이 강의에서는
소수가 의미하는 바에 대하여 얘기해 봅시다
소수에 대해 정의를 이해하고
연습을 통하여 수학이 정교한 개념인
소수에 의해 이루어진 것이라는 것을
또한 암호 작성의 개념을 포함한다는 것을,
심지어 지금 사용하는 컴퓨터의
부호매김도 소수를 이용하고 있다는 것을
부호매김이 무엇인지 몰라도
걱정할 필요는 없습니다
하지만 소수는 잘 알아야 합니다
소수의 정의에 대해 알아봅시다
정의는 좀 혼동이 될 수도 있는데
예제와 함께 보시면 아주 쉬워질 것입니다
소수란 그 수가 자연수이면서
1, 2, 또는 3 등
그리고 양의 정수로서
두 개의 자연수로만 나누어지는 것입니다
자기 자신과 1로만 나누어지는 수
이것이 소수입니다
예를 몇 개를 풀어 보겠습니다
어떤 수가 소수인지 알아볼까요?
가장 작은 자연수부터 시작해보겠습니다
1부터 볼까요?
"1 은 1로 나누어집니다."
"1 은 그 자신으로도 나누어집니다" "아하! 1 은 소수이구나?"
하지만 정의에서 두 개의 자연수라고 했습니다
1 은 하나의 자연수이므로
1은 소수인 것 같지만, 소수가 아닙니다
2를 볼까요?
2 는 1 과 2 로 나누어집니다 다른 자연수로는 나눌 수 없습니다
조건에 맞는 것 같습니다
2 는 정확히 두 개의 자연수로 나누어집니다
그 자신과 1 그래서 2 는 소수입니다
소수에는 동그라미를 하겠습니다
2 는 재미있는데 왜냐하면
2 는 짝수 중에서 유일한 소수이기 때문입니다
생각해보면 다른 짝수들은
모두 2로도 나누어집니다 그래서 소수가 될 수 없습니다
앞으로의 강의에서 좀 더 생각해보겠습니다
3 을 해봅시다 3 은 확실히 1 과 3 으로 나누어집니다
그리고 그 사이의 어떤 수로도 나누어지지 않습니다
2로 나누어지지 않습니다 그래서 3 은 소수입니다
4 를 해봅시다
4 는 확실히 1 과 4로 나누어집니다
4는 2 로도 나눌 수 있습니다
총 3 개의 자연수로 나눌 수 있습니다 1, 2, 그리고 4.
그래서 소수의 조건에 맞지 않습니다
5 를 해 봅시다
5 는 당연히 1 로 나누어지고,
2, 3, 또는 4 로는 나누어지지 않습니다
5 를 4로 나눌 수는 있지만, 이 경우 나머지가 남습니다
그리고 명백히 5 로도 나눌 수 있습니다
그래서 다시 한 번, 5 는 정확히 1과 5로만 나누어집니다
그래서 다시 한 번, 5 는 소수입니다
여기에 어떤 규칙이 있는지를 알 수 있는데
아주 어려운 것을 해 볼려고 하는데요
6 을 해 봅시다
6 은 1, 2, 3, 그리고 6 으로 나누어집니다
그래서 6은 4 개의 자연수를 약수로 가지고 있습니다.
여러분이 이렇게 말씀하시는 것으로 추측합니다.
그래서 6 을 나눌 수 있는 수는 정확히 두 개가 아니고
4 개 입니다 그래서 소수가 아닙니다
7을 보겠습니다
7 은 1 로 나누어지고, 2, 3, 4, 5, 6 으로는 안 나누어집니다
하지만 7 로는 나누어집니다
그래서 7 은 소수입니다 일반화 할 수 있겠나요?
얼마나 많은 자연수, 1, 2, 3, 4, 5, 와 같은 자연수를
아주 어렸을 때 배운 수 중
0 을 포함하지 않고, 음수를 포함하지 않고,
분수나 무리수를 포함하지 않고
소수점이 있는 수와 모든 다른 것을 포함하지 않고
보통의 양수만을 고려한다면요
그 많은 수 중에 오직 두 개,
그 자신과 1 만으로 나누어진다면
그 것은 소수입니다
그리고 제가 생각하는 방법은,
특별한 경우인 1 을 생각하지 않는다면,
소수는 수를 만드는 벽돌과 같은 것입니다
소수를 더 이상 나눌 수 없습니다
그 것은 마치 원자와도 같습니다
원자가 무엇인지 생각해본다면
또는 사람들이 원자에 대해 생각하는 것은 처음에
이러한 원자는
더 이상 나눌 수 없다고 생각했습니다
지금은 원자를 나눌 수 있어서
원자 폭탄을 만들 수도 있지만
하지만 이론적으로 소수와 같은 개념입니다
더 작은 자연수의 곱으로 나눌 수 없습니다
6 같은 수는, 6 은 2 x 3 라고 표현할 수 있고
또 분리할 수 있고, 유의하여야 할 것은, 소수의 곱으로
소수의 곱으로 분리할 수 있다는 것입니다
약수로 분해를 하였습니다
7 은 더 이상 분해가 되지 않습니다
7 은 1 x 7 이라고만 할 수 있습니다
그리고 이 경우 실제로 분해를 한 것은 아닙니다
거기에 7 이 다시 있습니다
6 은 실제로 분해를 할 수 있습니다.
4 는 실제로 2 x 2 로 분해 할 수 있습니다
이러한 생각으로 여기에서 벗어나서
좀 큰 수를 생각해 보겠습니다
이러한 큰 수가 소수인지를
16을 해 보겠습니다
모든 자연수는 명확히 1 과 그 자신으로 나누어집니다
그래서 16 은 1 과 16 으로 나누어집니다
그래서 2 부터 시작해 봅시다
이 이외에 나눌 수 있는 수를 찾아낸다면
소수가 아닐 것입니다
16 에 대하여는 2 x 8 이 있습니다
4 x 4 도 되구요
많은 약수가 있는데요?
1 과 16 사이에요
그래서 16 은 소수가 아닙니다 17은 어떨까요?
당연히 1 과 17 로 17 을 나눌 수 있습니다
2 로는 17을 나눌 수 없고, 3 도 그렇고, 4, 5, 6, 7, 8...
이 들 중 어떤 수도, 1 과 17 사이의 어떤 수도
17을 나눌 수 없어서 17은 소수입니다
어려운 문제를 드리겠습니다
많은 사람이 어려워하는 문제입니다
51 은 어떻습니까? 51 은 소수입니까?
흥미가 있으시다면 이 강의를 잠깐 멈추고
스스로 51이 소수인지를
먼저 생각해 봅시다
1 과 51 이외의 어떤 다른 수를 찾아 낼 수 있다면
51을 나눌 수 있는 수를요
좀 이상한 수 같은데요
소수라고 생각할려고 하는 경향이 있는데
답을 알려드리겠습니다
소수가 아닙니다 왜냐하면 3 과 17 로 나누어지기 때문입니다
3 x 17 은 51 입니다
이제 소수가 무엇인지에 대하여
잘 이해했기를 바라며
다음 강의에서는 연습을 좀 더 하고
문제를 더 풀 수 있기를 바랍니다