0:00:00.000,0:00:03.900
Дадено ни е, че f(х)[br]е равно на сумата

0:00:04.080,0:00:05.040
от членовете на безкраен ред[br]и трябва да намерим

0:00:05.044,0:00:09.943
трета производна от f, изчислена[br]за х = 0.

0:00:09.943,0:00:12.026
Както винаги, спри видеото[br]на пауза и опитай

0:00:12.026,0:00:15.493
самостоятелно, преди[br]да го направим заедно.

0:00:15.493,0:00:17.443
Има два начина да подходим.

0:00:17.443,0:00:19.776
Единият е просто[br]да намерим производната

0:00:19.776,0:00:22.623
на този израз, докато[br]е записан под знака за сума.

0:00:22.623,0:00:24.880
Другият начин е да развием f(х)

0:00:24.880,0:00:26.900
и да намерим производната[br]три пъти,

0:00:26.905,0:00:29.690
и да преценим дали[br]получаваме смислен отговор.

0:00:29.690,0:00:31.157
Първо ще го направя[br]по втория начин.

0:00:31.157,0:00:32.505
Ще развия този израз.

0:00:32.505,0:00:35.205
f(х) е равно, да видим,[br]когато n е равно на 0,

0:00:35.205,0:00:38.288
това е –1 на степен нула,[br]което е просто 1,

0:00:38.288,0:00:43.300
по х на степен 0 + 3,

0:00:43.420,0:00:45.720
което е равно на х^3

0:00:45.722,0:00:49.987
върху 2 пъти по нула,[br]значи 0 + 1!,

0:00:49.987,0:00:51.872
значи просто върху 1.

0:00:51.872,0:00:54.620
Следващият член, [br]когато n = 1,

0:00:54.620,0:00:57.404
сега това е –1 на първа степен,

0:00:57.404,0:00:59.838
значи отпред имаме знак минус.

0:00:59.838,0:01:03.254
Минус, и ще бъде 2 по[br]1 + 3,

0:01:03.260,0:01:08.100
значи това е х на пета степен,

0:01:08.140,0:01:15.620
върху две по едно плюс едно,[br]това ще стане 2 + 1 = 3!

0:01:15.720,0:01:18.153
Значи става х^5/6.

0:01:18.153,0:01:21.056
Когато х е равно на 2,

0:01:21.056,0:01:23.136
тук ще имаме положителен знак,

0:01:23.140,0:01:31.460
това става х^7 върху 5!

0:01:31.560,0:01:32.519
Така ли е? Да.

0:01:32.519,0:01:34.752
5!...

0:01:34.752,0:01:36.852
Всъщност ще го напиша[br]просто като 5!

0:01:36.852,0:01:40.636
5! е равно на 120.

0:01:40.636,0:01:43.767
Това е равно на 5 по 4 по 6,[br]значи е 120.

0:01:43.767,0:01:45.437
Това редуване на знаците[br]може да продължи,

0:01:45.437,0:01:47.735
продължава до безкрайност.

0:01:47.735,0:01:49.963
Сега да намерим[br]производните.

0:01:49.963,0:01:52.896
f'(х) ще бъде равно на...

0:01:52.896,0:01:54.712
правилото за производна [br]от степен –

0:01:54.712,0:01:57.495
става 3х^2

0:01:57.500,0:02:04.280
–5/6х^4 + 7

0:02:04.420,0:02:07.880
върху 5! по х^6,

0:02:07.888,0:02:09.452
просто прилагам правилото[br]за производна от степен,

0:02:09.452,0:02:13.485
минус, плюс, и продължаваме[br]така до безкрай.

0:02:13.485,0:02:16.752
Втората производна, f''(х) [br]ще бъде равна на –

0:02:16.752,0:02:20.335
прилагаме отново правилото[br]за производна от степен.

0:02:20.340,0:02:25.240
Ще бъде 6х^1 минус[br]4 по 5/6,

0:02:25.240,0:02:29.880
ще го запиша като 20/6 по х^3,

0:02:30.020,0:02:35.660
плюс 6 по 7, това е 42,[br]върху 5!

0:02:35.820,0:02:38.856
х^5, и можем [br]да продължим нататък.

