0:00:00.900,0:00:02.810
극한이 흥미로운 함수를 생각해봅시다

0:00:02.810,0:00:04.490
그려볼 건데요

0:00:04.490,0:00:06.880
일단 지금은 시각적으로만 그리고요

0:00:06.880,0:00:08.390
나중에 좀 더 구체적으로 볼 겁니다

0:00:08.390,0:00:11.870
이게 y축이고, 이게 x축이죠

0:00:11.870,0:00:14.180
자 함수가 대충 이렇게 생겼다고 해봅시다

0:00:14.180,0:00:15.950
좀 단순한 함수로 만들어 보겠습니다

0:00:15.950,0:00:19.760
거의 대부분의 점에서 그냥 직선인데요

0:00:19.760,0:00:23.100
그냥 직선인데, 대신 어떤 점에서

0:00:23.100,0:00:27.080
구멍이 있다고 해보죠

0:00:27.080,0:00:28.690
x=a일 때요.[br]정의가 안 되어 있는 거예요

0:00:28.690,0:00:32.030
구멍을 확실히 뚫어서[br]저기에서 정의가 안 되어 있다는 걸

0:00:32.030,0:00:33.110
확실히 할게요

0:00:33.110,0:00:38.780
저 점이 x=a입니다

0:00:38.780,0:00:45.180
이게 지금 x축이고,[br]이게 y=f(x) 축이죠

0:00:45.180,0:00:47.120
그냥 y축이라고 부르도록 하죠

0:00:47.120,0:00:51.030
그리고 이걸 f(x)라고 합시다

0:00:51.030,0:00:53.880
y=f(x)죠

0:00:53.880,0:00:55.740
이제 극한에 관해서는[br]꽤 많은 강의를 진행했죠

0:00:55.740,0:00:57.160
아마 직관은 충분히 [br]갖추셨을 거라 생각하는데요

0:00:57.160,0:00:59.850
x가 a로 갈 때의 극한을 생각하고 싶어요

0:00:59.850,0:01:04.020
여기 이 점을 L이라고 해보죠

0:01:04.020,0:01:06.480
앞서 진행한 강의에서 이 극한에 대해 배웠죠

0:01:06.480,0:01:10.940
이렇게 쓸 수가 있습니다.[br]x가 a로 갈 때,

0:01:10.940,0:01:13.690
f(x)의 극한.

0:01:13.690,0:01:17.560
직관적으로는 이게 무슨 뜻이냐면[br]x가 a로 갈 때

0:01:17.560,0:01:20.980
방향은 어느쪽이든지 상관 없는데,[br]이 쪽에서 접근한다면

0:01:20.980,0:01:22.290
f(x)는 어디로 가죠?

