0:00:00.650,0:00:02.700 Wir müssen folgende quadratische Gleichung lösen: 0:00:02.700,0:00:07.620 -3x zum Quadrat + 10x - 3 = 0 0:00:07.620,0:00:09.560 Und sie ist schon in der Standardform geschrieben. 0:00:09.560,0:00:11.060 Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu lösen. 0:00:11.060,0:00:13.597 Aber speziell hier löse ich es mit der Mitternachtsformel. 0:00:13.597,0:00:14.680 Lasst es mich nochmal aufschreiben. 0:00:14.680,0:00:19.435 Wir haben: -3x zum Quadrat + 10x - 3 = 0 0:00:19.435,0:00:20.810 Im Prinzip löse ich sie zweimal 0:00:20.810,0:00:22.720 mit der Mitternachtsformel, um euch zu zeigen, 0:00:22.720,0:00:25.350 dass, egal wie wir sie auf zulässigem Weg verändern, 0:00:25.350,0:00:26.850 die Mitternachtsformel uns 0:00:26.850,0:00:29.900 die exakt gleichen Wurzeln beziehungsweise Ergebnisse 0:00:29.900,0:00:31.370 zu dieser Gleichung gibt. 0:00:31.370,0:00:34.322 Was sind also in dieser Form unsere ABCs? 0:00:34.322,0:00:36.780 Führen wir uns nochmal ins Gedächtnis, was die Mitternachtsformel 0:00:36.780,0:00:37.450 eigentlich ist. 0:00:37.450,0:00:38.730 Ein guter Punkt, um anzufangen. 0:00:38.730,0:00:40.640 Die Mitternachtsformel sagt uns, dass wenn wir 0:00:40.640,0:00:43.170 eine quadratische Gleichung der Form 0:00:43.170,0:00:48.320 "ax zum Quadrat + bx + c = 0", also in Standardform haben, 0:00:48.320,0:00:52.360 dann sind ihre Wurzeln: x = -b 0:00:52.360,0:00:55.630 +/- der Quadratwurzel von b 0:00:55.630,0:01:02.430 zum Quadrat - 4ac, das alles geteilt durch 2a. 0:01:02.430,0:01:05.239 Das hier wurde hergeleitet durch Beseitigen des Quadrates 0:01:05.239,0:01:06.410 auf normalem Weg. 0:01:06.410,0:01:09.914 Es ist also keine Zauberei hier, ich habe es in anderen Videos hergeleitet. 0:01:09.914,0:01:11.330 Aber das ist die Mitternachtsformel. 0:01:11.330,0:01:12.910 Sie gibt uns im Prinzip 2 Lösungen, 0:01:12.910,0:01:14.890 da man hier die positive Quadratwurzel 0:01:14.890,0:01:16.680 und hier die negative Quadratwurzel hat. 0:01:16.680,0:01:19.750 Lasst sie uns also für diesen Fall anwenden, 0:01:19.750,0:01:26.890 a = -3, b = 10 0:01:26.890,0:01:31.000 und c = -3. 0:01:31.000,0:01:33.240 Die Formel also hier angewandt, 0:01:33.240,0:01:36.526 erhalten wir unsere Lösungen: x = -b 0:01:36.526,0:01:37.530 b = 10. 0:01:37.530,0:01:42.800 Also ist -b = -10 +/- Quadratwurzel 0:01:42.800,0:01:44.690 von b zum Quadrat. 0:01:44.690,0:01:45.460 b =10. 0:01:45.460,0:01:50.650 Also ist b zum Quadrat = 100 - 4*a*c 0:01:50.650,0:01:54.387 Also: - (4*(-3)*(-3)) 0:01:54.387,0:01:55.470 Schreiben wir es hin. 0:01:55.470,0:01:58.930 - (4*(-3)*(-3)). 0:01:58.930,0:02:01.100 Das alles steht unter der Wurzel. 0:02:01.100,0:02:02.860 Und das alles geteilt durch 2a. 0:02:02.860,0:02:05.540 Also 2*a = -6. 0:02:05.540,0:02:07.660 Das ist dann gleich -10 0:02:07.660,0:02:14.710 +/- Quadratwurzel von 100 minus -- (-3)* 0:02:14.710,0:02:16.080 (-3) ist +9. 0:02:16.080,0:02:18.280 +9*4 = +36. 0:02:18.280,0:02:19.530 Hier haben wir ein Minuszeichen. 