극한이 흥미로운 함수를 생각해봅시다
그려볼 건데요
일단 지금은 시각적으로만 그리고요
나중에 좀 더 구체적으로 볼 겁니다
이게 y축이고, 이게 x축이죠
자 함수가 대충 이렇게 생겼다고 해봅시다
좀 단순한 함수로 만들어 보겠습니다
거의 대부분의 점에서 그냥 직선인데요
그냥 직선인데, 대신 어떤 점에서
구멍이 있다고 해보죠
x=a일 때요. 정의가 안 되어 있는 거예요
구멍을 확실히 뚫어서 저기에서 정의가 안 되어 있다는 걸
확실히 할게요
저 점이 x=a입니다
이게 지금 x축이고, 이게 y=f(x) 축이죠
그냥 y축이라고 부르도록 하죠
그리고 이걸 f(x)라고 합시다
y=f(x)죠
이제 극한에 관해서는 꽤 많은 강의를 진행했죠
아마 직관은 충분히 갖추셨을 거라 생각하는데요
x가 a로 갈 때의 극한을 생각하고 싶어요
여기 이 점을 L이라고 해보죠
앞서 진행한 강의에서 이 극한에 대해 배웠죠
이렇게 쓸 수가 있습니다. x가 a로 갈 때,
f(x)의 극한.
직관적으로는 이게 무슨 뜻이냐면 x가 a로 갈 때
방향은 어느쪽이든지 상관 없는데, 이 쪽에서 접근한다면
f(x)는 어디로 가죠?
x가 여기면 f(x)는 여기고요
x가 여기면 f(x)는 여기죠
여기 이 L로 접근하고 있는 것이 쉽게 확인이 됩니다
또 x가 a로 이쪽에서 접근하면요
지금 왼쪽이든 오른쪽이든 한 방향의 극한에 대해서만 보고 있지만
이 함수가 극한을 가지려면 양쪽의 극한이,
즉 양의 방향과 음의 방향에서 같은 값으로 접근을 해야한다는 걸 알고 있죠
이쪽에서 가는 걸 볼 때요 이 x에 대해 f(x)는 여기죠
f(x)가 딱 이 점이고요
x가 여기로 가면 이건 여기로 가고,
x가 a에 점점 가까워질 때마다 f(x)는 L에 가까이 가겠죠. 값 L로요
즉 x가 a로 갈 때 f(x)의 극한이
L이라고 말할 수 있습니다
그런 직관은 이미 갖추셨을 거예요
하지만 이런 극한의 정의는 전혀 엄밀하지 않습니다
정확히 극한이 무엇인가를 이야기할 때에
설명이 안 되죠
지금까지가 말한 거라고 해봐야 x가 a로 접근할 때
f(x)가 뭘로 접근하냐 정도였습니다
그래서 이번 강의에는 극한의 새로운 정의를 배울 겁니다
수학적으로 좀 더 엄밀한 정의
아니, 상당히 더 엄밀한 정의죠. 단순히 x가 어디로 가까이 갈 때
f(x)는 어디로 가까이 갈까? 하는 것보다는 말이에요
저는 이 정의를 하나의 게임과도 같다고 생각합니다
정의를 이렇게 합니다. 여기 이 명제가 의미하는 게 뭐냐면요
이 점에 해당하는 영역을 생각하는데요
함수의 정의역, 공역 하는 그런 영역이 아니라
단순한 구간을 말하는 겁니다
a에 어떤 거리가 주어져서 a에서 그 거리보다 더 멀지 않으면
f(x)가 L로부터 어떤 주어진 거리보다
더 가깝다는 것이 보장된다는 것이죠
전 이걸 이렇게 생각합니다
일종의 게임이죠
만약 여러분이 이런다고 칩시다. "Sal, 네가 말하는 거 못 믿겠어.
네가 어디 f(x)를 L에 음, 0.5보다 가깝게 할 수 있는지 보자고."
즉 여러분이 0.5라는 수를 주고 이렇게 말하는 겁니다
"Sal, 이 정의에 따르면 너는 x가 구간 안에 있을 때
f(x)가 L에 0.5만큼 가까워지는 그런 a 근방의 구간을 제시할 수 있어야 돼."
