ลองมาทำความรู้จัก
ทฤษฏีบทเศษเหลือของพหุนามกัน
และเราจะเห็นว่า
คุณจะรู้สึกว่ามันเหมือนเวทมนตร์ในตอนแรก
แต่ในวิดีโอต่อๆ ไป เราจะพิสูจน์ และเราจะเห็น
ว่า เช่นเดียวกับหลายๆ เรื่องในคณิตศาสตร์
เมื่อคุณคิดอย่างละเอียด
มันอาจไม่ใช่เวทมนตร์อะไรนัก
แล้วทฤษฎีบทเศษเหลือของพหุนามคืออะไร?
มันบอกเราว่า ถ้าเราเริ่ม
ด้วยพหุนาม f ของ x
ค่านี่ตรงนี้คือพหุนาม
พหุนาม
และเราหารมัน
ด้วย x ลบ a
แล้วเศษ
จากการหารยาว
พหุนามนั้นจะเท่ากับ f ของ a
มันจะเท่ากับ
f ของ a
ผมรู้ว่ามันอาจดูเป็นนามธรรมไปหน่อยตอนนี้
ผมจะพูดถึง f ของ x และ x ลบ a
ลองทำให้ชัดเจนขึ้นหน่อยดีกว่า
สมมุติว่า f ของ x เท่ากับ
ผมจะตั้ง
สมมุติว่าพหุนามดีกรีสองตัวหนึ่ง
อันนี้เป็นจริงสำหรับพหุนามใดๆ ด้วย
3x กำลังสองลบ
4x บวก 7
และสมมุติว่า a นั้นคือ ไม่รู้สิ a คือ 1
แล้วเราจะหารมันด้วย
เราจะหารด้วย
x ลบ 1
a ในกรณีนี้ เท่ากับ 1
ลองทำการหารยาวพหุนามนี้กัน
ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอ
ถ้าคุณยังไม่คุ้นกับการหารยาวพหุนาม
ผมแนะนำให้คุณดูวิดีโอนั้นก่อนจะดูวิดีโอนี้
เพราะผมจะถือว่าคุณรู้
วิธีหารยาวพหุนามแล้ว
หาร 3x กำลังสองลบ 4x บวก 7
หารมันด้วย x ลบ 1
ดูสิ่งที่เราได้เป็นเศษ
และดูว่าเศษนั้นเท่ากับ f ของ 1 จริงไหม
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
ลองทำไปด้วยกันดู
ลองนำ x ลบ 1
ไปหาร 3x กำลังสอง
ลบ 4x บวก 7 กัน
เอาล่ะ การหารยาวพหุนาม
ไม่ใช่กิจกรรมยามเช้าที่แย่นัก
ตอนนี้เป็นตอนเช้าสำหรับผม
ผมไม่รู้ว่าสำหรับคุณเป็นเวลากี่โมงแล้ว
เอาล่ะ ผมดูที่เทอม x ตรงนี้
เทอมดีกรีสูงสุด
แล้วผมจะเริ่มด้วยเทอมดีกรีสูงสุดตรงนี้
x จะไปหาร 3x กำลังสองได้กี่ครั้ง?
3x คูณอะไร?
3x คูณ x เท่ากับ 3x กำลังสอง
ผมจะเขียน 3x ตรงนี้
ผมจะเขียน จะเรียกว่า
หลักดีกรีหนึ่งก็ได้
3x คูณ x ได้ 3x กำลังสอง
3x คูณลบ 1 ได้ลบ 3x
และตอนนี้เราอยากลบอันนี้
มันก็แค่วิธีที่คุณหารยาวแบบดั้งเดิม
แล้ว เราได้อะไร?
3x กำลังสองลบ 3x กำลังสอง
นั่นจะเท่ากับ 0
อันนี้รวมกันได้ 0
และลบ 4x นี่
อันนี้จะเท่ากับบวก 3x จริงไหม?
