0:00:00.900,0:00:02.810
Bir fonksiyon çizelim.

0:00:02.810,0:00:04.490
Bu fonksiyonun limitini alalım.

0:00:04.490,0:00:06.880
Şİmdilik sadece çizeceğim.

0:00:06.880,0:00:08.390
Daha sonra belirli örnekler yapacağız.

0:00:08.390,0:00:11.870
Bu benim y eksenim ve bu x eksinim.

0:00:11.870,0:00:14.180
Fonksiyon şöyle bir şeye benzesin.

0:00:14.180,0:00:15.950
Oldukça anlaşılır bir fonksiyon çizeceğim.

0:00:15.950,0:00:19.760
Diyelim bu bir doğru olsun.

0:00:19.760,0:00:23.100
Bazı noktalarında da bir boşluk olsun.

0:00:23.100,0:00:27.080
Bazı noktalarında da bir boşluk olsun.

0:00:27.080,0:00:28.690
x=a, yani orada tanımsız.

0:00:28.690,0:00:32.030
Görebilmeniz için bu noktayı siyah yapıyorum.

0:00:32.030,0:00:33.110
Burada tanımlı değil.

0:00:33.110,0:00:38.780
Ve bu nokta x=a.

0:00:38.780,0:00:45.180
BU x ekseni, bu y=f(x) ekseni.

0:00:45.180,0:00:47.120
Ya da sadece y ekseni diyelim.

0:00:47.120,0:00:51.030
Buna f(x) diyelim.

0:00:51.030,0:00:53.880
Hatta y=f(x) diyelim.

0:00:53.880,0:00:55.740
Şimdiye kadar bir sürü limit videosu yaptık.

0:00:55.740,0:00:57.160
Limitin ne olduğunu anladığınızı düşünüyorum.

0:00:57.160,0:00:59.850
Eğer ben limit x a'ya yaklaşırken dersem.

0:00:59.850,0:01:04.020
Bu noktaya L diyelim.

0:01:04.020,0:01:06.480
Bunu daha önceki videolardan biliyoruz.

0:01:06.480,0:01:10.940
Öncelikle şöyle yazalım.

0:01:10.940,0:01:13.690
Limit x a'ya yaklaşırken f(x).

0:01:13.690,0:01:17.560
Her iki taraftan yaklaşırsak bu sezgisel olarak ne anlama geliyor?

0:01:17.560,0:01:20.980
Bu taraftan yaklaşırsak f(x) neye yaklaşır?

0:01:20.980,0:01:22.290
f(x) neye yaklaşır?

0:01:22.290,0:01:27.030
Yani x burada, f(x) burada.

0:01:27.030,0:01:29.490
x buradayken f(x) burada.

0:01:29.490,0:01:33.080
L'ye yaklaştığını görüyoruz.

0:01:35.950,0:01:40.320
Bu taraftan da a'ya yaklaşıyoruz.

0:01:40.320,0:01:42.200
Sadece sol ya da sağdan yaklaşan limitler yaptık.

0:01:42.200,0:01:44.750
Aslında limit potizif yönden de negatif yönden de aynı şeye yaklaşmalı.

0:01:44.750,0:01:48.670
Aslında limit potizif yönden de negatif yönden de aynı şeye yaklaşmalı.

0:01:48.670,0:01:52.380
Fakat buradan gelirken burada bir x seçelim mesela.

0:01:52.380,0:01:54.440
O zaman f(x) de tam burada.

0:01:54.440,0:01:57.460
Eğer x burada olursa o zaman o da burada olur.

0:01:57.460,0:02:03.860
Böylece gittikçe a'ya yaklaşırız. f(x) L noktasına ya da L değerine yaklaşır.

0:02:03.860,0:02:06.600
Böylece x a'ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti L'ye eşittir.

0:02:06.600,0:02:07.960
Böylece x a'ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti L'ye eşittir.