0:02:38.856,0:02:41.956
минус, плюс, редуваме знаците[br]между минус нещо,

0:02:41.956,0:02:44.606
плюс нещо, до безкрайност.

0:02:44.606,0:02:46.406
Стигаме до третата [br]производна.

0:02:46.406,0:02:48.540
Третата производна е равна на...

0:02:48.540,0:02:51.311
да видим, производната[br]на 6х е 6,

0:02:51.311,0:02:56.294
после имаме 20 по 3 е 60/6,

0:02:56.294,0:02:58.699
което, разбира се, е 10х^2,

0:02:58.700,0:03:04.260
плюс 5 по 42, това е колко,[br]210 върху 5!

0:03:04.480,0:03:07.232
по х^4, минус, плюс,

0:03:07.232,0:03:08.865
отново и отново, и после

0:03:08.865,0:03:10.631
просто ще сметнем това за нула.

0:03:10.631,0:03:15.221
f""(0), добре – когато [br]х е равно на 0,

0:03:15.221,0:03:18.298
всички тези членове с хиксове[br]ще бъдат нули,

0:03:18.298,0:03:20.714
и тук остава само 6.

0:03:20.714,0:03:22.881
Значи f''', третата производна,[br]изчислена за нула,

0:03:22.881,0:03:25.347
е просто равно на 6.

0:03:25.347,0:03:27.547
Другият начин, по който[br]можем да решим това,

0:03:27.547,0:03:30.397
е като оставим това[br]под знака сигма.

0:03:30.397,0:03:34.447
Можем да кажем, че това f'(х)[br]е равно на

0:03:34.447,0:03:38.614
безкрайната сума, и реално,[br]ще го подчертая.

0:03:40.324,0:03:43.208
Това е, когато развихме f'(х),

0:03:43.208,0:03:47.375
но можехме да кажем, че[br]f'(х) е равно на сумата

0:03:48.380,0:03:52.380
за n от нула до безкрайност,

0:03:52.640,0:03:53.974
и първо намираме производната,

0:03:53.974,0:03:56.074
ще получим, намираме[br]производната

0:03:56.074,0:03:57.891
по отношение на х, за тази цел

0:03:57.891,0:03:59.516
приемаме, че всичко друго е...

0:03:59.516,0:04:02.840
n ни казва

0:04:02.840,0:04:05.199
каква е промяната от един[br]член до друг,

0:04:05.199,0:04:08.747
така че ако намерим производната[br]спрямо х,

0:04:08.747,0:04:11.413
използваме правилото за производна [br]от степен, изнасяме 2n + 3 отпред,

0:04:11.413,0:04:13.949
получаваме –1^n

0:04:13.949,0:04:18.349
по 2n + 3, по х на степен, [br]намалена с 1,

0:04:18.349,0:04:26.000
2n + 2 върху (2n + 1)!

0:04:26.180,0:04:28.238
За да намеря втората[br]производна,

0:04:28.238,0:04:30.304
това е същото като това.

0:04:30.304,0:04:33.255
Ако намерим втората[br]производна, f''(х)

0:04:33.255,0:04:35.912
сега намираме сумата [br]за n от 0

0:04:35.912,0:04:39.687
до безкрайност от –1^n...

0:04:39.687,0:04:43.580
Ще се преместя тук,[br]за да имам повече място.

0:04:43.740,0:04:46.580
Изнасяме степенния [br]показател отпред,

0:04:46.587,0:04:50.186
така че става (2n + 3)

0:04:50.186,0:04:54.389
по (2n + 2), цялото това е върху

0:04:54.389,0:04:58.556
(2n + 1)!, и това е

0:04:59.800,0:05:04.740
по х^(2n + 1).

0:05:05.080,0:05:07.700
Всичко, което правя,[br]макар да изглежда сложно,

0:05:07.707,0:05:09.853
е просто да изнеса[br]степенния показател отпред,

0:05:09.853,0:05:12.190
изнасям го отпред, после[br]намалявам степенния показател.

0:05:12.190,0:05:15.219
Значи (2n + 2 – 1) е равно[br]на (2n + 1).

0:05:15.220,0:05:19.280
За да намерим третата[br]производна,

0:05:19.280,0:05:22.640
тя е сумата за n[br]от 1 до безкрайност,

0:05:22.640,0:05:25.119
от –1^n.

