WEBVTT 00:00:00.900 --> 00:00:02.810 Laissez-moi définir une fonction pour laquelle nous 00:00:02.810 --> 00:00:04.490 établirons une limite. 00:00:04.490 --> 00:00:06.880 Je la dessinerai visuellement pour l'instant, nous verrons 00:00:06.880 --> 00:00:08.390 des exemples spécifiques un peu plus tard. 00:00:08.390 --> 00:00:11.870 Donc voici mon axe y, et mon axe x. 00:00:11.870 --> 00:00:14.180 Et disons que la fonction ressemble à-- 00:00:14.180 --> 00:00:15.950 Prenons une fonction simple 00:00:15.950 --> 00:00:19.760 -- disons qu'elle est linéaire, en partie. 00:00:19.760 --> 00:00:23.100 Disons comme ceci, à l'exception d'une 00:00:23.100 --> 00:00:27.080 discontinuité au point 00:00:27.080 --> 00:00:28.690 x=a, elle est donc indéfinie ici. 00:00:28.690 --> 00:00:32.030 Laissons le point vide pour voir qu'elle 00:00:32.030 --> 00:00:33.110 n'est pas définie ici. 00:00:33.110 --> 00:00:38.780 Ce point est x=4. 00:00:38.780 --> 00:00:45.180 Donc cet axe est y=f(x). 00:00:45.180 --> 00:00:47.120 Disons seulement l'axe y. 00:00:47.120 --> 00:00:51.030 Et disons que ceci est f(x), ou ceci est 00:00:51.030 --> 00:00:53.880 y=f(x). 00:00:53.880 --> 00:00:55.740 Nous avons vu plusieurs vidéos sur les limites. 00:00:55.740 --> 00:00:57.160 Je crois que vous commencez à saisir. 00:00:57.160 --> 00:00:59.850 Si je voulais connaître la limite quand x tend vers a, 00:00:59.850 --> 00:01:04.020 et appelons ce point L. 00:01:04.020 --> 00:01:06.480 Nous savons grâce aux vidéos précédents que-- bien premièrement 00:01:06.480 --> 00:01:10.940 je pourrais l'écrire-- la limite lorsque x tend vers 00:01:10.940 --> 00:01:13.690 a de f(x). 00:01:13.690 --> 00:01:17.560 Cela revient à demander : si j'approche a d'un coté 00:01:17.560 --> 00:01:20.980 ou de l'autre, de quelle valeur 00:01:20.980 --> 00:01:22.290 s'approchera f(x) ? 00:01:22.290 --> 00:01:27.030 Donc, quand x est ici, f(x) est là. 00:01:27.030 --> 00:01:29.490 Quand x est ici, f(x) est là. 00:01:29.490 --> 00:01:33.080 Et on voit que f(x) s'approche de L. 00:01:35.950 --> 00:01:40.320 Et quand on s'approche de l'autre coté-- et on a vu les 00:01:40.320 --> 00:01:42.200 limites à gauche et à droite, 00:01:42.200 --> 00:01:44.750 mais pour réellement avoir une limite, celle-ci doit être la même 00:01:44.750 --> 00:01:48.670 du coté positif et du coté négatif, mais en 00:01:48.670 --> 00:01:52.380 s'en approchant par ici, si on choisit ce x, f(x) est ici. 00:01:52.380 --> 00:01:54.440 f(x) est juste là, 00:01:54.440 --> 00:01:57.460 Si x se rend ici, f(x) est là, et plus on s'approche 00:01:57.460 --> 00:02:03.860 de a, plus f(x) tend vers L, cette valeur de L. 00:02:03.860 --> 00:02:06.600 On dit donc que la limite de f(x) quand x tend vers a 00:02:06.600 --> 00:02:07.960 est égale à L. 00:02:07.960 --> 00:02:09.640 Je crois que vous saisissez. 00:02:09.640 --> 00:02:13.360 Mais ceci n'est pas une définition rigoureuse du tout, 00:02:13.360 --> 00:02:15.480 en ce qui concerne ce qu'on entend 00:02:15.480 --> 00:02:16.290 spécifiquement par ''limite''. 