0:02:07.960,0:02:09.640
Anlaşıldığını düşünüyorum.

0:02:09.640,0:02:13.360
Aslında bu limtin ne olduğunu anlatmak için yeterli değil.

0:02:13.360,0:02:15.480
" "

0:02:15.480,0:02:16.290
" "

0:02:16.290,0:02:19.340
Şimdiye kadar anlattıklarım f(x)'in neye yaklaştığını anlamamıza yardımcı oluyor.

0:02:19.340,0:02:21.440
f(x) neye yaklaşıyor?

0:02:21.440,0:02:27.360
Yani bu videoda size limitin tanımını vermeye çalışacağım.

0:02:27.360,0:02:29.360
Çok daha fazla matematiksel anlamı olan bir tanım.

0:02:29.360,0:02:32.180
Şöyle diyelim.

0:02:32.180,0:02:36.990
x bu değere yaklaşırsa, f(x) neye yaklaşır?

0:02:36.990,0:02:39.290
Küçük bir oyun gibi.

0:02:39.290,0:02:48.640
Bu ifade şunu söyler.

0:02:48.640,0:02:55.150
Bu nokta etrafında her zaman bir değer kümesi verebilirim.

0:02:55.150,0:02:57.190
Değer kümesinden bahsederken söylediğim şey tüm tanım kümesi değil.

0:02:57.190,0:03:00.960
Sadece değer kümesi.

0:03:00.960,0:03:05.980
Burada bir aralık verelim.

0:03:05.980,0:03:12.360
Size garanti edebilirim ki f(x) verilen aralıktan daha öteye gitmeyecek.

0:03:12.360,0:03:16.160
Size garanti edebilirim ki f(x) verilen aralıklıktan daha öteye gitmeyecek.

0:03:16.160,0:03:18.030
Ben bunu küçük bir oyun gibi düşünüyorum.

0:03:18.030,0:03:18.490
Ben bunu küçük bir oyun gibi düşünüyorum.

0:03:18.490,0:03:21.840
Diyelim ki siz dediklerime inanmıyorsunuz.

0:03:21.840,0:03:29.900
f(x)'in L'nin 0.5 aralığında bulunup bulunmayacağını görmek istiyorsunuz.

0:03:29.900,0:03:37.460
Diyelim ki bana 0.5 değerini veriyorsunuz.

0:03:37.460,0:03:39.760
Bu tanımla size bir değer kümesi gösterebilmem gerektiğini söylüyorsunuz.

0:03:39.760,0:03:46.330
f(x)'in L'nin 0.5 aralığına düşüp düşmediğini gösteren bir değer kümesi.

0:03:46.330,0:03:49.980
f(x)'in değerleri hep buradaki değer kümesinde olacak.

0:03:49.980,0:03:51.160
f(x)'in değerleri hep buradaki değer kümesinde olacak.

0:03:51.160,0:03:54.300
a etrafındaki değer kümesinde olduğum sürece, bana verdiğiniz değer kümesinde olduğum sürece, f(x) her zaman limit noktasına en az o kadar yakın olacaktır.

0:03:54.300,0:03:57.890
a etrafındaki değer kümesinde olduğum sürece, bana verdiğiniz değer kümesinde olduğum sürece, f(x) her zaman limit noktasına en az o kadar yakın olacaktır.

0:03:57.890,0:04:00.030
a etrafındaki değer kümesinde olduğum sürece, bana verdiğiniz değer kümesinde olduğum sürece, f(x) her zaman limit noktasına en az o kadar yakın olacaktır.

0:04:02.820,0:04:07.830
Daha büyük bir grafik çizeyim.

0:04:07.830,0:04:10.870
Tekrar tekrar aynı grafiğin üstüne yazıp durdum.

0:04:10.870,0:04:16.770
Diyelim ki bu f(x) ve bu boş noktamız.

0:04:16.770,0:04:19.340
Orada bir boşluk olmasına gerek yok.

