WEBVTT

00:00:01.370 --> 00:00:03.367
Dans cette vidéo, je vais vous parler un peu

00:00:03.367 --> 00:00:07.500
des nombres premiers.

00:00:07.500 --> 00:00:10.094
Avec cette vidéo, vous allez vous rendre compte

00:00:10.110 --> 00:00:12.608
que c'est un concept vraiment simple.

00:00:12.608 --> 00:00:15.302
Mais lors de votre parcours en mathématiques,

00:00:15.302 --> 00:00:17.601
vous verrez qu'il y a des concepts assez sophistiqués

00:00:17.601 --> 00:00:20.712
qui sont construits autour de l'idée des nombres premiers,

00:00:20.712 --> 00:00:23.359
la cryptographie par exemple.

00:00:23.359 --> 00:00:25.612
Une partie de l'encodage de votre ordinateur

00:00:25.612 --> 00:00:28.026
utilise peut-être sur les nombres premiers.

00:00:28.026 --> 00:00:29.931
Si vous ne savez pas ce qu'est un encodage,

00:00:29.931 --> 00:00:31.718
ne vous en faites pas,

00:00:31.718 --> 00:00:33.785
vous devez seulement retenir que les nombres premiers

00:00:33.785 --> 00:00:36.966
sont assez importants.
Je vais vous donner la définition,

00:00:36.966 --> 00:00:39.404
qui va peut-être un peu vous embrouiller,

00:00:39.404 --> 00:00:43.839
mais lorsque nous verrons les exemples, tout va s'éclairer.

00:00:43.839 --> 00:00:49.946
Un nombre premier est un entier naturel -

00:00:49.946 --> 00:00:57.794
par exemple, 1 ; 2 ou 3 ;
(les chiffres que l'on compte à partir de 1),

00:00:57.794 --> 00:01:00.488
et que l'on appelle aussi "les entiers positifs" -

00:01:00.488 --> 00:01:30.962
un nombre naturel uniquement divisible
par deux nombres naturels: lui-même et 1.

00:01:30.962 --> 00:01:39.823
Il n'est divisible que par ces deux nombres.

00:01:39.823 --> 00:01:43.468
Si ça ne vous semble pas clair,
prenons quelques exemples.

00:01:43.468 --> 00:01:46.115
Déterminons si des nombres sont premiers ou pas.

00:01:46.115 --> 00:01:48.948
Commençons donc avec l'entier naturel le plus petit.

00:01:48.948 --> 00:01:52.268
Le chiffre 1.
Vous vous dites que 1 est divisible par 1,

00:01:52.268 --> 00:01:59.095
et qu'il est divisible par lui-même,
donc que c'est un nombre premier.

00:01:59.095 --> 00:02:02.137
Mais, souvenez-vous, d'après la définition,
un nombre premier doit être divisible

00:02:02.137 --> 00:02:07.803
par exactement deux entiers naturels.
1 est divisible par un seul entier naturel : 1.

00:02:07.803 --> 00:02:16.673
Donc, malgré les apparences,
1 n'est pas un nombre premier.

00:02:16.673 --> 00:02:20.504
Continuons avec 2.

00:02:20.504 --> 00:02:28.102
2 est divisible par 1 et par 2, et par aucun autre entier naturel.

00:02:28.102 --> 00:02:30.906
Il a l'air de remplir nos conditions.

00:02:30.906 --> 00:02:33.948
Il est divisible par exactement deux entiers naturels.

00:02:33.948 --> 00:02:42.238
Lui-même et 1. Donc le nombre 2 est premier.

00:02:42.238 --> 00:02:52.849
Je vais entourer les nombres qui sont premiers.

00:02:52.849 --> 00:02:55.334
Le chiffre 2 est intéressant parce que

00:02:55.334 --> 00:02:57.818
c'est le seul nombre pair qui est premier.

00:02:57.818 --> 00:03:00.396
Si vous y réfléchissez, tous les autres nombres pairs

00:03:00.396 --> 00:03:03.620
sont aussi divisibles par 2, et ne sont donc pas premiers.

00:03:03.620 --> 00:03:06.688
Nous y reviendrons dans d'autres vidéos.

00:03:06.688 --> 00:03:13.144
Essayons avec 3. 3 est certainement divisible par 1 et par 3

00:03:13.144 --> 00:03:15.651
et il n'est pas divisible par un autre chiffre entre ces deux-là :

00:03:15.651 --> 00:03:20.272
il n'est pas divisible par 2.
Donc, 3 est un nombre premier.