0:01:22.290,0:01:27.030
x가 여기면 f(x)는 여기고요

0:01:27.030,0:01:29.490
x가 여기면 f(x)는 여기죠

0:01:29.490,0:01:33.080
여기 이 L로 접근하고 있는 것이[br]쉽게 확인이 됩니다

0:01:35.950,0:01:40.320
또 x가 a로 이쪽에서 접근하면요

0:01:40.320,0:01:42.200
지금 왼쪽이든 오른쪽이든[br]한 방향의 극한에 대해서만 보고 있지만

0:01:42.200,0:01:44.750
이 함수가 극한을 가지려면[br]양쪽의 극한이,

0:01:44.750,0:01:48.670
즉 양의 방향과 음의 방향에서[br]같은 값으로 접근을 해야한다는 걸 알고 있죠

0:01:48.670,0:01:52.380
이쪽에서 가는 걸 볼 때요[br]이 x에 대해 f(x)는 여기죠

0:01:52.380,0:01:54.440
f(x)가 딱 이 점이고요

0:01:54.440,0:01:57.460
x가 여기로 가면 이건 여기로 가고,

0:01:57.460,0:02:03.860
x가 a에 점점 가까워질 때마다[br]f(x)는 L에 가까이 가겠죠. 값 L로요

0:02:03.860,0:02:06.600
즉 x가 a로 갈 때 f(x)의 극한이

0:02:06.600,0:02:07.960
L이라고 말할 수 있습니다

0:02:07.960,0:02:09.640
그런 직관은 이미 갖추셨을 거예요

0:02:09.640,0:02:13.360
하지만 이런 극한의 정의는 [br]전혀 엄밀하지 않습니다

0:02:13.360,0:02:15.480
정확히 극한이 무엇인가를 이야기할 때에

0:02:15.480,0:02:16.290
설명이 안 되죠

0:02:16.290,0:02:19.340
지금까지가 말한 거라고 해봐야[br]x가 a로 접근할 때

0:02:19.340,0:02:21.440
f(x)가 뭘로 접근하냐 정도였습니다

0:02:21.440,0:02:27.360
그래서 이번 강의에는 극한의[br]새로운 정의를 배울 겁니다

0:02:27.360,0:02:29.360
수학적으로 좀 더 엄밀한 정의

0:02:29.360,0:02:32.180
아니, 상당히 더 엄밀한 정의죠.[br]단순히 x가 어디로 가까이 갈 때

0:02:32.180,0:02:36.990
f(x)는 어디로 가까이 갈까?[br]하는 것보다는 말이에요

0:02:36.990,0:02:39.290
저는 이 정의를 하나의[br]게임과도 같다고 생각합니다

0:02:39.290,0:02:48.640
정의를 이렇게 합니다.[br]여기 이 명제가 의미하는 게 뭐냐면요

0:02:48.640,0:02:55.150
이 점에 해당하는 영역을 생각하는데요

0:02:55.150,0:02:57.190
함수의 정의역, 공역 하는[br]그런 영역이 아니라

0:02:57.190,0:03:00.960
단순한 구간을 말하는 겁니다

0:03:00.960,0:03:05.980
a에 어떤 거리가 주어져서[br]a에서 그 거리보다 더 멀지 않으면

0:03:05.980,0:03:12.360
f(x)가 L로부터 어떤 주어진 거리보다

0:03:12.360,0:03:16.160
더 가깝다는 것이 보장된다는 것이죠

0:03:16.160,0:03:18.030
전 이걸 이렇게 생각합니다

0:03:18.030,0:03:18.490
일종의 게임이죠

0:03:18.490,0:03:21.840
만약 여러분이 이런다고 칩시다.[br]"Sal, 네가 말하는 거 못 믿겠어.

0:03:21.840,0:03:29.900
네가 어디 f(x)를 L에 음,[br]0.5보다 가깝게 할 수 있는지 보자고."

0:03:29.900,0:03:37.460
즉 여러분이 0.5라는 수를 주고[br]이렇게 말하는 겁니다

0:03:37.460,0:03:39.760
"Sal, 이 정의에 따르면 너는[br]x가 구간 안에 있을 때

0:03:39.760,0:03:46.330
f(x)가 L에 0.5만큼 가까워지는[br]그런 a 근방의 구간을 제시할 수 있어야 돼."