0:04:19.340,0:04:21.020
Limit aslında fonksiyonun değerine eşit olabilir.

0:04:21.020,0:04:22.560
Ancak orada fonksiyonun tanımlı olmaması ama limtin tanımlı olması daha ilginç.

0:04:22.560,0:04:23.910
" "

0:04:23.910,0:04:28.770
Eksenleri tekrar çizelim.

0:04:31.530,0:04:44.010
Bu x ekseni, bu y ekseni, bu limit noktası L.

0:04:44.010,0:04:47.310
Bu a noktası.

0:04:47.310,0:04:49.630
Şimdi şuraya geri dönelim.

0:04:49.630,0:04:52.690
Tekrar anlatmak istiyorum.

0:04:52.690,0:04:58.090
Burada limitin epsilon delta tanımı şunu söylemek istiyor.

0:04:58.090,0:05:01.260
Siz L noktası etrafında istediğiniz bir aralığı verin.

0:05:01.260,0:05:05.790
" "

0:05:05.790,0:05:08.860
" "

0:05:08.860,0:05:10.450
Aslında bu aralığa gelin epsilon(ϵ) diyelim.

0:05:10.450,0:05:12.590
Böylece tanımla aynı şekilde ilerliyoruz.

0:05:12.590,0:05:13.050
" "

0:05:13.050,0:05:17.090
Yani L'den, epsilondan daha uzak olmayan bir yerde olmak istiyorsnunz.

0:05:17.090,0:05:19.510
epsilon(ϵ) her hangi sıfırdan büyük bir gerçel sayı olabilir.

0:05:19.510,0:05:20.960
epsilon(ϵ) her hangi sıfırdan büyük bir gerçel sayı olabilir.

0:05:20.960,0:05:24.320
Bu aralığa epsilon(ϵ) diyoruz.

0:05:24.320,0:05:27.810
Bu aralık da epsilon(ϵ).

0:05:27.810,0:05:30.480
" "

0:05:30.480,0:05:36.810
Burası L+ϵ olur.

0:05:36.810,0:05:43.030
Burası L-ϵ olur.

0:05:43.030,0:05:48.030
epsilon delta tanımında epsilonun ne olduğunun önemi yoktur.

0:05:48.030,0:05:51.650
Her zaman a etrafında bir aralık belirleyebilirim.

0:05:51.650,0:05:54.000
Bunu da delta diye adlandıralım.

0:05:54.000,0:05:57.710
Her zaman a etrafında bir aralık belirleyebilirim.

0:05:57.710,0:06:02.320
Diyelim ki buradaki a'dan küçük delta.

0:06:02.320,0:06:04.440
Bu da a'dan büyük delta.

0:06:04.440,0:06:05.365
Bu da delta harfi:δ

0:06:09.970,0:06:15.680
Seçtiğiniz x a+δ ile a-δ arasında olmalı.

0:06:15.680,0:06:19.440
Seçtiğiniz x a+δ ile a-δ arasında olduğu sürece, size garanti ebilirim ki f(x) değer kümesi içinde olacaktır.

0:06:19.440,0:06:23.160
x eğer a+δ ile a-δ arasındaysa, o zaman f(x) de değer kümesi içinde olur.

0:06:23.160,0:06:24.350
Seçtiğiniz x eğer a+δ ile a-δ arasındaysa, f(x)'in değer kümesi içinde olacağını garanti edebilirim.

0:06:24.350,0:06:26.060
Bunun anlamlı olduğunu düşünüyorsunuz değil mi?

0:06:26.060,0:06:29.630
Aslında söylediği şudur.

0:06:29.630,0:06:32.980
İstediğiniz kadar yaklaşın.

0:06:32.980,0:06:36.430
İstediğiniz kadar dediğim zaman siz bunu bana bir epsilon vererek tanımlıyorsunuz.