0:05:25.119,0:05:27.536
Взимаме това, изнасяме го,[br]умножаваме,

0:05:27.536,0:05:31.151
става (2n + 3)

0:05:31.160,0:05:36.340
по (2n + 2) по (2n + 1),

0:05:36.460,0:05:42.900
всичко това е върху (2n + 1)!

0:05:43.060,0:05:54.080
и след това по х^2n.

0:05:54.180,0:05:58.855
Сега да сметнем това, [br]когато х е равно на 0.

0:05:58.860,0:06:06.980
f"(0) е равно на сумата[br]за n от нула до безкрайност

0:06:06.980,0:06:10.020
от –1^n.

0:06:10.027,0:06:11.688
Това е интересно.

0:06:11.688,0:06:12.831
Ще имаме всичко това тук,

0:06:12.840,0:06:16.740
(2n + 3) по (2n + 2)

0:06:16.920,0:06:20.320
по (2n +1), всичко това

0:06:20.340,0:06:24.860
върху (2n + 1)!

0:06:24.920,0:06:29.460
по 0 на степен 2n.

0:06:29.620,0:06:31.320
Може би се изкушаваш[br]да кажеш, че

0:06:31.328,0:06:34.046
ако имаме нула на всички[br]тези степени,

0:06:34.046,0:06:36.078
може би всичко е нула,

0:06:36.078,0:06:37.811
но си спомни, че ние[br]започваме с n = 0,

0:06:37.811,0:06:40.961
така че за всички n,[br]които не са нула,

0:06:40.961,0:06:43.111
това 0 на тази степен[br]ще е нула,

0:06:43.111,0:06:44.878
и този член ще изчезне,

0:06:44.878,0:06:47.011
както видяхме, когато[br]развивахме това.

0:06:47.011,0:06:48.343
Единственият член,[br]който има значение,

0:06:48.343,0:06:51.394
е тук, когато n е равно на 0.

0:06:51.394,0:06:54.094
Така че това просто[br]ще бъде равно на...

0:06:54.094,0:06:56.228
понеже n е равно на 1, 2, 3, 4, 5,

0:06:56.228,0:06:58.660
и така до безкрайност,[br]това нещо ще е определящо.

0:06:58.660,0:07:00.243
по него умножаваме, [br]а то ще бъде 0.

0:07:00.243,0:07:02.111
И всичко става нула.

0:07:02.111,0:07:04.409
Така че всичко се свежда[br]до първия член,

0:07:04.409,0:07:06.777
когато n е равно на 0,[br]и когато n е равно на 0,

0:07:06.777,0:07:09.176
ще бъде –1 на степен 0.

0:07:09.176,0:07:12.309
Това ще бъде, това е просто 1.

0:07:12.309,0:07:14.959
Ще го напиша заедно.

0:07:14.959,0:07:18.292
По, това е 3 по 2 по 1,

0:07:20.800,0:07:27.440
върху 1!, и после по нула [br]на степен нула,

0:07:27.600,0:07:29.840
което е равно на 1.

0:07:29.853,0:07:32.925
Значи това е равно на 1,[br]и това е равно на 6.

0:07:32.925,0:07:35.309
И по двата начина, мисля че[br]първият начин беше

0:07:35.309,0:07:38.492
малко по-лесен,

0:07:38.492,0:07:40.910
малко по-логичен, [br]по-близко до това,

0:07:40.910,0:07:42.592
което вече ти е познато,[br]но е важно

0:07:42.592,0:07:44.742
да разбереш, че направихме[br]едно и също нещо и двата пъти,

0:07:44.742,0:07:46.508
просто тук запазихме[br]знака за сума,

0:07:46.508,0:07:48.309
ето тук отдясно.

0:07:48.309,0:07:51.192
Този начин е удобен, защото[br]ще го виждаш често

0:07:51.192,0:07:53.341
в математиката, когато[br]искаш нещата да станат

0:07:53.341,0:07:55.841
по един по-общ начин,[br]и затова може да е полезно

0:07:55.841,0:08:00.680
да се намират производните,[br]докато се запазва знака за сума.