> 00:00:13.063
然后我们就明白，就像数学中的其他很多东西

00:00:13.063 --> 00:00:14.445
当您真正去思考理解的时候

00:00:14.445 --> 00:00:16.923
或许它就不会显得那么神奇了

00:00:16.923 --> 00:00:19.469
那么什么是多项式的余数定理呢

00:00:19.469 --> 00:00:21.569
题目告诉我们，如果

00:00:21.569 --> 00:00:24.313
有一个一个多项式函数，f(x)

00:00:24.313 --> 00:00:27.793
这就是这个多项式

00:00:27.793 --> 00:00:29.557
多项式

00:00:29.557 --> 00:00:34.557
然后它来除以

00:00:34.923 --> 00:00:39.332
（x-a)

00:00:39.332 --> 00:00:43.890
那么余数

00:00:43.890 --> 00:00:46.103
从那个多项式

00:00:46.103 --> 00:00:49.916
的长除法我们就得到答案为f(a)

00:00:49.916 --> 00:00:53.040
其结果将是

00:00:53.040 --> 00:00:56.887
f(a)

00:00:56.887 --> 00:00:59.330
我知道这个看起来有点抽象

00:00:59.330 --> 00:01:02.727
我指的是f(x)以及f(x-a)

00:01:02.727 --> 00:01:05.409
我来把它说得具体一些

00:01:05.409 --> 00:01:10.409
我们来算f(x)等于多少

00:01:10.455 --> 00:01:11.737
我们来假设一个

00:01:11.737 --> 00:01:13.302
2次幂的多项式

00:01:13.302 --> 00:01:15.176
对所有的多项式其实都是成立的

00:01:15.176 --> 00:01:18.078
所以3x的平方

00:01:18.078 --> 00:01:21.139
减4x加7

00:01:21.139 --> 00:01:25.833
我们假设a等于，a等于1

00:01:25.833 --> 00:01:30.607
所以我们的除法就是

00:01:30.607 --> 00:01:33.886
变成我们要除以

00:01:33.886 --> 00:01:38.886
x-1

00:01:39.006 --> 00:01:44.006
所以a，在这个例子中，等于1

00:01:44.019 --> 00:01:45.890
现在来做多项式的长除法

00:01:45.890 --> 00:01:47.665
我建议您暂停视频

00:01:47.665 --> 00:01:49.635
如果你不熟悉长除法

00:01:49.635 --> 00:01:51.815
我建议您先去看那个视频再来看这个

00:01:51.815 --> 00:01:53.327
因为我以为您已经

00:01:53.327 --> 00:01:55.223
知道怎么去做多项式的长除法

00:01:55.223 --> 00:01:57.983
3x^-4x+7

00:01:57.983 --> 00:01:59.477
除以(x-1)

00:01:59.477 --> 00:02:01.036
来计算余数是多少

00:02:01.036 --> 00:02:04.877
并且来看余数是不是等于f(1)

00:02:04.877 --> 00:02:06.422
假设您已经试过了

00:02:06.422 --> 00:02:07.978
我们现在来一起做

00:02:07.978 --> 00:02:12.978
我们的除数为(x-1)