00:03:20.272 --> 00:03:25.264
Essayons 4.

00:03:25.264 --> 00:03:29.676
4 est tout à fait divisible par 1 et par 4

00:03:29.676 --> 00:03:36.224
mais il est aussi divisible par 2.
Donc, 4 est divisible

00:03:36.224 --> 00:03:40.311
par trois entiers naturels : 1 ; 2 et 4.

00:03:40.311 --> 00:03:44.723
Donc il ne remplit pas les conditions pour être premier.

00:03:44.723 --> 00:03:48.252
Essayons 5.

00:03:48.252 --> 00:03:51.015
5 est divisible par 1.

00:03:51.015 --> 00:03:57.842
Il n'est pas divisible par 2 ; 3 ou 4 -

00:03:57.842 --> 00:04:01.209
on peut diviser 5 par 4, mais on obtient un reste.

00:04:01.209 --> 00:04:05.133
Et il est divisible par 5, évidemment.

00:04:05.133 --> 00:04:10.265
Donc, 5 est divisible par exactement deux entiers naturels :
1 et 5.

00:04:10.265 --> 00:04:14.235
Donc, 5 est un nombre premier.
Continuons,

00:04:14.235 --> 00:04:17.393
pour voir si nous pouvons trouver un modèle

00:04:17.393 --> 00:04:19.924
et ensuite, j'essaierai avec un nombre difficile,

00:04:19.924 --> 00:04:26.031
sur lequel on se trompe souvent.
Continuons donc avec 6.

00:04:26.031 --> 00:04:34.622
Il est divisible par 1 ; 2 ; 3 et 6.

00:04:34.622 --> 00:04:37.595
Donc, il a quatre nombres naturels "facteurs",

00:04:37.595 --> 00:04:40.033
je pense qu'on peut le dire de cette façon.

00:04:40.033 --> 00:04:43.005
Il n'est pas uniquement divisible par deux nombres,

00:04:43.005 --> 00:04:46.743
mais par quatre, donc il n'est pas premier.

00:04:46.743 --> 00:04:49.715
Passons à 7.

00:04:49.715 --> 00:04:55.869
7 est divisible par 1 ; mais pas par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6.

00:04:55.869 --> 00:05:00.791
Il est par contre divisible par 7.

00:05:00.791 --> 00:05:03.624
Donc, 7 est un nombre premier.
Je pense que vous avez saisi l'idée générale.

00:05:03.624 --> 00:05:06.689
On considère les entiers naturels,
des chiffres comme 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;

00:05:06.689 --> 00:05:09.383
ceux qu'on apprend à deux ans,

00:05:09.383 --> 00:05:11.681
sans compter le 0, sans compter les nombres négatifs,

00:05:11.681 --> 00:05:13.980
sans compter les fractions, ni les nombres irrationnels,

00:05:13.980 --> 00:05:15.768
les nombres décimaux et tous les autres,

00:05:15.768 --> 00:05:18.578
uniquement les entiers positifs que l'on compte.

00:05:18.578 --> 00:05:21.318
Si un nombre n'est divisible que par deux d'entre eux,

00:05:21.318 --> 00:05:23.733
s'il n'est divisible que par lui-même et par 1,

00:05:23.733 --> 00:05:25.544
c'est un nombre entier.

00:05:25.544 --> 00:05:27.192
D'une autre manière,

00:05:27.192 --> 00:05:29.607
si on oublie le cas particulier qu'est le 1,

00:05:29.607 --> 00:05:31.604
les nombres premiers sont
les blocs de construction des nombres :

00:05:31.604 --> 00:05:33.299
on ne peut pas les casser en blocs plus petits.

00:05:33.299 --> 00:05:34.809
Presque comme des atomes.

00:05:34.809 --> 00:05:36.285
Si vous réfléchissez à ce qu'est un atome,

00:05:36.285 --> 00:05:38.111
ou à ce que les gens pensaient
lorsqu'ils ont inventé le concept d'atomes...

00:05:38.111 --> 00:05:39.991
ils pensaient que les atomes étaient ces choses

00:05:39.991 --> 00:05:41.890
indivisibles.

00:05:41.890 --> 00:05:43.986
Nous savons maintenant que nous pouvons
casser les atomes,

00:05:43.986 --> 00:05:46.475
ce qui peut donner une explosion nucléaire.