0:06:36.430,0:06:38.940
Küçük bir oyun gibi.

0:06:38.940,0:06:43.000
x'in yaklaştığı nokta etrafında bir değer kümesi vererek limit noktasına istediğiniz kadar yaklaşabilirsiniz.

0:06:43.000,0:06:44.680
x'in yaklaştığı nokta etrafında bir değer kümesi vererek limit noktasına istediğiniz kadar yaklaşabilirsiniz.

0:06:44.680,0:06:49.420
a etrafında değer kümesi içinde bir x seçtiğiniz sürece size f(x)'in belirlerdiğiniz değer kümesi içinde olacağını garanti edebilirim.

0:06:49.420,0:06:52.570
a etrafında değer kümesi içinde bir x seçtiğiniz sürece size f(x)'in belirlerdiğiniz değer kümesi içinde olacağını garanti edebilirim.

0:06:52.570,0:06:55.440
a etrafında değer kümesi içinde bir x seçtiğiniz sürece size f(x)'in belirlerdiğiniz değer kümesi içinde olacağını garanti edebilirim.

0:06:55.440,0:06:57.290
a etrafında değer kümesi içinde bir x seçtiğiniz sürece size f(x)'in belirlerdiğiniz değer kümesi içinde olacağını garanti edebilirim.

0:06:57.290,0:07:01.270
Bunu daha somutlaştıralım.

0:07:01.270,0:07:04.490
Önce sayıları somutlaştıralım.

0:07:04.490,0:07:05.380
Önce sayıları somutlaştıralım.

0:07:05.380,0:07:11.750
Diyelim bu 2 ve bu 1.

0:07:11.750,0:07:16.575
Limit x 1'e yaklaşırken f(x), aslında burada f(x) tanımlamadım.

0:07:16.575,0:07:18.880
Ancak boşluğu olan bir doğru gibi görünüyor.

0:07:18.880,0:07:21.480
Limit x 1'e yaklaşırken f(x)=2

0:07:21.480,0:07:23.820
Bu bana herhabgi bir sayı verebileceğiniz anlamına geliyor.

0:07:23.820,0:07:27.380
Diyelim ki bir kaç örnekle denemek istiyorsunuz.

0:07:27.380,0:07:30.220
Öncelikle rengi değiştireyim.

0:07:30.220,0:07:35.680
f(x)'in 0.5 ile 2 arasında olmasını istiyorum.

0:07:35.680,0:07:39.970
f(x)'in 2.5 ile 1.5 arasında olmasını istiyorum.

0:07:39.970,0:07:45.650
" "

0:07:45.650,0:07:48.190
" "

0:07:48.190,0:07:50.920
Keyfi bir aralık seçelim.

0:07:50.920,0:07:57.790
Mesela 0.9 ile 1.1.

0:07:57.790,0:08:02.980
Böylece bu durumda limit noktasından delta 0.1.

0:08:02.980,0:08:09.320
x'i bu 0.1 aralığında seçtiğiniz sürece size garanti edebilirim ki f(x) o değer kümesinde olacak.

0:08:09.320,0:08:13.640
x'i bu 0.1 aralığında seçtiğiniz sürece size garanti edebilirim ki f(x) o değer kümesinde olacak.

0:08:13.640,0:08:15.740
x'i bu 0.1 aralığında seçtiğiniz sürece size garanti edebilirim ki f(x) o değer kümesinde olacak.

0:08:15.740,0:08:17.220
Umuyorum ki sizin için biraz anlamlı olmuştur bunlar.

0:08:17.220,0:08:19.750
Esas epsilon delta tanımını yapayım.

0:08:19.750,0:08:22.580
Bu tanımı matematik kitaplarınızda göreceksiniz.

0:08:22.580,0:08:24.110
Sonra bir kaç örnek yapacağız.

0:08:24.110,0:08:26.730
Açık olmak gerekirse bu spesifik bir örnekti.

