Bir fonksiyon çizelim.
Bu fonksiyonun limitini alalım.
Şİmdilik sadece çizeceğim.
Daha sonra belirli örnekler yapacağız.
Bu benim y eksenim ve bu x eksinim.
Fonksiyon şöyle bir şeye benzesin.
Oldukça anlaşılır bir fonksiyon çizeceğim.
Diyelim bu bir doğru olsun.
Bazı noktalarında da bir boşluk olsun.
x=a, yani orada tanımsız.
Görebilmeniz için bu noktayı siyah yapıyorum.
Burada tanımlı değil.
Ve bu nokta x=a.
BU x ekseni, bu y=f(x) ekseni.
Ya da sadece y ekseni diyelim.
Buna f(x) diyelim.
Hatta y=f(x) diyelim.
Şimdiye kadar bir sürü limit videosu yaptık.
Limitin ne olduğunu anladığınızı düşünüyorum.
Eğer ben limit x a'ya yaklaşırken dersem.
Bu noktaya L diyelim.
Bunu daha önceki videolardan biliyoruz.
Öncelikle şöyle yazalım.
Limit x a'ya yaklaşırken f(x).
Her iki taraftan yaklaşırsak bu sezgisel olarak ne anlama geliyor?
Bu taraftan yaklaşırsak f(x) neye yaklaşır?
f(x) neye yaklaşır?
Yani x burada, f(x) burada.
x buradayken f(x) burada.
L'ye yaklaştığını görüyoruz.
Bu taraftan da a'ya yaklaşıyoruz.
Sadece sol ya da sağdan yaklaşan limitler yaptık.
Aslında limit potizif yönden de negatif yönden de aynı şeye yaklaşmalı.
Fakat buradan gelirken burada bir x seçelim mesela.
O zaman f(x) de tam burada.
Eğer x burada olursa o zaman o da burada olur.
Böylece gittikçe a'ya yaklaşırız. f(x) L noktasına ya da L değerine yaklaşır.
Böylece x a'ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti L'ye eşittir.
Anlaşıldığını düşünüyorum.
Aslında bu limtin ne olduğunu anlatmak için yeterli değil.
" "
Şimdiye kadar anlattıklarım f(x)'in neye yaklaştığını anlamamıza yardımcı oluyor.
f(x) neye yaklaşıyor?
Yani bu videoda size limitin tanımını vermeye çalışacağım.
Çok daha fazla matematiksel anlamı olan bir tanım.
Şöyle diyelim.
x bu değere yaklaşırsa, f(x) neye yaklaşır?
Küçük bir oyun gibi.
Bu ifade şunu söyler.
Bu nokta etrafında her zaman bir değer kümesi verebilirim.
Değer kümesinden bahsederken söylediğim şey tüm tanım kümesi değil.
Sadece değer kümesi.
Burada bir aralık verelim.
Size garanti edebilirim ki f(x) verilen aralıktan daha öteye gitmeyecek.
Size garanti edebilirim ki f(x) verilen aralıklıktan daha öteye gitmeyecek.
Ben bunu küçük bir oyun gibi düşünüyorum.
Diyelim ki siz dediklerime inanmıyorsunuz.
f(x)'in L'nin 0.5 aralığında bulunup bulunmayacağını görmek istiyorsunuz.
Diyelim ki bana 0.5 değerini veriyorsunuz.
Bu tanımla size bir değer kümesi gösterebilmem gerektiğini söylüyorsunuz.
f(x)'in L'nin 0.5 aralığına düşüp düşmediğini gösteren bir değer kümesi.
f(x)'in değerleri hep buradaki değer kümesinde olacak.
a etrafındaki değer kümesinde olduğum sürece, bana verdiğiniz değer kümesinde olduğum sürece, f(x) her zaman limit noktasına en az o kadar yakın olacaktır.
Daha büyük bir grafik çizeyim.
Tekrar tekrar aynı grafiğin üstüne yazıp durdum.
Diyelim ki bu f(x) ve bu boş noktamız.
