전에 피타고라스의 정리에 대해 더 알려드리겠다고 약속했어요
그래서 오늘 몇 가지 피타고라스 정리 예시문제를 더 풀어 볼게요
모두 문제를 풀어보는 활동입니다
삼각형 하나가 있습니다 못난이 직각삼각형이네요
다른 걸 그려볼게요 이번에도 못난 그림이네요
밑변의 길이가 7이고 높이의 길이가 6일때
이 변 의 길이를 구해보려고 해요
지난번 동영상에서 배웠죠
변들 중 어느 변이 빗변일까요?
여기 직각이 있고요
직각의 반대편에 있는 변이 빗변입니다
우리가 할 것은
빗변의 길이를 알아내는 것이죠
6제곱 더하기 7제곱은
빗변의 제곱과 같다는 것을 알고 있습니다
피타고라스 정리에서 빗변은 c로 나타내므로
우리도 c를 사용하여 빗변을 나타낼게요
36 더하기 49는 c제곱과 같습니다
85는 c의 제곱이고요
또는 루트 85가 c라고도 말할 수 있습니다
이 부분이 많은 사람들이 헷갈리는 부분인데
사실은 루트를 간단하게 하는 과정이죠
85를 인수분해시켜서
완전제곱수와 다른 수로 떨어지게 할 수 있을까요?
85는 4로 나누어떨어지지 않습니다
그러므로 16 이나 다른 4의 배수들로 나누어 떨어지지 않죠
85안에 5가 몇 번 들어가죠?
5로 나누는 것도 완전제곱수를 만들어 내지 못하네요
85는 더 이상의 수들을
완전제곱수와 다른 수로 만들어 루트 밖으로 꺼낼 수 없을 것 같아요
여러분이 고쳐줄게 있으시다면 제가 틀렸을 수도 있어요
여러분께는 나중을 대비해 좋은 연습이 되겠지만
저는 이미 답이 나온 것을 압니다
답은 그냥 루트 85이죠
어림해서 계산해 보고 싶었다면
한번 생각해 보세요 루트 81은 9이고요
루트 100은 10입니다 그러니까 9와 10 사이 어디쯤 있는 수겠네요
10보다는 9에 좀 더 가까울 것 같아요
9.몇몇몇이 되겠네요
실제로 하면 이렇게 됩니다 말이 되죠
이 변의 길이가 6이라면 이 변은 7이고 이 변은 9점 몇이에요
9.몇몇몇 정도가 빗변의 길이일 거에요
다른 예시문제를 하나 낼게요
이 변의 길이가 10이고
이 변의 길이가 3이라고 해 봅시다
이 변의 길이는 무엇일까요?
먼저 빗변을 알아내어 볼게요
여기 직각이 있고 빗변은
직각의 반대편에 있는 각이므로 이 변이 빗변이자 가장 긴 변이에요
길이는 10이죠
10제곱은 변들의 제곱을 더한 값과 같아요
빗변을 제외한 두 변들을요
여기는 3제곱과 같겠네요 이 변을 A라고 할게요
아무 문자나 고르세요
더하기 A제곱
100은 9더하기 A제곱이고
또는 A제곱은 100-9와 같아요
A제곱=91 이고요
더 이상 루트를 간단하게 만들수 없을 것 같네요
91은 3으로 나누어 떨어지지 않고요
91은 소수일까요?
잘 모르겠네요
아무튼 간에, 이 문제는 해결 되었어요
다른 문제를 내볼게요 이번에는
조금 더 어렵게 만들 다른 단계가 있는 문제를 낼 거에요
왜냐하면 여러분이 이제 문제를 너무 쉽게 풀 수 있기 때문이에요
삼각형이 있다고 해 봅시다
다시한번 직각삼각형에 관련된 문제를 풀 거에요
그리고 여러분은 문제에서 다루는 것이 직각삼각형이 아닌 이상
피타고라스의 정리를 사용하지 않을 거에요
그러나 이 예시는 직감삼각형을 다루고 있어요
이 변의 길이가 5이고
이 각의 크기가 45도라면
나머지 두 변의 길이를 알아 낼 수 있을까요?