0:08:26.730,0:08:29.870
Siz bana bir epsilon verdiniz ve ben de uygun bir delta verdim.

0:08:29.870,0:08:36.270
Eğer bu tanım doğruysa, sadece belirli bir örnek için çalışmaz.

0:08:36.270,0:08:40.290
Eğer bu tanım doğruysa, sadece belirli bir örnek için çalışmaz.

0:08:40.290,0:08:42.900
Vereceğiniz herhangi bir sayı için de çalışır.

0:08:42.900,0:08:48.800
Mesela herhangi bir sayı diyebilirsiniz.

0:08:48.800,0:08:52.180
2'ye çok fazla yaklaşabilrsiniz.

0:08:52.180,0:08:55.590
Ben de size her zaman bu nokta etrafında bir değer kümesi verebilirim, x'i o değer kümesinde seçtiğiniz sürece.

0:08:55.590,0:09:00.270
f(x) de her zaman belirlediğiniz a değer kümesinde olacak.

0:09:00.270,0:09:03.540
" "

0:09:03.540,0:09:08.240
" "

0:09:08.240,0:09:09.470
" "

0:09:09.470,0:09:11.270
Tabii ki x=a olduğu zaman da ne olacağını garantileyebilirim.

0:09:11.270,0:09:12.760
Tabii ki x=a olduğu zaman da ne olacağını garantileyebilirim.

0:09:12.760,0:09:15.580
Bu değer kümesinde a'ya eşit olmayan bir x seçtiğiniz sürece her şey yolunda.

0:09:15.580,0:09:17.950
" "

0:09:17.950,0:09:21.720
x a'ya eşit olmadığı sürece, f(x) belirlediğiniz değer kümesinde olacak.

0:09:21.720,0:09:23.680
Bunu biraz daha netleştirelim.

0:09:23.680,0:09:26.250
Şimdiye kadar sadece kelimelerle ifade ettim.

0:09:26.250,0:09:33.460
Bunu zaten matematik kitaplarında da görüyorsunuz.

0:09:33.460,0:09:35.810
Bana 0'dan büyük bir epsilon veriyorsunuz.

0:09:35.810,0:09:37.390
Her neyse, bu bir tanım değil mi?

0:09:37.390,0:09:41.730
Eğer biri bunu yazdıysa, onlara 0'dan büyük herhangi bir epsilon verebileceğiniz anlamına gelir bu.

0:09:41.730,0:09:52.800
Sonra onlar size bir delta verecekler.

0:09:52.800,0:09:56.590
Unutmayın, epsilon f(x)'in limit noktanıza ne kadar yakın olmasını istediğinizi gösterir.

0:09:56.590,0:09:57.760
Değil mi?

0:09:57.760,0:10:00.530
f(x) etrafında bir değer kümesi.

0:10:00.530,0:10:04.860
a etrafında bir değer kümesi olan bir delta verecekler.

0:10:04.860,0:10:05.520
Bunu yazalım.

0:10:05.520,0:10:11.830
Limit x a'ya yaklaşırken f(x)=L.

0:10:11.830,0:10:15.210
Yani size bir delta verecekler.

0:10:15.210,0:10:23.025
x'in a'dan büyük olmaması gerekiyor.

0:10:23.025,0:10:27.950
x ile a arasındaki mesafenin 0'dan büyük olması gerekiyor.

0:10:27.950,0:10:31.340
x ile a arasındaki mesafenin 0'dan büyük olması gerekiyor.

0:10:31.340,0:10:34.840
a noktası üzerinde x görünmez.

0:10:34.840,0:10:37.980
O noktada fonksiyon tanımsız olur çünkü.

0:10:37.980,0:10:40.750
x ile a arasındaki mesafe 0'dan büyük ve verilen x değer kümesinden küçük olacak.

0:10:40.750,0:10:45.400
Yani x ile a arasındaki mesafe deltadan küçük olacak.