00:02:13.379 --> 00:02:18.379
被除数为3x^

00:02:18.752 --> 00:02:22.364
减4x+7

00:02:22.364 --> 00:02:24.907
好了，做一点多项式的长除法

00:02:24.907 --> 00:02:26.745
来开启您的一天是不错的方法

00:02:26.745 --> 00:02:27.456
我就是这样的

00:02:27.456 --> 00:02:29.172
我不知道您的早上以什么开始

00:02:29.172 --> 00:02:33.238
好了，我们来看x项

00:02:33.238 --> 00:02:34.728
x的最高幂次项

00:02:34.728 --> 00:02:36.585
我从最高幂次项开始

00:02:36.585 --> 00:02:39.453
那么x乘以什么得到3x的平方

00:02:39.453 --> 00:02:40.951
3x的平方是多少

00:02:40.951 --> 00:02:42.573
3x的平方就是3乘以x的平方

00:02:42.573 --> 00:02:46.387
所以我可以写下3x

00:02:46.387 --> 00:02:47.920
我可以写在

00:02:47.920 --> 00:02:49.700
x的一次方的位置

00:02:49.700 --> 00:02:53.750
3x乘以x是3x的平方

00:02:53.750 --> 00:02:57.822
3x乘以负1等于负3x

00:02:57.822 --> 00:03:01.486
现在来做减法

00:03:01.486 --> 00:03:04.454
这个和您通常做的长除法是一回事

00:03:04.454 --> 00:03:06.505
那么结果是什么

00:03:06.505 --> 00:03:09.488
3x的平方减3x的平方

00:03:09.488 --> 00:03:11.552
等于0

00:03:11.552 --> 00:03:14.237
这项相抵减

00:03:14.237 --> 00:03:16.584
这一项-4x

00:03:16.584 --> 00:03:18.332
要加3x,对吧

00:03:18.332 --> 00:03:19.720
因为负负得正

00:03:19.720 --> 00:03:22.012
负4x加3x

00:03:22.012 --> 00:03:25.367
得到负x

00:03:25.367 --> 00:03:27.504
我用新的颜色来做

00:03:27.504 --> 00:03:31.513
我们得到负x

00:03:31.513 --> 00:03:35.705
然后把7落下

00:03:35.705 --> 00:03:38.346
将您第一次学做长除法和这个做一个全面比较

00:03:38.346 --> 00:03:40.713
也许是3年级或者4年级您学的

00:03:40.713 --> 00:03:42.565
这也就是我做的就是用3x来乘以这个

00:03:42.565 --> 00:03:44.813
您就得到3x平方减3x

00:03:44.813 --> 00:03:46.801
然后我再来做减法，被减数为3x平方

00:03:46.801 --> 00:03:49.255
减4x，然后就得到这个

00:03:49.255 --> 00:03:52.518
或者您可以说我用整个多项式

00:03:52.518 --> 00:03:55.856
来减除数然后就得到-x+7

00:03:55.856 --> 00:03:58.149
现在，-x+7里面有多少

00:03:58.149 --> 00:04:00.598
x-1呢

00:04:00.598 --> 00:04:02.098
x被负x除

00:04:02.098 --> 00:04:06.488
商负1，乘以x

00:04:06.488 --> 00:04:08.816
就是负x

00:04:08.816 --> 00:04:12.662
负1乘以负1等于正1

00:04:12.662 --> 00:04:15.131
然后我们又要来做减法

00:04:15.131 --> 00:04:16.357
我们要来减去这个

00:04:16.357 --> 00:04:18.660
然后我们就得到余数了

00:04:18.660 --> 00:04:21.616
所以负x减去负x

00:04:21.616 --> 00:04:24.713
就等于负x加x

00:04:24.713 --> 00:04:26.847
它们相加等于0

00:04:26.847 --> 00:04:27.939
现在落下7

00:04:27.939 --> 00:04:29.104
然后7加1

00:04:29.104 --> 00:04:30.188
不要忘记括弧外面有负号

00:04:30.188 --> 00:04:31.329
所以如果您将负号分配进来

00:04:31.329 --> 00:04:33.144
那就等于负1

00:04:33.144 --> 00:04:35.880
7减去1等于6

00:04:35.880 --> 00:04:39.709
所以您的余数为6

00:04:39.709 --> 00:04:40.982
有一种方法去想

00:04:40.982 --> 00:04:45.442
您可以说

00:04:45.442 --> 00:04:46.797
我还是留给将来的视频来解释

00:04:46.797 --> 00:04:50.612
这里就是余数

00:04:50.612 --> 00:04:52.128
您知道当您得到余数的时候

00:04:52.128 --> 00:04:54.609
这只是对长除法做了一个复习

00:04:54.609 --> 00:04:57.128
也就是当您得到一个低次幂的时候

00:04:57.128 --> 00:04:58.676
在这里，我想您可以这么来叫它

00:04:58.676 --> 00:05:01.058
是一个零次幂的多项式

00:05:01.058 --> 00:05:04.225
这个比您实际上

00:05:04.225 --> 00:05:09.225
要除以的因子(x-1)的x次幂要低

00:05:09.680 --> 00:05:11.852
因为它比因子的幂次低，所以它就是余数了

00:05:11.852 --> 00:05:16.014
您不能再用这个余数去商任何数

00:05:16.014 --> 00:05:20.471
现在，就这个多项式余数定理

00:05:20.471 --> 00:05:23.538
如果它是正确的，因为我在这里只是任意选了一个例子而言

00:05:23.538 --> 00:05:26.108
这不是一个证明，而是仅仅是

00:05:26.108 --> 00:05:29.308
一种直观的方法

00:05:29.308 --> 00:05:32.009
让我们知道这个余数定理

00:05:32.009 --> 00:05:34.566
如果这个余数定理是正确的

00:05:34.566 --> 00:05:38.968
它告诉我们的是，在这个实例中

00:05:38.968 --> 00:05:42.727
f(1)应该等于6

00:05:42.727 --> 00:05:44.600
它应该等于这个余数

00:05:44.600 --> 00:05:45.555
现在来证明它

00:05:45.555 --> 00:05:48.838
它应该等于3乘以1的平方

00:05:48.838 --> 00:05:51.860
等于3，减4乘以1

00:05:51.860 --> 00:05:55.717
那么就是减4，再加7

00:05:55.717 --> 00:06:00.017
3减4等于负1再加7，的确是

00:06:00.017 --> 00:06:01.635
我们被其结果所鼓舞

00:06:01.635 --> 00:06:04.606
它真的就等于6

00:06:04.606 --> 00:06:07.604
所以，至少就这个特殊的例子而言

00:06:07.604 --> 00:06:09.082
看起来是正确的，它

00:06:09.082 --> 00:06:10.415
证明余数定理是对的

00:06:10.415 --> 00:06:12.365
但是这个定理的作用是，如果有人问

00:06:12.365 --> 00:06:15.111
"如果我用3x^-4x+7 除以

00:06:15.111 --> 00:06:16.986
(x-1) 的话，如果我只关心余数

00:06:16.986 --> 00:06:19.714
那么余数是什么？“

00:06:19.714 --> 00:06:21.865
这里他们并不关心实际的商会是多少

00:06:21.865 --> 00:06:23.903
他们就只想知道余数，您可以说

00:06:23.903 --> 00:06:27.299
“你们看，在这个例子里，因为a是1

00:06:27.299 --> 00:06:28.361
我可以就把1代入

00:06:28.361 --> 00:06:30.764
我可以算出f(1),然后我得出答案是6

00:06:30.764 --> 00:06:32.068
我并不需要去做这个整个长除法过程

00:06:32.068 --> 00:06:34.104
我仅仅只需要去做这个步骤

00:06:34.104 --> 00:06:37.130
就可以算出余数

00:06:37.130 --> 00:06:38.820
也就是得出3x的平方减4x加7

00:06:38.820 --> 00:06:41.854
除以x-1的余数