00:02:16.290 --> 00:02:19.340 On a seulement vu la valeur que prend f(x) 00:02:19.340 --> 00:02:21.440 quand x tend vers a. 00:02:21.440 --> 00:02:27.360 Je vais donc tenter de donner une définition 00:02:27.360 --> 00:02:29.360 de ''limite'' un peu plus, en fait beaucoup plus 00:02:29.360 --> 00:02:32.180 mathématiquement rigoureuse, plutôt que dire, quand x tend 00:02:32.180 --> 00:02:36.990 vers cette valeur, quelle valeur prend f(x). 00:02:36.990 --> 00:02:39.290 Et voici comment je me le représente, un peu comme un jeu. 00:02:39.290 --> 00:02:48.640 La définition, cette expression signifie que 00:02:48.640 --> 00:02:55.150 je peut toujours donner une étendue-- et 00:02:55.150 --> 00:02:57.190 j'entend par étendue , non pas 00:02:57.190 --> 00:03:00.960 l'étendue du domaine, mais seulement comme, 00:03:00.960 --> 00:03:05.980 vous savez, je peux donner une étendue de valeurs, qui sans la dépasser, 00:03:05.980 --> 00:03:12.360 garantit que f(x) ne dépassera 00:03:12.360 --> 00:03:16.160 pas une distance donnée de L 00:03:16.160 --> 00:03:18.030 --et voici comment je me le représente, 00:03:18.030 --> 00:03:18.490 comme un jeu. 00:03:21.840 --> 00:03:29.900 Je veux déterminer si f(x) peut être a moins de 0.5 unités de L. 00:03:29.900 --> 00:03:37.460 Disons que vous me donnez 0.5, et par cette définition 00:03:37.460 --> 00:03:39.760 vous devriez pouvoir me donner une étendue 00:03:39.760 --> 00:03:46.330 autour de a qui donnera une valeur de à l'intérieur d'une distance 0.5 de L. 00:03:46.330 --> 00:03:49.980 Alors les valeurs de f(x) seront toujours dans 00:03:49.980 --> 00:03:51.160 cette étendue, ici. 00:03:51.160 --> 00:03:54.300 Tant que je demeure dans cette étendue autour de a, 00:03:54.300 --> 00:03:57.890 dans cette zone, toujours aussi près 00:03:57.890 --> 00:04:00.030 de notre valeur limite. 00:04:02.820 --> 00:04:07.830 Je vais redessiner la fonction en plus grand, parce que 00:04:07.830 --> 00:04:10.870 je ne fais que tracer les même lignes sans cesse. 00:04:10.870 --> 00:04:16.770 Donc disons que ceci est f(x), le point vide. 00:04:16.770 --> 00:04:19.340 Il ne doit pas nécessairement y avoir de trou ici, la limite pourrait 00:04:19.340 --> 00:04:21.020 être une valeur de la fonction, mais celle-ci est plus 00:04:21.020 --> 00:04:22.560 intéressante quand la fonction est non-définie 00:04:22.560 --> 00:04:23.910 mais la limite définie. 00:04:23.910 --> 00:04:28.770 Alors ce point-- redessinons les axes. 00:04:31.530 --> 00:04:44.010 L'axe des x, l'axe des y, et le point limite L. 00:04:44.010 --> 00:04:47.310 Ceci est le point a. 00:04:47.310 --> 00:04:49.630 Alors la définition de la limite, et j'y reviendrai dans quelques 00:04:49.630 --> 00:04:52.690 secondes, parce que je veux le réexpliquer en plus grand. 00:04:52.690 --> 00:04:58.090 Ceci dit-- et c'est la définition epsilon-delta 00:04:58.090 --> 00:05:01.260 d'une limite, et nous y reviendrons, 00:05:01.260 --> 00:05:05.790 je peux garantir que pour f(x), donnez-moi n'importe 00:05:05.790 --> 00:05:08.860 quelle distance de L. 00:05:08.860 --> 00:05:10.450 En fait, appelons ceci epsilon. 00:05:10.450 --> 00:05:12.590 Voyons la définition 00:05:12.590 --> 00:05:13.050 tout de suite. 