0:03:46.330,0:03:49.980
즉 f(x)의 값들이 여기 이 구간 안에 들어가게 말이죠

0:03:49.980,0:03:51.160
이 구간에요

0:03:51.160,0:03:54.300
즉 a 근방의 구간 안에 있는 한

0:03:54.300,0:03:57.890
제시된 구간 안에 있는 한[br]f(x)가 우리가 극한을 이야기하는 점에

0:03:57.890,0:04:00.030
여러분이 제시한 만큼[br]충분히 가까워진다는 겁니다

0:04:02.820,0:04:07.830
이걸 조금만 더 크게 그려볼게요

0:04:07.830,0:04:10.870
같은 그림을 너무 재활용하고 있으니까요

0:04:10.870,0:04:16.770
이게 f(x)라고 해봅시다[br]여기가 구멍이 있는 위치고요

0:04:16.770,0:04:19.340
꼭 구멍이 있어야 되는 건 아닙니다

0:04:19.340,0:04:21.020
물론 극한값이 실제 함숫값과 [br]같을 수도 있어요

0:04:21.020,0:04:22.560
하지만 함수가 정의가 안 되고[br]극한은 존재하는 경우가

0:04:22.560,0:04:23.910
좀 더 흥미롭죠

0:04:23.910,0:04:28.770
그러니까 이 점을 보는데요--[br]축들을 좀 다시 그리는 게 좋겠군요

0:04:31.530,0:04:44.010
이게 x축, y축이고[br]x, y

0:04:44.010,0:04:47.310
여기가 극한이 있는 곳[br]L이고, 여기가 a겠죠

0:04:47.310,0:04:49.630
그러니까 극한의 정의를 다시 보면요

0:04:49.630,0:04:52.690
큰 그림을 새로 그렸으니까[br]한 번 더 설명하겠습니다

0:04:52.690,0:04:58.090
이건 무슨 뜻이냐면요,[br]이게 극한의 ε-δ 정의인데요

0:04:58.090,0:05:01.260
ε과 δ에 대해서는 금방 얘기할 겁니다

0:05:01.260,0:05:05.790
정의가 어떻게 되냐면 f(x)가

0:05:05.790,0:05:08.860
L에 얼마나 가깝게 하고 싶은지[br]아무 거리나 줘 보세요

0:05:08.860,0:05:10.450
그냥 이 거리를 ε이라고 합시다

0:05:10.450,0:05:12.590
그냥 한 번에 정의까지

0:05:12.590,0:05:13.050
다 해버리죠

0:05:13.050,0:05:17.090
즉 여러분은 L에 ε 이하의 거리만큼[br]가까이 있게 하고 싶은 겁니다

0:05:17.090,0:05:19.510
ε은 어떤 수도 괜찮습니다

0:05:19.510,0:05:20.960
임의의 양의 실수면 돼요

0:05:20.960,0:05:24.320
즉 이 거리가 ε이 되는 거예요

0:05:24.320,0:05:27.810
이 거리가 ε이에요

0:05:27.810,0:05:30.480
즉 어떤 ε (엡실론), 임의의 양수를 제시할 때

0:05:30.480,0:05:36.810
이 값이 L+ε이 될 거고요

0:05:36.810,0:05:43.030
여기가 L-ε가 되겠죠

0:05:43.030,0:05:48.030
ε-δ 정의에 따르면 이 ε이 얼마든 간에

0:05:48.030,0:05:51.650
언제나 a 주변의 어떤 거리를 [br]특정할 수가 있습니다

0:05:51.650,0:05:54.000
그 거리를 δ라고 하겠습니다

0:05:54.000,0:05:57.710
a 주변의 거리를 특정한 거예요

0:05:57.710,0:06:02.320
이 점이 a-δ가 될 거고요

0:06:02.320,0:06:04.440
여기가 a+δ가 되죠

0:06:04.440,0:06:05.365
이게 δ (델타) 입니다

0:06:09.970,0:06:15.680
a+δ와 a-δ에 있는 어떤 x를 보면,

0:06:15.680,0:06:19.440
그 구간 안에 있는 어떤 x에 대해서도

0:06:19.440,0:06:23.160
f(x), 그에 해당하는 f(x)가[br]제시한 구간 안에 떨어진다는 걸

0:06:23.160,0:06:24.350
보장할 수가 있다는 거죠

0:06:24.350,0:06:26.060
생각해보면 분명 말이 되죠?

