1
00:00:00,371 --> 00:00:06,277
Her kommer en introduktion til
restsætningen for polynomier,

2
00:00:06,277 --> 00:00:09,315
som nærmest ligner trylleri i starten.

3
00:00:09,315 --> 00:00:12,473
I de næste videoer vil vi bevise den
og se, som med så mange andre

4
00:00:12,473 --> 00:00:16,923
ting i matematik, når du tænker nærmere
over det, så er det ikke helt så mystisk.

5
00:00:16,923 --> 00:00:19,469
Hvad er restsætningen for polynomier?

6
00:00:19,469 --> 00:00:38,717
Hvis vi har polynomiet f(x),
som vi divider med x - a,

7
00:00:39,072 --> 00:00:56,823
så vil resten fra denne lange division
af et polynium være f(a).

8
00:00:56,887 --> 00:00:59,330
Jeg ved det ser lidt abstrakt ud lige nu.

9
00:00:59,330 --> 00:01:02,727
Jeg snakker om f(x)'er og (x - a)'er.

10
00:01:02,727 --> 00:01:05,409
Lad mig gøre det lidt mere konkret.

11
00:01:05,409 --> 00:01:10,409
Lad os sige, at f(x) er lig med

12
00:01:10,455 --> 00:01:13,302
-- nu finder jeg på et
andengradspolynomium --

13
00:01:13,302 --> 00:01:15,176
Dette gælder for alle polynomier.

14
00:01:15,176 --> 00:01:20,618
er lig med 3x² - 4x + 7.

15
00:01:20,618 --> 00:01:25,833
Lad os sige, a er 1.

16
00:01:25,833 --> 00:01:38,647
Vi skal derfor dividere med x -1.

17
00:01:38,647 --> 00:01:44,006
a er altså lig med 1.

18
00:01:44,019 --> 00:01:45,820
Lad os lave lang division.

19
00:01:45,820 --> 00:01:47,665
Sæt videoen på pause.

20
00:01:47,665 --> 00:01:51,722
Hvis lang division med polynomier er nyt
for dig, så prøv at se videoer om emnet,

21
00:01:51,722 --> 00:01:55,223
da jeg antager, at du ved, hvordan
man laver lang division med polynomier.

22
00:01:55,223 --> 00:01:59,477
3x² - 4x + 7 divideret med x -1.

23
00:01:59,477 --> 00:02:04,877
Lad os se, hvilken rest vi får
og om den virkelig svarer til f(1).

24
00:02:04,877 --> 00:02:06,422
Jeg antager, du selv har prøvet.

25
00:02:06,422 --> 00:02:07,978
Lad os løse opgaven sammen.

26
00:02:07,978 --> 00:02:21,478
Lad os dividere 3x² - 4x + 7 med x - 1.

27
00:02:22,134 --> 00:02:26,475
En smule lang division med polynomier
er aldrig en dårlig start på en dag.

28
00:02:26,475 --> 00:02:29,202
Det er morgen hos mig.
Jeg ved ikke, hvad det er hos dig.

29
00:02:29,202 --> 00:02:34,568
Jeg starter med x-leddet,
som er højestegradsleddet,

30
00:02:34,568 --> 00:02:36,585
og jeg starter med højestegradsleddet her.

31
00:02:36,585 --> 00:02:39,453
Hvor mange gange går x op i 3x²?

32
00:02:39,453 --> 00:02:40,951
Det gør det 3x gange.

33
00:02:40,951 --> 00:02:42,573
3x gange x er 3x².

34
00:02:42,573 --> 00:02:49,474
Jeg skriver 3x her på første gradspladsen.

35
00:02:49,620 --> 00:02:53,750
3x gange x er 3x².

36
00:02:53,750 --> 00:02:57,822
3x gange -1 er -3x.

37
00:02:57,822 --> 00:03:01,486
Nu skal vi trække det fra.

38
00:03:01,486 --> 00:03:04,454
Det svarer til almindelig lang division.

39
00:03:04,454 --> 00:03:06,505
Hvad får vi?

40
00:03:06,505 --> 00:03:14,002
3x² - 3x², det bliver 0.

41
00:03:14,237 --> 00:03:18,244
-4x plus, det er nu plus 3x, ikke?

42
00:03:18,332 --> 00:03:19,720
Minus og minus er plus.

43
00:03:19,720 --> 00:03:25,272
-4x + 3x er -x.

44
00:03:25,367 --> 00:03:27,504
-- jeg bruger lige en ny farve --

45
00:03:27,504 --> 00:03:31,513
Det bliver -x.

46
00:03:31,513 --> 00:03:35,705
Så trækker vi 7 ned.

47
00:03:35,705 --> 00:03:40,663
Fuldstændig som da du lærte lang division
i tredje eller fjerde klasse.

48
00:03:40,663 --> 00:03:42,753
Jeg gangede altså 3x med x -1.

