我们来介绍
多项式的余数定理
当我们往下看的时候
一开始您可能觉得有点神奇
但是在今后的视频中，我们会去证明它
然后我们就明白，就像数学中的其他很多东西
当您真正去思考理解的时候
或许它就不会显得那么神奇了
那么什么是多项式的余数定理呢
题目告诉我们，如果
有一个一个多项式函数，f(x)
这就是这个多项式
多项式
然后它来除以
（x-a)
那么余数
从那个多项式
的长除法我们就得到答案为f(a)
其结果将是
f(a)
我知道这个看起来有点抽象
我指的是f(x)以及f(x-a)
我来把它说得具体一些
我们来算f(x)等于多少
我们来假设一个
2次幂的多项式
对所有的多项式其实都是成立的
所以3x的平方
减4x加7
我们假设a等于，a等于1
所以我们的除法就是
变成我们要除以
x-1
所以a，在这个例子中，等于1
现在来做多项式的长除法
我建议您暂停视频
如果你不熟悉长除法
我建议您先去看那个视频再来看这个
因为我以为您已经
知道怎么去做多项式的长除法
3x^-4x+7
除以(x-1)
来计算余数是多少
并且来看余数是不是等于f(1)
假设您已经试过了
我们现在来一起做
我们的除数为(x-1)
被除数为3x^
减4x+7
好了，做一点多项式的长除法
来开启您的一天是不错的方法
我就是这样的
我不知道您的早上以什么开始
好了，我们来看x项
x的最高幂次项
我从最高幂次项开始
那么x乘以什么得到3x的平方
3x的平方是多少
3x的平方就是3乘以x的平方
所以我可以写下3x
我可以写在
x的一次方的位置
3x乘以x是3x的平方
3x乘以负1等于负3x
现在来做减法
这个和您通常做的长除法是一回事
那么结果是什么
3x的平方减3x的平方
等于0
这项相抵减
这一项-4x
要加3x,对吧
因为负负得正
负4x加3x
得到负x
我用新的颜色来做
我们得到负x
然后把7落下
将您第一次学做长除法和这个做一个全面比较
也许是3年级或者4年级您学的
这也就是我做的就是用3x来乘以这个
您就得到3x平方减3x
然后我再来做减法，被减数为3x平方
减4x，然后就得到这个
或者您可以说我用整个多项式
来减除数然后就得到-x+7
现在，-x+7里面有多少
x-1呢
x被负x除
商负1，乘以x
就是负x
负1乘以负1等于正1
然后我们又要来做减法
我们要来减去这个
然后我们就得到余数了
所以负x减去负x
就等于负x加x
它们相加等于0
现在落下7
然后7加1
不要忘记括弧外面有负号
所以如果您将负号分配进来
那就等于负1
7减去1等于6
所以您的余数为6
有一种方法去想
您可以说
我还是留给将来的视频来解释
这里就是余数
您知道当您得到余数的时候
这只是对长除法做了一个复习
也就是当您得到一个低次幂的时候
在这里，我想您可以这么来叫它
是一个零次幂的多项式
这个比您实际上
要除以的因子(x-1)的x次幂要低
因为它比因子的幂次低，所以它就是余数了
您不能再用这个余数去商任何数
现在，就这个多项式余数定理
如果它是正确的，因为我在这里只是任意选了一个例子而言
这不是一个证明，而是仅仅是
一种直观的方法
让我们知道这个余数定理
如果这个余数定理是正确的
它告诉我们的是，在这个实例中
f(1)应该等于6
它应该等于这个余数
现在来证明它
它应该等于3乘以1的平方
等于3，减4乘以1
那么就是减4，再加7
3减4等于负1再加7，的确是
我们被其结果所鼓舞
它真的就等于6
所以，至少就这个特殊的例子而言
看起来是正确的，它
证明余数定理是对的
但是这个定理的作用是，如果有人问
"如果我用3x^-4x+7 除以
(x-1) 的话，如果我只关心余数
那么余数是什么？“
这里他们并不关心实际的商会是多少
他们就只想知道余数，您可以说
“你们看，在这个例子里，因为a是1
我可以就把1代入
我可以算出f(1),然后我得出答案是6
我并不需要去做这个整个长除法过程
我仅仅只需要去做这个步骤
就可以算出余数
也就是得出3x的平方减4x加7
除以x-1的余数