1
00:00:00,000 --> 00:00:03,900
Дадено ни е, че f(х)
е равно на сумата

2
00:00:04,080 --> 00:00:05,040
от членовете на безкраен ред
и трябва да намерим

3
00:00:05,044 --> 00:00:09,943
трета производна от f, изчислена
за х = 0.

4
00:00:09,943 --> 00:00:12,026
Както винаги, спри видеото
на пауза и опитай

5
00:00:12,026 --> 00:00:15,493
самостоятелно, преди
да го направим заедно.

6
00:00:15,493 --> 00:00:17,443
Има два начина да подходим.

7
00:00:17,443 --> 00:00:19,776
Единият е просто
да намерим производната

8
00:00:19,776 --> 00:00:22,623
на този израз, докато
е записан под знака за сума.

9
00:00:22,623 --> 00:00:24,880
Другият начин е да развием f(х)

10
00:00:24,880 --> 00:00:26,900
и да намерим производната
три пъти,

11
00:00:26,905 --> 00:00:29,690
и да преценим дали
получаваме смислен отговор.

12
00:00:29,690 --> 00:00:31,157
Първо ще го направя
по втория начин.

13
00:00:31,157 --> 00:00:32,505
Ще развия този израз.

14
00:00:32,505 --> 00:00:35,205
f(х) е равно, да видим,
когато n е равно на 0,

15
00:00:35,205 --> 00:00:38,288
това е –1 на степен нула,
което е просто 1,

16
00:00:38,288 --> 00:00:43,300
по х на степен 0 + 3,

17
00:00:43,420 --> 00:00:45,720
което е равно на х^3

18
00:00:45,722 --> 00:00:49,987
върху 2 пъти по нула,
значи 0 + 1!,

19
00:00:49,987 --> 00:00:51,872
значи просто върху 1.

20
00:00:51,872 --> 00:00:54,620
Следващият член, 
когато n = 1,

21
00:00:54,620 --> 00:00:57,404
сега това е –1 на първа степен,

22
00:00:57,404 --> 00:00:59,838
значи отпред имаме знак минус.

23
00:00:59,838 --> 00:01:03,254
Минус, и ще бъде 2 по
1 + 3,

24
00:01:03,260 --> 00:01:08,100
значи това е х на пета степен,

25
00:01:08,140 --> 00:01:15,620
върху две по едно плюс едно,
това ще стане 2 + 1 = 3!

26
00:01:15,720 --> 00:01:18,153
Значи става х^5/6.

27
00:01:18,153 --> 00:01:21,056
Когато х е равно на 2,

28
00:01:21,056 --> 00:01:23,136
тук ще имаме положителен знак,

29
00:01:23,140 --> 00:01:31,460
това става х^7 върху 5!

30
00:01:31,560 --> 00:01:32,519
Така ли е? Да.

31
00:01:32,519 --> 00:01:34,752
5!...

32
00:01:34,752 --> 00:01:36,852
Всъщност ще го напиша
просто като 5!

33
00:01:36,852 --> 00:01:40,636
5! е равно на 120.

34
00:01:40,636 --> 00:01:43,767
Това е равно на 5 по 4 по 6,
значи е 120.

35
00:01:43,767 --> 00:01:45,437
Това редуване на знаците
може да продължи,

36
00:01:45,437 --> 00:01:47,735
продължава до безкрайност.

37
00:01:47,735 --> 00:01:49,963
Сега да намерим
производните.

38
00:01:49,963 --> 00:01:52,896
f'(х) ще бъде равно на...

39
00:01:52,896 --> 00:01:54,712
правилото за производна 
от степен –

40
00:01:54,712 --> 00:01:57,495
става 3х^2

41
00:01:57,500 --> 00:02:04,280
–5/6х^4 + 7

42
00:02:04,420 --> 00:02:07,880
върху 5! по х^6,

43
00:02:07,888 --> 00:02:09,452
просто прилагам правилото
за производна от степен,

44
00:02:09,452 --> 00:02:13,485
минус, плюс, и продължаваме
така до безкрай.

45
00:02:13,485 --> 00:02:16,752
Втората производна, f''(х) 
ще бъде равна на –

46
00:02:16,752 --> 00:02:20,335
прилагаме отново правилото
за производна от степен.

47
00:02:20,340 --> 00:02:25,240
Ще бъде 6х^1 минус
4 по 5/6,

48
00:02:25,240 --> 00:02:29,880
ще го запиша като 20/6 по х^3,

49
00:02:30,020 --> 00:02:35,660
плюс 6 по 7, това е 42,
върху 5!

50
00:02:35,820 --> 00:02:38,856
х^5, и можем 
да продължим нататък.