แล้วลบของลบ
ลบ 4x บวก 3x
จะเท่ากับลบ x
ผมจะใช้สีใหม่นะ
มันจะเท่ากับลบ x
แล้วเราดึง 7 ลงมา
ทำการเปรียบเทียบกับตอนคุณเรียนหารยาวครั้งแรก
ไม่รู้สิ ตอนชั้นปีที่สามหรือสี่
ที่ผมทำก็คือ ผมคูณ 3x กับค่านี้
คุณจะได้ 3x กำลังสองลบ 3x
แล้วผมลบค่านั้นออกจาก 3x กำลังสอง
ลบ 4x ได้ค่านี่ตรงนี้
หรือคุณบอกได้ว่า ผมลบมันออกจาก
พหุนามทั้งหมดนี้
แล้วผมได้ลบ x บวก 7
และตอนนี้ x ลบ 1 ไป
หารลบ x บวก 7 ได้กี่ครั้ง?
x ไปหารลบ x
ลบ 1 คูณ x
ได้ลบ x
ลบ 1 คูณลบ 1 ได้บวก 1
แต่เราอยากลบอันนี้
เราอยากลบค่านี้
และอันนี้จะได้เศษ
ลบ x ลบลบ x
เหมือนกับลบ x บวก x
พวกนี้จะรวมกันได้ 0
และคุณได้ 7
อันนี้จะเท่ากับ 7 บวก 1
นึกดู คุณมีลบนี้ออกมา
ถ้าคุณแจกแจงลบ
อันนี้จะเท่ากับลบ 1
7 ลบ 1 ได้ 6
เศษเหลือตรงนี้คือ 6
วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า
คุณบอกได้ว่า อืม
ผมจะเก็บไว้วิดีโอหน้าดีกว่า
อันนี้ตรงนี้คือเศษเหลือ
และคุณรู้ว่าเวลาคุณได้เศษเหลือมา
นี่เป็นการทบทวนการหารยาวพหุนาม
มันคือเวลาที่คุณได้สิ่งที่มีดีกรีน้อยกว่า
นี่คือ ผมว่าคุณเรียกอันนี้
ว่าพหุนามดีกรีศูนย์ก็ได้
อันนี้มีดีกรีน้อยกว่าสิ่งที่คุณใช้
หาร หรือน้อยกว่า x กำลังน้อยกว่าตัวหารอยู่ 1
นี่มีดีกรีน้อยกว่า อันนี้จึงเป็นเศษเหลือ
คุณเอาอันนี้ไปหารอีกไม่ได้แล้ว
ทีนี้ ด้วยทฤษฏีบทเศษเหลือของพหุนาม
ถ้ามันเป็นจริง และผมเลือกตัวอย่างอย่างสุ่มตรงนี้
นี่ไม่ใช่การพิสูจน์ แต่เป็นแค่
การทำให้ทฤษฎีเศษเหลือของพหุนาม
จับต้องได้ ให้มันบอกอะไรเราบ้าง
ถ้าทฤษฎีเศษเหลือของพหุนามเป็นจริง
มันจะบอกเราว่า f ของ a ในกรณีนี้คือ 1
f ของ 1 ควรเท่ากับ 6
มันควรเท่ากับเศษเหลือนี้
ลองมาทดสอบกัน
นี่จะเท่ากับ 3 คูณ 1 กำลังสอง
ซึ่งจะเท่ากับ 3 ลบ 4 คูณ 1
มันจะเท่ากับลบ 4 บวก 7
3 ลบ 4 ได้ลบ 1 บวก 7 แน่นอน
เราพร้อมฉลองแล้ว
มันเท่ากับ 6 จริง
นี่เป็นเหมือน อย่างน้อยในกรณีเฉพาะนี้
ดูเหมือนว่า โอเค มันดูเหมือนว่าทฤษฎี
เศษเหลือของพหุนามจะใช้ได้จริง
แต่ประโยชน์จริงๆ คือว่า ถ้ามีคนถามว่า
เฮ้ ฉันจะได้เศษอะไรถ้าหาร
3x กำลังสองลบ 4x บวก 7
ด้วย x ลบ 1 ถ้าฉันสนใจแค่เศษ?
เขาไม่สนใจว่าผลหารเป็นเท่าใด
สิ่งที่เขาสนใจคือเศษอย่างเดียว คุณก็บอกว่า
เฮ้ ดูสิ ฉันนำ ในกรณีนี้ a คือ 1
ฉันจับมันใส่ลงไป
ฉันหาค่า f ของ 1 ได้ และฉันจะได้ 6
ฉันไม่ต้องทำอะไรพวกนี้
ที่ฉันมี ที่ต้องทำก็แค่อันนี้
เพื่อหาเศษของ 3x กำลังสอง
3x กำลังสองลบ 4x บวก 7 มา
แล้วหารด้วย x ลบ 1