Дадено ни е, че f(х) е равно на сумата
от членовете на безкраен ред и трябва да намерим
трета производна от f, изчислена за х = 0.
Както винаги, спри видеото на пауза и опитай
самостоятелно, преди да го направим заедно.
Има два начина да подходим.
Единият е просто да намерим производната
на този израз, докато е записан под знака за сума.
Другият начин е да развием f(х)
и да намерим производната три пъти,
и да преценим дали получаваме смислен отговор.
Първо ще го направя по втория начин.
Ще развия този израз.
f(х) е равно, да видим, когато n е равно на 0,
това е –1 на степен нула, което е просто 1,
по х на степен 0 + 3,
което е равно на х^3
върху 2 пъти по нула, значи 0 + 1!,
значи просто върху 1.
Следващият член, когато n = 1,
сега това е –1 на първа степен,
значи отпред имаме знак минус.
Минус, и ще бъде 2 по 1 + 3,
значи това е х на пета степен,
върху две по едно плюс едно, това ще стане 2 + 1 = 3!
Значи става х^5/6.
Когато х е равно на 2,
тук ще имаме положителен знак,
това става х^7 върху 5!
Така ли е? Да.
5!...
Всъщност ще го напиша просто като 5!
5! е равно на 120.
Това е равно на 5 по 4 по 6, значи е 120.
Това редуване на знаците може да продължи,
продължава до безкрайност.
Сега да намерим производните.
f'(х) ще бъде равно на...
правилото за производна от степен –
става 3х^2
–5/6х^4 + 7
върху 5! по х^6,
просто прилагам правилото за производна от степен,
минус, плюс, и продължаваме така до безкрай.
Втората производна, f''(х) ще бъде равна на –
прилагаме отново правилото за производна от степен.
Ще бъде 6х^1 минус 4 по 5/6,
ще го запиша като 20/6 по х^3,
плюс 6 по 7, това е 42, върху 5!
х^5, и можем да продължим нататък.
минус, плюс, редуваме знаците между минус нещо,
плюс нещо, до безкрайност.
Стигаме до третата производна.
Третата производна е равна на...
да видим, производната на 6х е 6,
после имаме 20 по 3 е 60/6,
което, разбира се, е 10х^2,
плюс 5 по 42, това е колко, 210 върху 5!
по х^4, минус, плюс,
отново и отново, и после
просто ще сметнем това за нула.
f""(0), добре – когато х е равно на 0,
всички тези членове с хиксове ще бъдат нули,
и тук остава само 6.
Значи f''', третата производна, изчислена за нула,
е просто равно на 6.
Другият начин, по който можем да решим това,
е като оставим това под знака сигма.
Можем да кажем, че това f'(х) е равно на
безкрайната сума, и реално, ще го подчертая.
Това е, когато развихме f'(х),
но можехме да кажем, че f'(х) е равно на сумата
за n от нула до безкрайност,
и първо намираме производната,
ще получим, намираме производната
по отношение на х, за тази цел
приемаме, че всичко друго е...
n ни казва
каква е промяната от един член до друг,
така че ако намерим производната спрямо х,
използваме правилото за производна от степен, изнасяме 2n + 3 отпред,
получаваме –1^n
по 2n + 3, по х на степен, намалена с 1,
2n + 2 върху (2n + 1)!
За да намеря втората производна,
това е същото като това.
Ако намерим втората производна, f''(х)
сега намираме сумата за n от 0
до безкрайност от –1^n...
Ще се преместя тук, за да имам повече място.
Изнасяме степенния показател отпред,
така че става (2n + 3)
по (2n + 2), цялото това е върху
(2n + 1)!, и това е
по х^(2n + 1).
Всичко, което правя, макар да изглежда сложно,
е просто да изнеса степенния показател отпред,
изнасям го отпред, после намалявам степенния показател.
Значи (2n + 2 – 1) е равно на (2n + 1).
За да намерим третата производна,
тя е сумата за n от 1 до безкрайност,
от –1^n.
Взимаме това, изнасяме го, умножаваме,
става (2n + 3)
по (2n + 2) по (2n + 1),
всичко това е върху (2n + 1)!
и след това по х^2n.
Сега да сметнем това, когато х е равно на 0.
f"(0) е равно на сумата за n от нула до безкрайност
от –1^n.
Това е интересно.
Ще имаме всичко това тук,
(2n + 3) по (2n + 2)
по (2n +1), всичко това
върху (2n + 1)!
по 0 на степен 2n.
Може би се изкушаваш да кажеш, че
ако имаме нула на всички тези степени,
може би всичко е нула,
но си спомни, че ние започваме с n = 0,
така че за всички n, които не са нула,
това 0 на тази степен ще е нула,
и този член ще изчезне,
както видяхме, когато развивахме това.
Единственият член, който има значение,
е тук, когато n е равно на 0.
Така че това просто ще бъде равно на...
понеже n е равно на 1, 2, 3, 4, 5,
и така до безкрайност, това нещо ще е определящо.
по него умножаваме, а то ще бъде 0.
И всичко става нула.
Така че всичко се свежда до първия член,
когато n е равно на 0, и когато n е равно на 0,
ще бъде –1 на степен 0.
Това ще бъде, това е просто 1.
Ще го напиша заедно.
По, това е 3 по 2 по 1,
върху 1!, и после по нула на степен нула,
което е равно на 1.
Значи това е равно на 1, и това е равно на 6.
И по двата начина, мисля че първият начин беше
малко по-лесен,
малко по-логичен, по-близко до това,
което вече ти е познато, но е важно
да разбереш, че направихме едно и също нещо и двата пъти,
просто тук запазихме знака за сума,
ето тук отдясно.
Този начин е удобен, защото ще го виждаш често
в математиката, когато искаш нещата да станат
по един по-общ начин, и затова може да е полезно
да се намират производните, докато се запазва знака за сума.