51
00:02:38,856 --> 00:02:41,956
минус, плюс, редуваме знаците
между минус нещо,

52
00:02:41,956 --> 00:02:44,606
плюс нещо, до безкрайност.

53
00:02:44,606 --> 00:02:46,406
Стигаме до третата 
производна.

54
00:02:46,406 --> 00:02:48,540
Третата производна е равна на...

55
00:02:48,540 --> 00:02:51,311
да видим, производната
на 6х е 6,

56
00:02:51,311 --> 00:02:56,294
после имаме 20 по 3 е 60/6,

57
00:02:56,294 --> 00:02:58,699
което, разбира се, е 10х^2,

58
00:02:58,700 --> 00:03:04,260
плюс 5 по 42, това е колко,
210 върху 5!

59
00:03:04,480 --> 00:03:07,232
по х^4, минус, плюс,

60
00:03:07,232 --> 00:03:08,865
отново и отново, и после

61
00:03:08,865 --> 00:03:10,631
просто ще сметнем това за нула.

62
00:03:10,631 --> 00:03:15,221
f""(0), добре – когато 
х е равно на 0,

63
00:03:15,221 --> 00:03:18,298
всички тези членове с хиксове
ще бъдат нули,

64
00:03:18,298 --> 00:03:20,714
и тук остава само 6.

65
00:03:20,714 --> 00:03:22,881
Значи f''', третата производна,
изчислена за нула,

66
00:03:22,881 --> 00:03:25,347
е просто равно на 6.

67
00:03:25,347 --> 00:03:27,547
Другият начин, по който
можем да решим това,

68
00:03:27,547 --> 00:03:30,397
е като оставим това
под знака сигма.

69
00:03:30,397 --> 00:03:34,447
Можем да кажем, че това f'(х)
е равно на

70
00:03:34,447 --> 00:03:38,614
безкрайната сума, и реално,
ще го подчертая.

71
00:03:40,324 --> 00:03:43,208
Това е, когато развихме f'(х),

72
00:03:43,208 --> 00:03:47,375
но можехме да кажем, че
f'(х) е равно на сумата

73
00:03:48,380 --> 00:03:52,380
за n от нула до безкрайност,

74
00:03:52,640 --> 00:03:53,974
и първо намираме производната,

75
00:03:53,974 --> 00:03:56,074
ще получим, намираме
производната

76
00:03:56,074 --> 00:03:57,891
по отношение на х, за тази цел

77
00:03:57,891 --> 00:03:59,516
приемаме, че всичко друго е...

78
00:03:59,516 --> 00:04:02,840
n ни казва

79
00:04:02,840 --> 00:04:05,199
каква е промяната от един
член до друг,

80
00:04:05,199 --> 00:04:08,747
така че ако намерим производната
спрямо х,

81
00:04:08,747 --> 00:04:11,413
използваме правилото за производна 
от степен, изнасяме 2n + 3 отпред,

82
00:04:11,413 --> 00:04:13,949
получаваме –1^n

83
00:04:13,949 --> 00:04:18,349
по 2n + 3, по х на степен, 
намалена с 1,

84
00:04:18,349 --> 00:04:26,000
2n + 2 върху (2n + 1)!

85
00:04:26,180 --> 00:04:28,238
За да намеря втората
производна,

86
00:04:28,238 --> 00:04:30,304
това е същото като това.

87
00:04:30,304 --> 00:04:33,255
Ако намерим втората
производна, f''(х)

88
00:04:33,255 --> 00:04:35,912
сега намираме сумата 
за n от 0

89
00:04:35,912 --> 00:04:39,687
до безкрайност от –1^n...

90
00:04:39,687 --> 00:04:43,580
Ще се преместя тук,
за да имам повече място.

91
00:04:43,740 --> 00:04:46,580
Изнасяме степенния 
показател отпред,

92
00:04:46,587 --> 00:04:50,186
така че става (2n + 3)

93
00:04:50,186 --> 00:04:54,389
по (2n + 2), цялото това е върху

94
00:04:54,389 --> 00:04:58,556
(2n + 1)!, и това е

95
00:04:59,800 --> 00:05:04,740
по х^(2n + 1).

96
00:05:05,080 --> 00:05:07,700
Всичко, което правя,
макар да изглежда сложно,

97
00:05:07,707 --> 00:05:09,853
е просто да изнеса
степенния показател отпред,

98
00:05:09,853 --> 00:05:12,190
изнасям го отпред, после
намалявам степенния показател.

99
00:05:12,190 --> 00:05:15,219
Значи (2n + 2 – 1) е равно
на (2n + 1).

100
00:05:15,220 --> 00:05:19,280
За да намерим третата
производна,

101
00:05:19,280 --> 00:05:22,640
тя е сумата за n
от 1 до безкрайност,

102
00:05:22,640 --> 00:05:25,119
от –1^n.