0:06:26.060,0:06:29.630
본질적으로 무슨 이야기냐면[br]주어진 극한값에

0:06:29.630,0:06:32.980
원하는 만큼 가까워질 수 있다는 얘기죠.[br]여기서 원하는 만큼이란 건

0:06:32.980,0:06:36.430
얼마나 원하는지의 척도를[br]ε을 제시함으로써 정의하고요

0:06:36.430,0:06:38.940
여기가 게임같은 부분인데,

0:06:38.940,0:06:43.000
x가 접근하는 값 주변의 구간을 따짐으로써[br]원하는 만큼 극한값에 가까워진다는

0:06:43.000,0:06:44.680
그런 얘기죠

0:06:44.680,0:06:49.420
이 a 주변의 구간 안에 어떤 x를 골라도

0:06:49.420,0:06:52.570
이 a 근방에서 x를 고르기만 하면

0:06:52.570,0:06:55.440
f(x)가 여러분이 제시하는 구간 안에 포함되는 걸

0:06:55.440,0:06:57.290
보장할 수 있다는 얘기예요

0:06:57.290,0:07:01.270
조금 더 구체적으로 표현을 해보자면요

0:07:01.270,0:07:04.490
예컨대 f(x)를 0.5만큼 가깝게 해봅시다.[br]숫자들을 특정해 보자는 거죠

0:07:04.490,0:07:05.380
좀 덜 추상적으로요

0:07:05.380,0:07:11.750
이게 2고 이게 1이라고 합시다

0:07:11.750,0:07:16.575
즉 x가 1로 갈 때 f(x)의 극한이,

0:07:16.575,0:07:18.880
물론 f(x)를 정의하지는 않았지만[br]구멍 뚫린 직선처럼 생긴 함수죠

0:07:18.880,0:07:21.480
극한이 2라고 해봅시다

0:07:21.480,0:07:23.820
이게 무슨 뜻이냐면 [br]아무 수나 저한테 줘 보세요

0:07:23.820,0:07:27.380
몇 가지 특수한 상황에 대해[br]확인하고 싶다고 합시다

0:07:27.380,0:07:30.220
예컨대 f(x)를 얼마나 가깝게 하냐면요

0:07:30.220,0:07:35.680
좀 다른 색으로 칠해봅시다.[br]예컨대 f(x)를 2에 0.5만큼 가깝게 하고 싶어요

0:07:35.680,0:07:39.970
즉 1.5 < f(x) < 2.5가 되도록 하고 싶죠

0:07:39.970,0:07:45.650
그럼 이렇게 말할 수 있으면 됩니다[br]x를 구간 안에서 잡는데

0:07:45.650,0:07:48.190
임의로 가깝게 잡을 건데요

0:07:48.190,0:07:50.920
이 함수에 대해서 구간을 어떻게 잡냐면요

0:07:50.920,0:07:57.790
글쎄요, 예컨대 이 함수에 대해서[br]0.9 < x < 1.1이면 된다고 해 봐요

0:07:57.790,0:08:02.980
즉 이 경우 δ=0.1이 되겠죠

0:08:02.980,0:08:09.320
x가 이 점, 그러니까 1에 0.1만큼 가까우면

0:08:09.320,0:08:13.640
f(x)가 이 범위 안에 들어가는 것을

0:08:13.640,0:08:15.740
보장할 수 있다는 겁니다

0:08:15.740,0:08:17.220
좀 감을 잡으셨기를 바랍니다

0:08:17.220,0:08:19.750