Orada bir boşluk olmasına gerek yok.
Limit aslında fonksiyonun değerine eşit olabilir.
Ancak orada fonksiyonun tanımlı olmaması ama limtin tanımlı olması daha ilginç.
" "
Eksenleri tekrar çizelim.
Bu x ekseni, bu y ekseni, bu limit noktası L.
Bu a noktası.
Şimdi şuraya geri dönelim.
Tekrar anlatmak istiyorum.
Burada limitin epsilon delta tanımı şunu söylemek istiyor.
Siz L noktası etrafında istediğiniz bir aralığı verin.
" "
Aslında bu aralığa gelin epsilon(ϵ) diyelim.
Böylece tanımla aynı şekilde ilerliyoruz.
" "
Yani L'den, epsilondan daha uzak olmayan bir yerde olmak istiyorsnunz.
epsilon(ϵ) her hangi sıfırdan büyük bir gerçel sayı olabilir.
Bu aralığa epsilon(ϵ) diyoruz.
Bu aralık da epsilon(ϵ).
" "
Burası L+ϵ olur.
Burası L-ϵ olur.
epsilon delta tanımında epsilonun ne olduğunun önemi yoktur.
Her zaman a etrafında bir aralık belirleyebilirim.
Bunu da delta diye adlandıralım.
Her zaman a etrafında bir aralık belirleyebilirim.
Diyelim ki buradaki a'dan küçük delta.
Bu da a'dan büyük delta.
Bu da delta harfi:δ
Seçtiğiniz x a+δ ile a-δ arasında olmalı.
Seçtiğiniz x a+δ ile a-δ arasında olduğu sürece, size garanti ebilirim ki f(x) değer kümesi içinde olacaktır.
x eğer a+δ ile a-δ arasındaysa, o zaman f(x) de değer kümesi içinde olur.
Seçtiğiniz x eğer a+δ ile a-δ arasındaysa, f(x)'in değer kümesi içinde olacağını garanti edebilirim.
Bunun anlamlı olduğunu düşünüyorsunuz değil mi?
Aslında söylediği şudur.
İstediğiniz kadar yaklaşın.
İstediğiniz kadar dediğim zaman siz bunu bana bir epsilon vererek tanımlıyorsunuz.
Küçük bir oyun gibi.
x'in yaklaştığı nokta etrafında bir değer kümesi vererek limit noktasına istediğiniz kadar yaklaşabilirsiniz.
a etrafında değer kümesi içinde bir x seçtiğiniz sürece size f(x)'in belirlerdiğiniz değer kümesi içinde olacağını garanti edebilirim.
Bunu daha somutlaştıralım.
Önce sayıları somutlaştıralım.
Diyelim bu 2 ve bu 1.
Limit x 1'e yaklaşırken f(x), aslında burada f(x) tanımlamadım.
Ancak boşluğu olan bir doğru gibi görünüyor.
Limit x 1'e yaklaşırken f(x)=2
Bu bana herhabgi bir sayı verebileceğiniz anlamına geliyor.
Diyelim ki bir kaç örnekle denemek istiyorsunuz.
Öncelikle rengi değiştireyim.
f(x)'in 0.5 ile 2 arasında olmasını istiyorum.
f(x)'in 2.5 ile 1.5 arasında olmasını istiyorum.
" "
Keyfi bir aralık seçelim.
Mesela 0.9 ile 1.1.
Böylece bu durumda limit noktasından delta 0.1.
x'i bu 0.1 aralığında seçtiğiniz sürece size garanti edebilirim ki f(x) o değer kümesinde olacak.
Umuyorum ki sizin için biraz anlamlı olmuştur bunlar.
Esas epsilon delta tanımını yapayım.
Bu tanımı matematik kitaplarınızda göreceksiniz.
Sonra bir kaç örnek yapacağız.
Açık olmak gerekirse bu spesifik bir örnekti.
Siz bana bir epsilon verdiniz ve ben de uygun bir delta verdim.
