0:00:00.371,0:00:06.277 Her kommer en introduktion til[br]restsætningen for polynomier, 0:00:06.277,0:00:09.315 som nærmest ligner trylleri i starten. 0:00:09.315,0:00:12.473 I de næste videoer vil vi bevise den[br]og se, som med så mange andre 0:00:12.473,0:00:16.923 ting i matematik, når du tænker nærmere[br]over det, så er det ikke helt så mystisk. 0:00:16.923,0:00:19.469 Hvad er restsætningen for polynomier? 0:00:19.469,0:00:38.717 Hvis vi har polynomiet f(x),[br]som vi divider med x - a, 0:00:39.072,0:00:56.823 så vil resten fra denne lange division[br]af et polynium være f(a). 0:00:56.887,0:00:59.330 Jeg ved det ser lidt abstrakt ud lige nu. 0:00:59.330,0:01:02.727 Jeg snakker om f(x)'er og (x - a)'er. 0:01:02.727,0:01:05.409 Lad mig gøre det lidt mere konkret. 0:01:05.409,0:01:10.409 Lad os sige, at f(x) er lig med 0:01:10.455,0:01:13.302 -- nu finder jeg på et[br]andengradspolynomium -- 0:01:13.302,0:01:15.176 Dette gælder for alle polynomier. 0:01:15.176,0:01:20.618 er lig med 3x² - 4x + 7. 0:01:20.618,0:01:25.833 Lad os sige, a er 1. 0:01:25.833,0:01:38.647 Vi skal derfor dividere med x -1. 0:01:38.647,0:01:44.006 a er altså lig med 1. 0:01:44.019,0:01:45.820 Lad os lave lang division. 0:01:45.820,0:01:47.665 Sæt videoen på pause. 0:01:47.665,0:01:51.722 Hvis lang division med polynomier er nyt[br]for dig, så prøv at se videoer om emnet, 0:01:51.722,0:01:55.223 da jeg antager, at du ved, hvordan[br]man laver lang division med polynomier. 0:01:55.223,0:01:59.477 3x² - 4x + 7 divideret med x -1. 0:01:59.477,0:02:04.877 Lad os se, hvilken rest vi får[br]og om den virkelig svarer til f(1). 0:02:04.877,0:02:06.422 Jeg antager, du selv har prøvet. 0:02:06.422,0:02:07.978 Lad os løse opgaven sammen. 0:02:07.978,0:02:21.478 Lad os dividere 3x² - 4x + 7 med x - 1. 0:02:22.134,0:02:26.475 En smule lang division med polynomier[br]er aldrig en dårlig start på en dag. 0:02:26.475,0:02:29.202 Det er morgen hos mig.[br]Jeg ved ikke, hvad det er hos dig. 0:02:29.202,0:02:34.568 Jeg starter med x-leddet,[br]som er højestegradsleddet, 0:02:34.568,0:02:36.585 og jeg starter med højestegradsleddet her. 0:02:36.585,0:02:39.453 Hvor mange gange går x op i 3x²? 0:02:39.453,0:02:40.951 Det gør det 3x gange. 0:02:40.951,0:02:42.573 3x gange x er 3x². 0:02:42.573,0:02:49.474 Jeg skriver 3x her på første gradspladsen. 0:02:49.620,0:02:53.750 3x gange x er 3x². 0:02:53.750,0:02:57.822 3x gange -1 er -3x. 0:02:57.822,0:03:01.486 Nu skal vi trække det fra. 0:03:01.486,0:03:04.454 Det svarer til almindelig lang division. 0:03:04.454,0:03:06.505 Hvad får vi? 0:03:06.505,0:03:14.002 3x² - 3x², det bliver 0. 0:03:14.237,0:03:18.244 -4x plus, det er nu plus 3x, ikke? 0:03:18.332,0:03:19.720 Minus og minus er plus. 0:03:19.720,0:03:25.272 -4x + 3x er -x. 0:03:25.367,0:03:27.504 -- jeg bruger lige en ny farve -- 0:03:27.504,0:03:31.513 Det bliver -x. 0:03:31.513,0:03:35.705 Så trækker vi 7 ned. 0:03:35.705,0:03:40.663 Fuldstændig som da du lærte lang division[br]i tredje eller fjerde klasse. 0:03:40.663,0:03:42.753 Jeg gangede altså 3x med x -1. 