0:10:45.400,0:10:46.450
0<│x-a│<δ

0:10:46.450,0:10:49.930
x eksenini daha büyük çizelim.

0:10:49.930,0:10:55.680
Bu a ve bu uzaklık δ.

0:10:55.680,0:10:59.240
Bu uzaklık da δ.

0:10:59.240,0:11:03.920
Seçtiğiniz x'in buraya düşmesi gerekir.

0:11:03.920,0:11:07.520
Burası olabilir ya da burası da olabilir.

0:11:07.520,0:11:10.560
Seçtiğiniz x buraya düştüğü sürece, fonkisyon ve limit noktası arasındaki uzaklığın epsilondan küçük olacağını garanti edebilirim.

0:11:10.560,0:11:17.010
Seçtiğiniz x buraya düştüğü sürece, fonkisyon ve limit noktası arasındaki uzaklığın epsilondan küçük olacağını garanti edebilirim.

0:11:17.010,0:11:19.670
Mesela burada bir x noktası alıyorsunuz.

0:11:19.670,0:11:23.460
Sonra o noktada f(x)'i hesaplıyorsunuz.

0:11:23.460,0:11:27.170
f(x) ile limit noktası arasındaki uzaklık sizin verdiğiniz sayıdan küçük olacak.

0:11:27.170,0:11:31.560
│f(x)- L│< ϵ

0:11:31.560,0:11:36.470
Aslında düşünürseniz çok karışık gibi görünüyor.

0:11:36.470,0:11:38.690
Aslında bu konu matematikte hangi sırada öğretilmeli emin değilim.

0:11:38.690,0:11:39.640
" "

0:11:39.640,0:11:42.345
Belki 3. haftada öğretilmeli.

0:11:42.345,0:11:44.670
Türevden bile önce.

0:11:44.670,0:11:47.560
" "

0:11:47.560,0:11:49.720
" "

0:11:49.720,0:11:53.010
" "

0:11:53.010,0:11:54.050
" "

0:11:54.050,0:11:56.910
Matematiği bir kere çalışmaya başlayınca gittikçe ilerliyorsunuz.

0:11:56.910,0:11:58.910
Çalıştıkça daha başarılı oluyorsunuz.

0:11:58.910,0:12:01.330
Bütün bu yaptıklarımız anlaşıldı. Değil mi?

0:12:01.330,0:12:02.160
Sezgisel olarak bir şeyler ifade etti mi?

0:12:02.160,0:12:05.550
" "

0:12:05.550,0:12:12.945
x'in a değerine yaklaştığı kadar f(x) de L değerine yaklaşacak.

0:12:12.945,0:12:13.960
" "

0:12:13.960,0:12:17.620
Mesela şöyle söyleyebilirsiniz.

0:12:17.620,0:12:19.970
Çok çok yakın olmak istiyorum.

0:12:19.970,0:12:22.180
" "

0:12:22.180,0:12:25.640
Mesela f(x)'e uzaklığın 0.0000001 olmasını isteyebilirsiniz.

0:12:25.640,0:12:29.540
x etrafında öyle bir uzaklık olacaktır.

0:12:29.540,0:12:31.320
Bu videoda zamanımız bitti.

0:12:31.320,0:12:34.260
Bir sonraki videoda bazı örnekler yapacağız.

0:12:34.260,0:12:38.120
Bu tanımı kullanarak limiti ve bazı limit ifadelerini kanıtlayacağım.

0:12:38.120,0:12:39.330
Bu tanımı kullanarak limiti ve bazı limit ifadelerini kanıtlayacağım.

0:12:39.330,0:12:43.370
Umarım ki biliyorsunuzdur.

0:12:43.370,0:12:45.440
Somut rakamlar kullandığınız zaman bu tanım size daha anlamlı gelecektir.

0:12:45.440,0:12:47.270
Bir sonraki videoda görüşmek üzere.