0:02:19.530,0:02:21.610 Also -36. 0:02:21.610,0:02:23.860 Das alles geteilt durch -6. 0:02:23.860,0:02:27.310 Das ist gleich 100 - 36 = 64. 0:02:27.310,0:02:31.830 Also -10 +/- Quadratwurzel von 64. 0:02:31.830,0:02:33.900 Alles geteilt durch -6. 0:02:33.900,0:02:35.939 Die Wurzel aus 64 ist 8. 0:02:35.939,0:02:38.230 Wir nehmen aber die positive und negative Quadratwurzel. 0:02:38.230,0:02:43.940 Das ist also -10 +/- 8 geteilt durch -6. 0:02:43.940,0:02:45.620 Wenn wir die positive Möglichkeit nehmen, 0:02:45.620,0:02:48.210 sagen wir, x könnte gleich -- -10 0:02:48.210,0:02:52.560 + 8 = -2 geteilt durch -6. 0:02:52.560,0:02:54.570 Das war also die positive Version. 0:02:54.570,0:02:56.330 Das ist das hier. 0:02:56.330,0:02:58.940 Und -2/-6 = 1/3. 0:02:58.940,0:03:00.840 Wenn wir die negative Quadratwurzel nehmen, 0:03:00.840,0:03:04.610 -10 - 8 -- Also lasst uns -10 - 8 nehmen. 0:03:04.610,0:03:08.030 Das wäre dann: x = -10 - 8 0:03:08.030,0:03:10.070 = -18. 0:03:10.070,0:03:13.490 Und das geteilt durch -6. 0:03:13.490,0:03:16.930 -18/-6 = +3. 0:03:16.930,0:03:19.380 Die beiden Wurzeln für diese quadratische Gleichung sind also 0:03:19.380,0:03:22.492 + 1/3 und +3. 0:03:22.492,0:03:24.700 Und ich will euch zeigen, dass wir die gleiche Lösung erhalten, 0:03:24.700,0:03:25.740 selbst wenn wir das hier manipulieren. 0:03:25.740,0:03:27.280 Manche stört es vielleicht, dass 0:03:27.280,0:03:30.120 unser erster Koeffizient hier eine -3 ist. 0:03:30.120,0:03:31.876 Vielleicht wollen sie eine +3. 0:03:31.876,0:03:33.250 Um also diese -3 loszuwerden, 0:03:33.250,0:03:37.010 können sie beide Seiten dieser Gleichung mit -1 multiplizieren. 0:03:37.010,0:03:39.270 Wenn man das also tun würde, bekäme man 3x 0:03:39.270,0:03:45.000 zum Quadrat - 10x + 3 = 0*(-1), 0:03:45.000,0:03:46.900 was immer noch 0 ergibt. 0:03:46.900,0:03:51.990 In diesem Fall also, ist a gleich 3, b ist gleich -10 0:03:51.990,0:03:54.430 und c ist wieder gleich 3. 0:03:54.430,0:03:56.400 Und wir können die Mitternachtsformel anwenden. 0:03:56.400,0:04:00.560 Wir erhalten x = -b. b = -10 0:04:00.560,0:04:02.460 Also ist -(-10) = 0:04:02.460,0:04:05.300 +10 +/- Quadratwurzel 0:04:05.300,0:04:07.950 von b zum Quadrat, was -10 zum Quadrat ergibt, 0:04:07.950,0:04:12.110 was 100 ergibt, - 4*a*c. 0:04:12.110,0:04:16.070 a*c = 9 * 4 = 36. 0:04:16.070,0:04:17.980 Also -36. 0:04:17.980,0:04:20.250 Das alles geteilt durch 2*a. 0:04:20.250,0:04:21.990 Das alles geteilt durch 6. 0:04:21.990,0:04:28.030 Das ist also geich 10 +/- Quadratwurzel von 64, 0:04:28.030,0:04:30.660 das ergibt einfach nur 8. 0:04:30.660,0:04:32.210 Das alles geteilt durch 6. 0:04:32.210,0:04:36.420 Addieren wir 8 hier dazu, erhalten wir 10 + 8 = 18 geteilt durch 6. 0:04:36.420,0:04:38.310 Wir erhalten: x könnte gleich 3 sein. 0:04:38.310,0:04:41.300 Oder wenn wir hier die negative Quadratwurzel oder -8 nehmen, 0:04:41.300,0:04:43.100 10 - 8 =2. 0:04:43.100,0:04:46.280 2 geteilt durch 6 ist 1/3. 0:04:46.280,0:04:50.300 Man bekommt auch hier wieder die identischen Lösungen.