00:05:46.475 --> 00:05:49.655
Mais c'est la même idée derrière les nombres premiers :

00:05:49.655 --> 00:05:52.618
on ne peut pas les décomposer

00:05:52.618 --> 00:05:57.402
en produits de nombres naturels plus petits.

00:05:57.402 --> 00:06:01.256
Pour 6, on sait que 6 = 3 x 2,

00:06:01.256 --> 00:06:03.717
on peut le décomposer,

00:06:03.717 --> 00:06:06.411
en produit de deux nombre premiers.

00:06:06.411 --> 00:06:08.872
En quelque sorte, nous l'avons mis en pièces.

00:06:08.872 --> 00:06:11.217
7 ne peut plus être décomposé.

00:06:11.217 --> 00:06:14.817
Tout ce qu'on peut dire c'est que 7 = 1 x 7.

00:06:14.817 --> 00:06:16.930
Et, dans ce cas, on ne l'a pas vraiment décomposé.

00:06:16.930 --> 00:06:19.066
Le 7 est toujours là.

00:06:19.066 --> 00:06:20.877
On peut décomposer 6.

00:06:20.877 --> 00:06:23.965
4 se décompose en 2 x 2.

00:06:23.965 --> 00:06:25.800
Maintenant que nous avons vu cela,

00:06:25.800 --> 00:06:27.425
passons à des nombres plus grands,

00:06:27.425 --> 00:06:30.072
et voyons si ce sont des nombres premiers.

00:06:30.072 --> 00:06:34.902
Essayons avec 16.

00:06:34.902 --> 00:06:38.872
De toute évidence, tous les entiers naturels
sont divisibles par 1 et par eux-mêmes.

00:06:38.872 --> 00:06:42.262
Donc, 16 est divisible par 1 et 16.

00:06:42.262 --> 00:06:44.143
On va voir s'il est divisible par 2.

00:06:44.143 --> 00:06:46.071
Si on trouve un autre nombre pour le décomposer,

00:06:46.071 --> 00:06:48.207
c'est qu'il n'est pas premier.

00:06:48.207 --> 00:06:51.109
16 = 2 x 8.

00:06:51.109 --> 00:06:53.362
16 = 4 x 4.

00:06:53.362 --> 00:06:55.451
Il a beaucoup de facteurs,

00:06:55.451 --> 00:06:57.588
en plus de 1 et 16.

00:06:57.588 --> 00:07:02.278
Donc,16 n'est pas un nombre premier.
Et 17 ?

00:07:02.278 --> 00:07:06.411
1 et 17 peuvent diviser 17,

00:07:06.411 --> 00:07:10.846
mais pas 2, ni 3, ni 4... ni 11, ni rien jusqu'à 16.

00:07:10.846 --> 00:07:14.701
Aucun de ces nombres. Rien, entre 1 et 17.

00:07:14.701 --> 00:07:21.086
Pas d'autre facteurs, donc 17 est un nombre premier.

00:07:21.086 --> 00:07:23.803
Et maintenant, un cas difficile.

00:07:23.803 --> 00:07:26.822
Presque tout le monde se trompe.

00:07:26.822 --> 00:07:34.345
Qu'en est-il de 51 ? Est-ce que 51 est nombre premier ?

00:07:34.345 --> 00:07:37.480
Si vous voulez,
vous pouvez mettre la vidéo en pause,

00:07:37.480 --> 00:07:39.500
et essayer de découvrir par vous-même

00:07:39.500 --> 00:07:41.520
si 51 est un nombre premier.

00:07:41.520 --> 00:07:45.142
Si vous trouvez un nombre autre que 1 et 51

00:07:45.142 --> 00:07:48.161
par lequel 51 est divisible.

00:07:48.161 --> 00:07:50.042
Ce nombre est bizarre.

00:07:50.042 --> 00:07:52.340
On dirait que c'est un nombre premier,

00:07:52.340 --> 00:07:54.268
mais je vais vous donner la solution :

00:07:54.268 --> 00:07:59.933
il n'est pas premier car il est également divisible par 3 et 17.

00:07:59.933 --> 00:08:02.998
3 x 17 = 51.

00:08:02.998 --> 00:08:04.779
J'espère que cette vidéo vous a éclairé

00:08:04.779 --> 00:08:06.388
sur ce que sont les nombres premiers.

00:08:06.388 --> 00:08:09.407
Nous allons vous proposer de vous entraîner

00:08:09.407 --> 99:59:59.999
dans d'autres vidéos et dans nos exercices.