WEBVTT

00:00:00.371 --> 00:00:06.277
Her kommer en introduktion til
restsætningen for polynomier,

00:00:06.277 --> 00:00:09.315
som nærmest ligner trylleri i starten.

00:00:09.315 --> 00:00:12.473
I de næste videoer vil vi bevise den
og se, som med så mange andre

00:00:12.473 --> 00:00:16.923
ting i matematik, når du tænker nærmere
over det, så er det ikke helt så mystisk.

00:00:16.923 --> 00:00:19.469
Hvad er restsætningen for polynomier?

00:00:19.469 --> 00:00:38.717
Hvis vi har polynomiet f(x),
som vi divider med x - a,

00:00:39.072 --> 00:00:56.823
så vil resten fra denne lange division
af et polynium være f(a).

00:00:56.887 --> 00:00:59.330
Jeg ved det ser lidt abstrakt ud lige nu.

00:00:59.330 --> 00:01:02.727
Jeg snakker om f(x)'er og (x - a)'er.

00:01:02.727 --> 00:01:05.409
Lad mig gøre det lidt mere konkret.

00:01:05.409 --> 00:01:10.409
Lad os sige, at f(x) er lig med

00:01:10.455 --> 00:01:13.302
-- nu finder jeg på et
andengradspolynomium --

00:01:13.302 --> 00:01:15.176
Dette gælder for alle polynomier.

00:01:15.176 --> 00:01:20.618
er lig med 3x² - 4x + 7.

00:01:20.618 --> 00:01:25.833
Lad os sige, a er 1.

00:01:25.833 --> 00:01:38.647
Vi skal derfor dividere med x -1.

00:01:38.647 --> 00:01:44.006
a er altså lig med 1.

00:01:44.019 --> 00:01:45.820
Lad os lave lang division.

00:01:45.820 --> 00:01:47.665
Sæt videoen på pause.

00:01:47.665 --> 00:01:51.722
Hvis lang division med polynomier er nyt
for dig, så prøv at se videoer om emnet,

00:01:51.722 --> 00:01:55.223
da jeg antager, at du ved, hvordan
man laver lang division med polynomier.

00:01:55.223 --> 00:01:59.477
3x² - 4x + 7 divideret med x -1.

00:01:59.477 --> 00:02:04.877
Lad os se, hvilken rest vi får
og om den virkelig svarer til f(1).

00:02:04.877 --> 00:02:06.422
Jeg antager, du selv har prøvet.

00:02:06.422 --> 00:02:07.978
Lad os løse opgaven sammen.

00:02:07.978 --> 00:02:21.478
Lad os dividere 3x² - 4x + 7 med x - 1.

00:02:22.134 --> 00:02:26.475
En smule lang division med polynomier
er aldrig en dårlig start på en dag.

00:02:26.475 --> 00:02:29.202
Det er morgen hos mig.
Jeg ved ikke, hvad det er hos dig.

00:02:29.202 --> 00:02:34.568
Jeg starter med x-leddet,
som er højestegradsleddet,

00:02:34.568 --> 00:02:36.585
og jeg starter med højestegradsleddet her.

00:02:36.585 --> 00:02:39.453
Hvor mange gange går x op i 3x²?

00:02:39.453 --> 00:02:40.951
Det gør det 3x gange.

00:02:40.951 --> 00:02:42.573
3x gange x er 3x².

00:02:42.573 --> 00:02:49.474
Jeg skriver 3x her på første gradspladsen.

00:02:49.620 --> 00:02:53.750
3x gange x er 3x².

00:02:53.750 --> 00:02:57.822
3x gange -1 er -3x.

00:02:57.822 --> 00:03:01.486
Nu skal vi trække det fra.

00:03:01.486 --> 00:03:04.454
Det svarer til almindelig lang division.

00:03:04.454 --> 00:03:06.505
Hvad får vi?

00:03:06.505 --> 00:03:14.002
3x² - 3x², det bliver 0.

00:03:14.237 --> 00:03:18.244
-4x plus, det er nu plus 3x, ikke?

00:03:18.332 --> 00:03:19.720
Minus og minus er plus.

00:03:19.720 --> 00:03:25.272
-4x + 3x er -x.

00:03:25.367 --> 00:03:27.504
-- jeg bruger lige en ny farve --

00:03:27.504 --> 00:03:31.513
Det bliver -x.

00:03:31.513 --> 00:03:35.705
Så trækker vi 7 ned.

00:03:35.705 --> 00:03:40.663
Fuldstændig som da du lærte lang division
i tredje eller fjerde klasse.

00:03:40.663 --> 00:03:42.753
Jeg gangede altså 3x med x -1.