이제 진짜 ε과 δ를 이용해서 정의해 보겠습니다

0:08:19.750,0:08:22.580
여러분 수학 교과서에 나와 있는 형태로요

0:08:22.580,0:08:24.110
그 다음에 예를 몇 개 들어볼게요

0:08:24.110,0:08:26.730
확실하게 해두자면[br]방금 한 건 그냥 특수한 예입니다

0:08:26.730,0:08:29.870
여러분이 한 ε을 제시한 거고[br]제가 성립하는 δ를 제시한 거죠

0:08:29.870,0:08:36.270
하지만 정의상 이게 참이라고 하면

0:08:36.270,0:08:40.290
누가 이 표현을 쓴다고 하면[br]그건 어떤 특수한 경우에만 성립한다는 얘기가 아니고

0:08:40.290,0:08:42.900
어떤 수를 제시하든 간에[br]항상 성립한다는 얘기를 하고 있는 겁니다

0:08:42.900,0:08:48.800
100만분의 1만큼 가깝게 하고 싶을 수도 있고요,

0:08:48.800,0:08:52.180
2의 10^-100승만큼 가깝게 하고 싶을 수도 있죠

0:08:52.180,0:08:55.590
2에 상당히 가깝게 말이죠. [br]그럼 언제나 이 점 근방의 구간을 제시해서

0:08:55.590,0:09:00.270
그 구간 안에서 x를 잡기만 하면[br]f(x)의 값이

0:09:00.270,0:09:03.540
여러분이 특정했던 그 구간 안에[br]항상 들어가게 된다는 얘기입니다

0:09:03.540,0:09:08.240
10조분의 1만큼 가깝게 하고 싶어도 말이죠

0:09:08.240,0:09:09.470
얼마든지 가깝게

0:09:09.470,0:09:11.270
물론 유일하게 보장할 수 없는 경우가 있죠

0:09:11.270,0:09:12.760
x=a인 경우입니다

0:09:12.760,0:09:15.580
x가 a 주변의 구간 안에 있을 때[br]항상 성립한다는 얘기인데

0:09:15.580,0:09:17.950
정확히 a가 아닐 때는 성립한다는 거죠

0:09:17.950,0:09:21.720
f(x)가 원하는 특정한 구간 안에 들어간다는 거죠

0:09:21.720,0:09:23.680
지금까지는 말로만 계속 설명했는데요

0:09:23.680,0:09:26.250
수학적으로 확실히 표현을 하자면요,[br]이게 여러분 교과서에 있는 형태죠

0:09:26.250,0:09:33.460
일단 임의의 ε을 제시합니다

0:09:33.460,0:09:35.810
양수로요

0:09:35.810,0:09:37.390
이게 하나의 정의잖아요?

0:09:37.390,0:09:41.730
누가 이렇게 썼다고 하면[br]그 사람은 무슨 말을 하고 싶은 거냐면

0:09:41.730,0:09:52.800
그 사람한테 어떤 ε>0을 제시하더라도[br]그가 해당하는 δ를 제시해 줄 수 있는데

0:09:52.800,0:09:56.590
ε은 우리의 극한값에 f(x)가 [br]얼마나 가깝게 하고 싶은지

0:09:56.590,0:09:57.760
그 값인 건 기억하시죠?

0:09:57.760,0:10:00.530
f(x) 주변의 하나의 구간인데요,[br]그 사람은 δ를 줄 겁니다

0:10:00.530,0:10:04.860
즉 a 주변의 하나의 구간을 주겠죠?