즉 f(x)의 값들이 여기 이 구간 안에 들어가게 말이죠
이 구간에요
즉 a 근방의 구간 안에 있는 한
제시된 구간 안에 있는 한 f(x)가 우리가 극한을 이야기하는 점에
여러분이 제시한 만큼 충분히 가까워진다는 겁니다
이걸 조금만 더 크게 그려볼게요
같은 그림을 너무 재활용하고 있으니까요
이게 f(x)라고 해봅시다 여기가 구멍이 있는 위치고요
꼭 구멍이 있어야 되는 건 아닙니다
물론 극한값이 실제 함숫값과 같을 수도 있어요
하지만 함수가 정의가 안 되고 극한은 존재하는 경우가
좀 더 흥미롭죠
그러니까 이 점을 보는데요-- 축들을 좀 다시 그리는 게 좋겠군요
이게 x축, y축이고 x, y
여기가 극한이 있는 곳 L이고, 여기가 a겠죠
그러니까 극한의 정의를 다시 보면요
큰 그림을 새로 그렸으니까 한 번 더 설명하겠습니다
이건 무슨 뜻이냐면요, 이게 극한의 ε-δ 정의인데요
ε과 δ에 대해서는 금방 얘기할 겁니다
정의가 어떻게 되냐면 f(x)가
L에 얼마나 가깝게 하고 싶은지 아무 거리나 줘 보세요
그냥 이 거리를 ε이라고 합시다
그냥 한 번에 정의까지
다 해버리죠
즉 여러분은 L에 ε 이하의 거리만큼 가까이 있게 하고 싶은 겁니다
ε은 어떤 수도 괜찮습니다
임의의 양의 실수면 돼요
즉 이 거리가 ε이 되는 거예요
이 거리가 ε이에요
즉 어떤 ε (엡실론), 임의의 양수를 제시할 때
이 값이 L+ε이 될 거고요
여기가 L-ε가 되겠죠
ε-δ 정의에 따르면 이 ε이 얼마든 간에
언제나 a 주변의 어떤 거리를 특정할 수가 있습니다
그 거리를 δ라고 하겠습니다
a 주변의 거리를 특정한 거예요
이 점이 a-δ가 될 거고요
여기가 a+δ가 되죠
이게 δ (델타) 입니다
a+δ와 a-δ에 있는 어떤 x를 보면,
그 구간 안에 있는 어떤 x에 대해서도
f(x), 그에 해당하는 f(x)가 제시한 구간 안에 떨어진다는 걸
보장할 수가 있다는 거죠
생각해보면 분명 말이 되죠?
본질적으로 무슨 이야기냐면 주어진 극한값에
원하는 만큼 가까워질 수 있다는 얘기죠. 여기서 원하는 만큼이란 건
얼마나 원하는지의 척도를 ε을 제시함으로써 정의하고요
여기가 게임같은 부분인데,
x가 접근하는 값 주변의 구간을 따짐으로써 원하는 만큼 극한값에 가까워진다는
그런 얘기죠
이 a 주변의 구간 안에 어떤 x를 골라도
이 a 근방에서 x를 고르기만 하면
f(x)가 여러분이 제시하는 구간 안에 포함되는 걸
보장할 수 있다는 얘기예요
조금 더 구체적으로 표현을 해보자면요
예컨대 f(x)를 0.5만큼 가깝게 해봅시다. 숫자들을 특정해 보자는 거죠
좀 덜 추상적으로요
이게 2고 이게 1이라고 합시다
즉 x가 1로 갈 때 f(x)의 극한이,
물론 f(x)를 정의하지는 않았지만 구멍 뚫린 직선처럼 생긴 함수죠
극한이 2라고 해봅시다
이게 무슨 뜻이냐면 아무 수나 저한테 줘 보세요
몇 가지 특수한 상황에 대해 확인하고 싶다고 합시다
예컨대 f(x)를 얼마나 가깝게 하냐면요
좀 다른 색으로 칠해봅시다. 예컨대 f(x)를 2에 0.5만큼 가깝게 하고 싶어요
즉 1.5 < f(x) < 2.5가 되도록 하고 싶죠
그럼 이렇게 말할 수 있으면 됩니다 x를 구간 안에서 잡는데
임의로 가깝게 잡을 건데요
이 함수에 대해서 구간을 어떻게 잡냐면요
글쎄요, 예컨대 이 함수에 대해서 0.9 < x < 1.1이면 된다고 해 봐요
즉 이 경우 δ=0.1이 되겠죠
x가 이 점, 그러니까 1에 0.1만큼 가까우면
f(x)가 이 범위 안에 들어가는 것을
보장할 수 있다는 겁니다
좀 감을 잡으셨기를 바랍니다
이제 진짜 ε과 δ를 이용해서 정의해 보겠습니다
여러분 수학 교과서에 나와 있는 형태로요
그 다음에 예를 몇 개 들어볼게요
확실하게 해두자면 방금 한 건 그냥 특수한 예입니다
여러분이 한 ε을 제시한 거고 제가 성립하는 δ를 제시한 거죠
하지만 정의상 이게 참이라고 하면
누가 이 표현을 쓴다고 하면 그건 어떤 특수한 경우에만 성립한다는 얘기가 아니고
어떤 수를 제시하든 간에 항상 성립한다는 얘기를 하고 있는 겁니다
100만분의 1만큼 가깝게 하고 싶을 수도 있고요,
2의 10^-100승만큼 가깝게 하고 싶을 수도 있죠
2에 상당히 가깝게 말이죠. 그럼 언제나 이 점 근방의 구간을 제시해서
그 구간 안에서 x를 잡기만 하면 f(x)의 값이
여러분이 특정했던 그 구간 안에 항상 들어가게 된다는 얘기입니다
10조분의 1만큼 가깝게 하고 싶어도 말이죠
얼마든지 가깝게
물론 유일하게 보장할 수 없는 경우가 있죠
x=a인 경우입니다
x가 a 주변의 구간 안에 있을 때 항상 성립한다는 얘기인데
정확히 a가 아닐 때는 성립한다는 거죠
f(x)가 원하는 특정한 구간 안에 들어간다는 거죠
지금까지는 말로만 계속 설명했는데요
수학적으로 확실히 표현을 하자면요, 이게 여러분 교과서에 있는 형태죠
일단 임의의 ε을 제시합니다
양수로요
이게 하나의 정의잖아요?