49
00:03:42,753 --> 00:03:46,801
Jeg får 3x² - 3x,
som jeg trækker fra

50
00:03:46,801 --> 00:03:49,255
3x² - 4x og jeg får dette.

51
00:03:49,255 --> 00:03:55,856
Eller du kan sige, jeg trak det
fra hele polynomiet og får -x + 7.

52
00:03:55,856 --> 00:04:00,211
Hvor mange gange går x -1 op i -x + 7?

53
00:04:00,458 --> 00:04:04,988
x går op i -x -1 gang.

54
00:04:04,988 --> 00:04:12,662
-1 gange x er -x.
-1 gange -1 er 1.

55
00:04:12,662 --> 00:04:18,660
Nu skal vi trække fra og
det bliver vores rest.

56
00:04:18,660 --> 00:04:26,847
-x - (-x) som er det samme
som -x + x som er 0.

57
00:04:26,847 --> 00:04:28,879
Så har vi +7 men ikke +1,

58
00:04:28,879 --> 00:04:31,549
da du har denne negative,
som du ganger ind.

59
00:04:31,549 --> 00:04:35,880
Det bliver derfor -1 og
7 - 1 er 6.

60
00:04:35,880 --> 00:04:39,709
Resten er altså 6.

61
00:04:39,709 --> 00:04:40,982
Man kan sige,

62
00:04:40,982 --> 00:04:46,742
-- nej det gemmer jeg til en anden video --

63
00:04:46,797 --> 00:04:50,612
Dette er resten.

64
00:04:50,612 --> 00:04:51,978
Du får en rest

65
00:04:51,978 --> 00:04:55,029
-- dette er blot en gennemgang af
lang division med polynomier --

66
00:04:55,029 --> 00:04:57,128
når du her har en lavere grad her

67
00:04:57,128 --> 00:05:01,058
-- du kan kalde dette et
nultegradspolynomium --

68
00:05:01,058 --> 00:05:09,555
dette har en lavere grad end divisoren,
altså end x - 1.

69
00:05:09,555 --> 00:05:11,911
Dette har en lavere grad,
så det er resten.

70
00:05:11,911 --> 00:05:15,961
Divisoren går ikke op i det flere gange.

71
00:05:15,961 --> 00:05:20,048
Ifølge restsætningen for polynomier,

72
00:05:20,048 --> 00:05:23,798
hvis den er korrekt, og jeg valgte
et tilfældigt eksempel,

73
00:05:23,798 --> 00:05:27,729
-- dette er ikke et bevis men en
mere håndgribelig måde at vise,

74
00:05:27,729 --> 00:05:31,996
hvad restsætningen for
polynomier fortæller os --

75
00:05:31,996 --> 00:05:34,508
Hvis restsætningen er sand,

76
00:05:34,508 --> 00:05:38,867
så siger den, at f(a) og a er her 1,

77
00:05:38,867 --> 00:05:44,600
så skulle f(1) være lig med 6,
altså denne rest.

78
00:05:44,600 --> 00:05:45,555
Lad os tjekke det.

79
00:05:45,555 --> 00:05:50,277
Det bliver lig med 3 gange 1²,
som er 3.

80
00:05:50,277 --> 00:05:55,547
-4 gange 1, så det bliver -4 + 7.

81
00:05:55,547 --> 00:05:59,247
3 - 4 er -1 plus 7 og det er sørme

82
00:05:59,247 --> 00:06:01,635
-- vi fortjener en lille trommesolo --

83
00:06:01,635 --> 00:06:04,606
det er sørme 6.

84
00:06:04,606 --> 00:06:08,512
Det ser altså rigtigt ud,
i hvertfald i denne opgave.

85
00:06:08,512 --> 00:06:11,035
Det ser ud til at restsætningen
for polynomier virker.

86
00:06:11,035 --> 00:06:13,601
Det nyttige af dette er, hvis nogen siger

87
00:06:13,601 --> 00:06:18,431
hvad er resten, hvis jeg dividerer
3x² - 4x + 7 med x -1,

88
00:06:18,431 --> 00:06:20,335
Hvis de kun er interesseret i resten?

89
00:06:20,335 --> 00:06:22,093
De er ikke interesseret i kvotienten.

90
00:06:22,093 --> 00:06:23,619
De vil kun vide, hvad resten er,

91
00:06:23,619 --> 00:06:27,581
så kan du svarer, du tager a, som her er 1

92
00:06:27,581 --> 00:06:30,614
og udregner f(1), og du får 6.

93
00:06:30,614 --> 00:06:32,108
Du behøver ikke lave alt dette.

94
00:06:32,108 --> 00:06:36,230
Du behøver kun gøre dette
for at finde ud af resten ved

95
00:06:36,230 --> 00:06:40,710
3x² - 4x + 7 divideret med x - 1.