00:03:42.753 --> 00:03:46.801
Jeg får 3x² - 3x,
som jeg trækker fra

00:03:46.801 --> 00:03:49.255
3x² - 4x og jeg får dette.

00:03:49.255 --> 00:03:55.856
Eller du kan sige, jeg trak det
fra hele polynomiet og får -x + 7.

00:03:55.856 --> 00:04:00.211
Hvor mange gange går x -1 op i -x + 7?

00:04:00.458 --> 00:04:04.988
x går op i -x -1 gang.

00:04:04.988 --> 00:04:12.662
-1 gange x er -x.
-1 gange -1 er 1.

00:04:12.662 --> 00:04:18.660
Nu skal vi trække fra og
det bliver vores rest.

00:04:18.660 --> 00:04:26.847
-x - (-x) som er det samme
som -x + x som er 0.

00:04:26.847 --> 00:04:28.879
Så har vi +7 men ikke +1,

00:04:28.879 --> 00:04:31.549
da du har denne negative,
som du ganger ind.

00:04:31.549 --> 00:04:35.880
Det bliver derfor -1 og
7 - 1 er 6.

00:04:35.880 --> 00:04:39.709
Resten er altså 6.

00:04:39.709 --> 00:04:40.982
Man kan sige,

00:04:40.982 --> 00:04:46.742
-- nej det gemmer jeg til en anden video --

00:04:46.797 --> 00:04:50.612
Dette er resten.

00:04:50.612 --> 00:04:51.978
Du får en rest

00:04:51.978 --> 00:04:55.029
-- dette er blot en gennemgang af
lang division med polynomier --

00:04:55.029 --> 00:04:57.128
når du her har en lavere grad her

00:04:57.128 --> 00:05:01.058
-- du kan kalde dette et
nultegradspolynomium --

00:05:01.058 --> 00:05:09.555
dette har en lavere grad end divisoren,
altså end x - 1.

00:05:09.555 --> 00:05:11.911
Dette har en lavere grad,
så det er resten.

00:05:11.911 --> 00:05:15.961
Divisoren går ikke op i det flere gange.

00:05:15.961 --> 00:05:20.048
Ifølge restsætningen for polynomier,

00:05:20.048 --> 00:05:23.798
hvis den er korrekt, og jeg valgte
et tilfældigt eksempel,

00:05:23.798 --> 00:05:27.729
-- dette er ikke et bevis men en
mere håndgribelig måde at vise,

00:05:27.729 --> 00:05:31.996
hvad restsætningen for
polynomier fortæller os --

00:05:31.996 --> 00:05:34.508
Hvis restsætningen er sand,

00:05:34.508 --> 00:05:38.867
så siger den, at f(a) og a er her 1,

00:05:38.867 --> 00:05:44.600
så skulle f(1) være lig med 6,
altså denne rest.

00:05:44.600 --> 00:05:45.555
Lad os tjekke det.

00:05:45.555 --> 00:05:50.277
Det bliver lig med 3 gange 1²,
som er 3.

00:05:50.277 --> 00:05:55.547
-4 gange 1, så det bliver -4 + 7.

00:05:55.547 --> 00:05:59.247
3 - 4 er -1 plus 7 og det er sørme

00:05:59.247 --> 00:06:01.635
-- vi fortjener en lille trommesolo --

00:06:01.635 --> 00:06:04.606
det er sørme 6.

00:06:04.606 --> 00:06:08.512
Det ser altså rigtigt ud,
i hvertfald i denne opgave.

00:06:08.512 --> 00:06:11.035
Det ser ud til at restsætningen
for polynomier virker.

00:06:11.035 --> 00:06:13.601
Det nyttige af dette er, hvis nogen siger

00:06:13.601 --> 00:06:18.431
hvad er resten, hvis jeg dividerer
3x² - 4x + 7 med x -1,

00:06:18.431 --> 00:06:20.335
Hvis de kun er interesseret i resten?

00:06:20.335 --> 00:06:22.093
De er ikke interesseret i kvotienten.

00:06:22.093 --> 00:06:23.619
De vil kun vide, hvad resten er,

00:06:23.619 --> 00:06:27.581
så kan du svarer, du tager a, som her er 1

00:06:27.581 --> 00:06:30.614
og udregner f(1), og du får 6.

00:06:30.614 --> 00:06:32.108
Du behøver ikke lave alt dette.

00:06:32.108 --> 00:06:36.230
Du behøver kun gøre dette
for at finde ud af resten ved

00:06:36.230 --> 00:06:40.710
3x² - 4x + 7 divideret med x - 1.