이 상황에서 바로 피타고라스의 정리를 사용할 수는 없어요
왜냐하면 피타고라스의 정리는
직각삼각형에서 두 변의 길이를 알 때
나머지 한 변의 길이를 알아내는 법을 말해 주기 때문이죠
이 도형은 직각삼각형이지만
오직 한 변의 길이만을 우리는 알고 있어요
그래서 지금은 다른 두 변의 길이를 바로 알아낼 수가 없지요
그러나 주어진 다른 조건, 각의 크기가 45도임을 이용한다면
다른 변의 길이를 알아 낼 수 있고
피타고라스의 정리를 사용할 수도 있죠
삼각형의 각들은
모두 더해서 180도가 됩니다
여러분은 삼각형의 각을 모두 더하면
180도라는 사실을 알고 있겠지요
만약 모르신다면 여러분에게 이 사실을 아직 가르쳐 주지 않은
저의 잘못입니다
자 이제는
이 삼각형의 각들을 더해서 몇 도가 되는지 알아내어 봅시다
제 말은 더해서 180이 되지만 이 사실을 이용해
삼각형의 각이 무엇인지 알아 낼 수 있다는 거에요
이 각의 90도고 이 각의 45도입니다
이 각을 x라 합시다
45+90... 이건 그냥 90도를 상징합니다
45+90+x=180도입니다
이것은 삼각형의 각들을
더했을 때 항상 180이기 때문이죠
x를 풀면 135+x=180이 됩니다
양변에서 135를 빼면
x는 45도라는 답이 나오지요
흥미롭네요
x또한 45도였습니다
그러므로 이 삼각형은 90도인 각과 45도인 각을 두 개 가지고 있습니다
이제 저는 하나의 정리를 가르쳐 줄 건데
이 정리는 (피타고라스의 정리처럼) 종교의 창시자의 이름을 따
이름 붙여진 정리가 아닙니다
사실 이 정리를 나타내는 이름이 있는지도 잘 모르겠네요
그리고 이 사실은 하나의 삼각형이 더 있다면..
다른 삼각형을 그려 볼게요
두 밑각의 크기가 같은 삼각형이고요
밑각은 a라고 나타내어 봅시다
두 각 모두 a이고 두 각이 공유하는 변이 아닌 것은..
이 변은 두 각들이 공유하는 변이죠?
공유하는 변이 아닌 변은
우리는 그 변들의 길이가 같다는 사실을 압니다
기하 수업시간에 이걸 뭐라 부르는지 잊어 버렸네요
다른 영상에서 알려 드리도록 하겠습니다
여러분에게요
그러나 정리의 이름이 뭔지 알지 않아도
이러한 표시를 할 수 있었습니다
말이 되지요? 제가 말하지 않아도 여러분은 다 아실 거에요
이 각들 중 하나를 바꾼다면
변의 길이 또한 바뀔 거에요
다른 방법으로 생각해 보면
...너무 혼란스럽게 하는 것 같네요
그러나 시각적으로 이 두 변의 길이가 같다면
각의 크기 또한 같을 거에요
변의 길이 하나를 바꾸었다면 각의 크기도
바뀌거나, 더 이상 크기가 같은 각이 존재하지 않게 되겠죠
생각은 여러분에게 맡길게요
그러나 지금은 제 말만 기억해 두세요
삼각형의 두 각의 크기가 서로 같다면
서로 공유하는 변(밑변) 이 아닌 두 변의 길이가 서로 같죠
기억해 두는 것이 좋습니다 서로 공유하는 변이 아니라면
그 변의 길이는 다른 변과 길이가 같지 않을 거에요
서로 공유하는 변이 아닌 변이 길이가 같은 두 변입니다
여기 크기가 같은 두 각이 있는 삼각형이 있습니다
둘 다 45도이죠
이것이 의미하는 것은 서로 공유하지 않는 변,
...이 변은 공유하는 변이죠
이 변을 공유하는 각이 2개이기 때문에요... 이것이 의미하는 건
공유하지 않는 두 변의 길이가 같다는 거에요
그래서 이 변은 이 변과 길이가 같죠
제 생각에는
여러분이 지금 '아'하고 뭔가 깨달았을 것 같네요
이 변은 이 변과 길이가 같고
이 문제를 시작했을 때 제가 이 변의 길이가 5라고 했으니
이 변의 길이도 5인 것을 아시겠죠
이제 피타고라스의 정리를 쓸 수 있어요
이 변이 빗변인 것은 아시지요
5제곱 + 5제곱=
..C가 빗변의 길이라 했을 때
5제곱 더하기 5제곱은
C제곱과 같아요
C는 루트 50과 같고
50은 2 X 25이므로 C=5루트 2 입니다
흥미롭지요
제가 여러분에게 많은 것들을 가르쳐 준 것 같네요
헷갈리신다면 영상을 한번 다시 돌려봐도 좋습니다
다음 영상에서는
이렇게 생긴 삼각형에 대해 더 많은 것들을 알려 드릴게요
사실 이 도형은 기하학에서 아주 많이 볼 수 있는 도형입니다
45,45,90 삼각형의 삼각비에서도요
그렇게 부르는 이유가 말이 되는 것은
그 삼각형이 45,45,90도의 각을 가졌기 때문이에요
그리고 그 45,45,90도를 이용해
한 변이 주어졌을 때 다른 조건을 구하는
아주 빠른 방법을 알려드릴게요
제가 여러분에게 가르쳐 준 것이 어렵지 않았으면 좋겠고
다음 영상에서 또 만나길 기대할게요
다음에 봅시다