누가 이렇게 썼다고 하면 그 사람은 무슨 말을 하고 싶은 거냐면
그 사람한테 어떤 ε>0을 제시하더라도 그가 해당하는 δ를 제시해 줄 수 있는데
ε은 우리의 극한값에 f(x)가 얼마나 가깝게 하고 싶은지
그 값인 건 기억하시죠?
f(x) 주변의 하나의 구간인데요, 그 사람은 δ를 줄 겁니다
즉 a 주변의 하나의 구간을 주겠죠?
한 번 써볼게요
x가 a로 갈 때 f(x)의 극한이 L이다
즉 어떤 양수 δ가 있어서 x가 δ보다,
그러니까 x와 a 사이의 거리가 δ보다 작게 x를 여기서 고른다고 하면
다른 색으로 해볼게요-- x를 여기서 고른다고 하면
그 값과 a 사이의 거리를 볼 때
그게 0보다 클 때에요, x가 a면 안 되니까요
그 점에서 함수가 정의가 안 되었을 수도 있거든요
어쨌든 x와 a 사이의 거리가 0보다 크고
x에 해당하는 이 구간의 길이보다 작을 때,
즉 δ보다 작을 때죠
그렇게 x를 잡을 때, 만약 여기서 좀 더 확대해서
x축을 본다고 하면 여기가 a고 지금 이 거리
거리가 δ이고 또 이 거리가
δ라고 했을 때 x값을 이 안에서 잡으면
즉 이 값을 고르든 이 값을 고르든, 이 값을 고르든 상관없이
이 안에서 어떤 x값을 고른다고 하면
함숫값과 극한값 사이의 거리가,
즉 구간 안에서 한 값을 고르고
그 x값에서 f의 값을 계산했을 때
f(x)와 극한값 사이의 거리가
처음에 제시했던 ε보다 작아진다는 겁니다
사실 생각해보면 좀 굉장히 복잡한 내용이죠
이게 대부분의 미적분학 교육과정에 포함되어 있다는 사실에 대해서는
좀 복잡한 감정이 있는데요
이 내용이 보통 한 3주차 내용 쯤에 등장을 하죠
미분에 대해서 배우기도 전에 말이에요. 또 수학적으로도 복잡하고
엄밀하고 어려운 내용이라서 말이죠
많은 학생들이 미적분 공부를 접게 만들기도 하고
직관적으로도 이해하는 학생들이 별로 많지 않지만
수학적으론 아주 엄밀한 개념이거든요
일단 좀 더 공부를 할 때는 아주 유용한 개념이 됩니다
더 복잡한 미적분학을 배운다든지 수학을 전공한다든지 하면 말이죠
그래도 일단 직관적으로는
감이 좀 오시죠?
왜냐면 이 얘기를 하기 전에 이미 극한에 대해 얘기를 많이 했거든요
x가 이 값에 가까이 가면
f(x)가 이 값에 가까이 간다는 거
그리고 그걸 수학적으로 정의하는 방법은 여러분이
"Sal, 나 진짜 가까이 가고 싶어요."
"f(x)랑 L 사이의 거리가, 한
0.000000001쯤 되게 하고 싶어요." 그러면 제가
a까지의 어떤 거리를 줘서 그 거리 안에선 항상 그게 성립하도록 할 수 있다는 거죠
이 강의에서는 이제 시간이 없군요
다음 강의에서는 몇 가지 예를 들어볼게요
극한에 관한 몇 가지 식을 이 정의를 이용해서
증명해 보겠습니다
이런 정의는 구체적인 수를 가지고 이야기하면
좀 더 이해하기 쉽다는 걸 기억해두시면 좋을 것 같네요
다음 강의에서 뵙죠.