0:10:04.860,0:10:05.520
한 번 써볼게요

0:10:05.520,0:10:11.830
x가 a로 갈 때 f(x)의 극한이 L이다

0:10:11.830,0:10:15.210
즉 어떤 양수 δ가 있어서 x가 δ보다,

0:10:15.210,0:10:23.025
그러니까 x와 a 사이의 거리가 δ보다 작게[br]x를 여기서 고른다고 하면

0:10:23.025,0:10:27.950
다른 색으로 해볼게요--[br]x를 여기서 고른다고 하면

0:10:27.950,0:10:31.340
그 값과 a 사이의 거리를 볼 때

0:10:31.340,0:10:34.840
그게 0보다 클 때에요,[br]x가 a면 안 되니까요

0:10:34.840,0:10:37.980
그 점에서 함수가 [br]정의가 안 되었을 수도 있거든요

0:10:37.980,0:10:40.750
어쨌든 x와 a 사이의 거리가 0보다 크고

0:10:40.750,0:10:45.400
x에 해당하는 이 구간의 길이보다 작을 때,

0:10:45.400,0:10:46.450
즉 δ보다 작을 때죠

0:10:46.450,0:10:49.930
그렇게 x를 잡을 때,[br]만약 여기서 좀 더 확대해서

0:10:49.930,0:10:55.680
x축을 본다고 하면 여기가 a고[br]지금 이 거리

0:10:55.680,0:10:59.240
거리가 δ이고 또 이 거리가

0:10:59.240,0:11:03.920
δ라고 했을 때 x값을 이 안에서 잡으면

0:11:03.920,0:11:07.520
즉 이 값을 고르든 이 값을 고르든,[br]이 값을 고르든 상관없이

0:11:07.520,0:11:10.560
이 안에서 어떤 x값을 고른다고 하면

0:11:10.560,0:11:17.010
함숫값과 극한값 사이의 거리가,

0:11:17.010,0:11:19.670
즉 구간 안에서 한 값을 고르고

0:11:19.670,0:11:23.460
그 x값에서 f의 값을 계산했을 때

0:11:23.460,0:11:27.170
f(x)와 극한값 사이의 거리가

0:11:27.170,0:11:31.560
처음에 제시했던 ε보다 작아진다는 겁니다

0:11:31.560,0:11:36.470
사실 생각해보면[br]좀 굉장히 복잡한 내용이죠

0:11:36.470,0:11:38.690
이게 대부분의 미적분학 교육과정에[br]포함되어 있다는 사실에 대해서는

0:11:38.690,0:11:39.640
좀 복잡한 감정이 있는데요

0:11:39.640,0:11:42.345
이 내용이 보통 한 3주차[br]내용 쯤에 등장을 하죠

0:11:42.345,0:11:44.670
미분에 대해서 배우기도 전에 말이에요.[br]또 수학적으로도 복잡하고

0:11:44.670,0:11:47.560
엄밀하고 어려운 내용이라서 말이죠

0:11:47.560,0:11:49.720
많은 학생들이 미적분[br]공부를 접게 만들기도 하고

0:11:49.720,0:11:53.010
직관적으로도 이해하는 학생들이[br]별로 많지 않지만

0:11:53.010,0:11:54.050
수학적으론 아주 엄밀한 개념이거든요

0:11:54.050,0:11:56.910
일단 좀 더 공부를 할 때는[br]아주 유용한 개념이 됩니다

0:11:56.910,0:11:58.910
더 복잡한 미적분학을 배운다든지[br]수학을 전공한다든지 하면 말이죠

0:11:58.910,0:12:01.330
그래도 일단 직관적으로는

0:12:01.330,0:12:02.160
감이 좀 오시죠?

0:12:02.160,0:12:05.550
왜냐면 이 얘기를 하기 전에[br]이미 극한에 대해 얘기를 많이 했거든요

0:12:05.550,0:12:12.945
x가 이 값에 가까이 가면

0:12:12.945,0:12:13.960
f(x)가 이 값에 가까이 간다는 거

0:12:13.960,0:12:17.620
그리고 그걸 수학적으로[br]정의하는 방법은 여러분이

0:12:17.620,0:12:19.970
"Sal, 나 진짜 가까이 가고 싶어요."

0:12:19.970,0:12:22.180
"f(x)랑 L 사이의 거리가, 한

0:12:22.180,0:12:25.640
0.000000001쯤 되게 하고 싶어요."[br]그러면 제가

0:12:25.640,0:12:29.540
a까지의 어떤 거리를 줘서 그 거리 안에선 [br]항상 그게 성립하도록 할 수 있다는 거죠

0:12:29.540,0:12:31.320
이 강의에서는 이제 시간이 없군요

0:12:31.320,0:12:34.260
다음 강의에서는 몇 가지 예를 들어볼게요

0:12:34.260,0:12:38.120
극한에 관한 몇 가지 식을 이 정의를 이용해서

0:12:38.120,0:12:39.330
증명해 보겠습니다

0:12:39.330,0:12:43.370
이런 정의는 구체적인 수를 가지고 이야기하면

0:12:43.370,0:12:45.440
좀 더 이해하기 쉽다는 걸[br]기억해두시면 좋을 것 같네요

0:12:45.440,0:12:47.270
다음 강의에서 뵙죠.