0:03:42.753,0:03:46.801 Jeg får 3x² - 3x,[br]som jeg trækker fra 0:03:46.801,0:03:49.255 3x² - 4x og jeg får dette. 0:03:49.255,0:03:55.856 Eller du kan sige, jeg trak det[br]fra hele polynomiet og får -x + 7. 0:03:55.856,0:04:00.211 Hvor mange gange går x -1 op i -x + 7? 0:04:00.458,0:04:04.988 x går op i -x -1 gang. 0:04:04.988,0:04:12.662 -1 gange x er -x.[br]-1 gange -1 er 1. 0:04:12.662,0:04:18.660 Nu skal vi trække fra og[br]det bliver vores rest. 0:04:18.660,0:04:26.847 -x - (-x) som er det samme[br]som -x + x som er 0. 0:04:26.847,0:04:28.879 Så har vi +7 men ikke +1, 0:04:28.879,0:04:31.549 da du har denne negative,[br]som du ganger ind. 0:04:31.549,0:04:35.880 Det bliver derfor -1 og[br]7 - 1 er 6. 0:04:35.880,0:04:39.709 Resten er altså 6. 0:04:39.709,0:04:40.982 Man kan sige, 0:04:40.982,0:04:46.742 -- nej det gemmer jeg til en anden video -- 0:04:46.797,0:04:50.612 Dette er resten. 0:04:50.612,0:04:51.978 Du får en rest 0:04:51.978,0:04:55.029 -- dette er blot en gennemgang af[br]lang division med polynomier -- 0:04:55.029,0:04:57.128 når du her har en lavere grad her 0:04:57.128,0:05:01.058 -- du kan kalde dette et[br]nultegradspolynomium -- 0:05:01.058,0:05:09.555 dette har en lavere grad end divisoren,[br]altså end x - 1. 0:05:09.555,0:05:11.911 Dette har en lavere grad,[br]så det er resten. 0:05:11.911,0:05:15.961 Divisoren går ikke op i det flere gange. 0:05:15.961,0:05:20.048 Ifølge restsætningen for polynomier, 0:05:20.048,0:05:23.798 hvis den er korrekt, og jeg valgte[br]et tilfældigt eksempel, 0:05:23.798,0:05:27.729 -- dette er ikke et bevis men en[br]mere håndgribelig måde at vise, 0:05:27.729,0:05:31.996 hvad restsætningen for[br]polynomier fortæller os -- 0:05:31.996,0:05:34.508 Hvis restsætningen er sand, 0:05:34.508,0:05:38.867 så siger den, at f(a) og a er her 1, 0:05:38.867,0:05:44.600 så skulle f(1) være lig med 6,[br]altså denne rest. 0:05:44.600,0:05:45.555 Lad os tjekke det. 0:05:45.555,0:05:50.277 Det bliver lig med 3 gange 1²,[br]som er 3. 0:05:50.277,0:05:55.547 -4 gange 1, så det bliver -4 + 7. 0:05:55.547,0:05:59.247 3 - 4 er -1 plus 7 og det er sørme 0:05:59.247,0:06:01.635 -- vi fortjener en lille trommesolo -- 0:06:01.635,0:06:04.606 det er sørme 6. 0:06:04.606,0:06:08.512 Det ser altså rigtigt ud,[br]i hvertfald i denne opgave. 0:06:08.512,0:06:11.035 Det ser ud til at restsætningen[br]for polynomier virker. 0:06:11.035,0:06:13.601 Det nyttige af dette er, hvis nogen siger 0:06:13.601,0:06:18.431 hvad er resten, hvis jeg dividerer[br]3x² - 4x + 7 med x -1, 0:06:18.431,0:06:20.335 Hvis de kun er interesseret i resten? 0:06:20.335,0:06:22.093 De er ikke interesseret i kvotienten. 0:06:22.093,0:06:23.619 De vil kun vide, hvad resten er, 0:06:23.619,0:06:27.581 så kan du svarer, du tager a, som her er 1 0:06:27.581,0:06:30.614 og udregner f(1), og du får 6. 0:06:30.614,0:06:32.108 Du behøver ikke lave alt dette. 0:06:32.108,0:06:36.230 Du behøver kun gøre dette[br]for at finde ud af resten ved 0:06:36.230,0:06:40.710 3x² - 4x + 7 divideret med x - 1.