Eğer bu tanım doğruysa, sadece belirli bir örnek için çalışmaz.
Vereceğiniz herhangi bir sayı için de çalışır.
Mesela herhangi bir sayı diyebilirsiniz.
2'ye çok fazla yaklaşabilrsiniz.
Ben de size her zaman bu nokta etrafında bir değer kümesi verebilirim, x'i o değer kümesinde seçtiğiniz sürece.
f(x) de her zaman belirlediğiniz a değer kümesinde olacak.
" "
Tabii ki x=a olduğu zaman da ne olacağını garantileyebilirim.
Bu değer kümesinde a'ya eşit olmayan bir x seçtiğiniz sürece her şey yolunda.
" "
x a'ya eşit olmadığı sürece, f(x) belirlediğiniz değer kümesinde olacak.
Bunu biraz daha netleştirelim.
Şimdiye kadar sadece kelimelerle ifade ettim.
Bunu zaten matematik kitaplarında da görüyorsunuz.
Bana 0'dan büyük bir epsilon veriyorsunuz.
Her neyse, bu bir tanım değil mi?
Eğer biri bunu yazdıysa, onlara 0'dan büyük herhangi bir epsilon verebileceğiniz anlamına gelir bu.
Sonra onlar size bir delta verecekler.
Unutmayın, epsilon f(x)'in limit noktanıza ne kadar yakın olmasını istediğinizi gösterir.
Değil mi?
f(x) etrafında bir değer kümesi.
a etrafında bir değer kümesi olan bir delta verecekler.
Bunu yazalım.
Limit x a'ya yaklaşırken f(x)=L.
Yani size bir delta verecekler.
x'in a'dan büyük olmaması gerekiyor.
x ile a arasındaki mesafenin 0'dan büyük olması gerekiyor.
a noktası üzerinde x görünmez.
O noktada fonksiyon tanımsız olur çünkü.
x ile a arasındaki mesafe 0'dan büyük ve verilen x değer kümesinden küçük olacak.
Yani x ile a arasındaki mesafe deltadan küçük olacak.
0<│x-a│<δ
x eksenini daha büyük çizelim.
Bu a ve bu uzaklık δ.
Bu uzaklık da δ.
Seçtiğiniz x'in buraya düşmesi gerekir.
Burası olabilir ya da burası da olabilir.
Seçtiğiniz x buraya düştüğü sürece, fonkisyon ve limit noktası arasındaki uzaklığın epsilondan küçük olacağını garanti edebilirim.
Mesela burada bir x noktası alıyorsunuz.
Sonra o noktada f(x)'i hesaplıyorsunuz.
f(x) ile limit noktası arasındaki uzaklık sizin verdiğiniz sayıdan küçük olacak.
│f(x)- L│< ϵ
Aslında düşünürseniz çok karışık gibi görünüyor.
Aslında bu konu matematikte hangi sırada öğretilmeli emin değilim.
" "
Belki 3. haftada öğretilmeli.
Türevden bile önce.
" "
Matematiği bir kere çalışmaya başlayınca gittikçe ilerliyorsunuz.
Çalıştıkça daha başarılı oluyorsunuz.
Bütün bu yaptıklarımız anlaşıldı. Değil mi?
Sezgisel olarak bir şeyler ifade etti mi?
" "
x'in a değerine yaklaştığı kadar f(x) de L değerine yaklaşacak.
" "
Mesela şöyle söyleyebilirsiniz.
Çok çok yakın olmak istiyorum.
" "
Mesela f(x)'e uzaklığın 0.0000001 olmasını isteyebilirsiniz.
x etrafında öyle bir uzaklık olacaktır.
Bu videoda zamanımız bitti.
Bir sonraki videoda bazı örnekler yapacağız.
Bu tanımı kullanarak limiti ve bazı limit ifadelerini kanıtlayacağım.
Umarım ki biliyorsunuzdur.
Somut rakamlar kullandığınız zaman bu tanım size daha anlamlı gelecektir.
Bir sonraki videoda görüşmek üzere.