103
00:05:25,119 --> 00:05:27,536
Взимаме това, изнасяме го,
умножаваме,

104
00:05:27,536 --> 00:05:31,151
става (2n + 3)

105
00:05:31,160 --> 00:05:36,340
по (2n + 2) по (2n + 1),

106
00:05:36,460 --> 00:05:42,900
всичко това е върху (2n + 1)!

107
00:05:43,060 --> 00:05:54,080
и след това по х^2n.

108
00:05:54,180 --> 00:05:58,855
Сега да сметнем това, 
когато х е равно на 0.

109
00:05:58,860 --> 00:06:06,980
f"(0) е равно на сумата
за n от нула до безкрайност

110
00:06:06,980 --> 00:06:10,020
от –1^n.

111
00:06:10,027 --> 00:06:11,688
Това е интересно.

112
00:06:11,688 --> 00:06:12,831
Ще имаме всичко това тук,

113
00:06:12,840 --> 00:06:16,740
(2n + 3) по (2n + 2)

114
00:06:16,920 --> 00:06:20,320
по (2n +1), всичко това

115
00:06:20,340 --> 00:06:24,860
върху (2n + 1)!

116
00:06:24,920 --> 00:06:29,460
по 0 на степен 2n.

117
00:06:29,620 --> 00:06:31,320
Може би се изкушаваш
да кажеш, че

118
00:06:31,328 --> 00:06:34,046
ако имаме нула на всички
тези степени,

119
00:06:34,046 --> 00:06:36,078
може би всичко е нула,

120
00:06:36,078 --> 00:06:37,811
но си спомни, че ние
започваме с n = 0,

121
00:06:37,811 --> 00:06:40,961
така че за всички n,
които не са нула,

122
00:06:40,961 --> 00:06:43,111
това 0 на тази степен
ще е нула,

123
00:06:43,111 --> 00:06:44,878
и този член ще изчезне,

124
00:06:44,878 --> 00:06:47,011
както видяхме, когато
развивахме това.

125
00:06:47,011 --> 00:06:48,343
Единственият член,
който има значение,

126
00:06:48,343 --> 00:06:51,394
е тук, когато n е равно на 0.

127
00:06:51,394 --> 00:06:54,094
Така че това просто
ще бъде равно на...

128
00:06:54,094 --> 00:06:56,228
понеже n е равно на 1, 2, 3, 4, 5,

129
00:06:56,228 --> 00:06:58,660
и така до безкрайност,
това нещо ще е определящо.

130
00:06:58,660 --> 00:07:00,243
по него умножаваме, 
а то ще бъде 0.

131
00:07:00,243 --> 00:07:02,111
И всичко става нула.

132
00:07:02,111 --> 00:07:04,409
Така че всичко се свежда
до първия член,

133
00:07:04,409 --> 00:07:06,777
когато n е равно на 0,
и когато n е равно на 0,

134
00:07:06,777 --> 00:07:09,176
ще бъде –1 на степен 0.

135
00:07:09,176 --> 00:07:12,309
Това ще бъде, това е просто 1.

136
00:07:12,309 --> 00:07:14,959
Ще го напиша заедно.

137
00:07:14,959 --> 00:07:18,292
По, това е 3 по 2 по 1,

138
00:07:20,800 --> 00:07:27,440
върху 1!, и после по нула 
на степен нула,

139
00:07:27,600 --> 00:07:29,840
което е равно на 1.

140
00:07:29,853 --> 00:07:32,925
Значи това е равно на 1,
и това е равно на 6.

141
00:07:32,925 --> 00:07:35,309
И по двата начина, мисля че
първият начин беше

142
00:07:35,309 --> 00:07:38,492
малко по-лесен,

143
00:07:38,492 --> 00:07:40,910
малко по-логичен, 
по-близко до това,

144
00:07:40,910 --> 00:07:42,592
което вече ти е познато,
но е важно

145
00:07:42,592 --> 00:07:44,742
да разбереш, че направихме
едно и също нещо и двата пъти,

146
00:07:44,742 --> 00:07:46,508
просто тук запазихме
знака за сума,

147
00:07:46,508 --> 00:07:48,309
ето тук отдясно.

148
00:07:48,309 --> 00:07:51,192
Този начин е удобен, защото
ще го виждаш често

149
00:07:51,192 --> 00:07:53,341
в математиката, когато
искаш нещата да станат

150
00:07:53,341 --> 00:07:55,841
по един по-общ начин,
и затова може да е полезно

151
00:07:55,841 --> 00:08:00,680
да се намират производните,
докато се запазва знака за сума.