00:05:13.050 --> 00:05:17.090 Donc on ne veut pas s'éloigner de L plus que la valeur epsilon. 00:05:17.090 --> 00:05:19.510 Et epsilon peut être n'importe quel réel 00:05:19.510 --> 00:05:20.960 supérieur à 0. 00:05:20.960 --> 00:05:24.320 Donc la distance ici est epsilon. 00:05:24.320 --> 00:05:27.810 La distance est epsilon. 00:05:27.810 --> 00:05:30.480 Et pour tout epsilon, tout réel, 00:05:30.480 --> 00:05:36.810 on aurait L plus epsilon, ceci 00:05:36.810 --> 00:05:43.030 serait L moins epsilon, la définition epsilon-delta 00:05:43.030 --> 00:05:48.030 dit que peu importe le epsilon, je 00:05:48.030 --> 00:05:51.650 peux toujours spécifier une distance autour de a, 00:05:51.650 --> 00:05:54.000 qu'on notera delta 00:05:54.000 --> 00:05:57.710 Je peux toujours spécifier une distance autour de a. 00:05:57.710 --> 00:06:02.320 Ce delta est plus petit que a, 00:06:02.320 --> 00:06:04.440 celui-ce est plus grand que a. 00:06:04.440 --> 00:06:05.365 Ceci est la lettre delta. 00:06:09.970 --> 00:06:15.680 Tant que vous choisissez un x entre a+delta et 00:06:15.680 --> 00:06:19.440 a-delta, tant qu'il se situe ici, je garantis 00:06:19.440 --> 00:06:23.160 que f(x) sera 00:06:23.160 --> 00:06:24.350 dans l'étendue donnée. 00:06:24.350 --> 00:06:26.060 Et si on y pense, c'est très sensé. 00:06:26.060 --> 00:06:29.630 C'est comme dire, je peux t'apporter aussi près 00:06:29.630 --> 00:06:32.980 de cette limite-- et je veux dire que 00:06:32.980 --> 00:06:36.430 vous définissez une valeur pour epsilon, 00:06:36.430 --> 00:06:38.940 c'est un peu comme un jeu-- et je peux vous apporter aussi près que 00:06:38.940 --> 00:06:43.000 vous voulez de cette limite en vous donnant une étendue autour 00:06:43.000 --> 00:06:44.680 de ce point vers lequel x tend. 00:06:44.680 --> 00:06:49.420 Tant que vous choisissez un x dans cette étendue 00:06:49.420 --> 00:06:52.570 autour de a, une valeur de x autour de a, 00:06:52.570 --> 00:06:55.440 je garantit que f(x) sera dans 00:06:55.440 --> 00:06:57.290 l'étendue spécifiée. 00:06:57.290 --> 00:07:01.270 Pour rendre la chose plus concrète, disons que 00:07:01.270 --> 00:07:04.490 je veux que f(x) soit à au plus 0.5-- choisissons des 00:07:04.490 --> 00:07:05.380 nombres concrets. 00:07:05.380 --> 00:07:11.750 Disons que ceci est 2, et ceci est 1. 00:07:11.750 --> 00:07:16.575 On dit que la limite quand x tend vers 1 de f(x)-- 00:07:16.575 --> 00:07:18.880 je ne l'ai pas défini, mais elle ressemble a une ligne avec un trou 00:07:18.880 --> 00:07:21.480 , la limite est égale a 2. 00:07:21.480 --> 00:07:23.820 Vous pouvez me donner n'importe quel nombre. 00:07:23.820 --> 00:07:27.380 Disons qu'on veut quelques exemples. 00:07:27.380 --> 00:07:30.220 Disons que f(x) soit-- prenons une autre couleur 00:07:30.220 --> 00:07:35.680 --je veux que f(x) soit à au plus 0.5 de la valeur 2. 00:07:35.680 --> 00:07:39.970 Donc entre 2.5 et 1.5. 00:07:39.970 --> 00:07:45.650 Puis, tant que l'on choisit un x --je 00:07:45.650 --> 00:07:48.190 ne sais pas, ça pourrait être arbitrairement rapproché, mais 00:07:48.190 --> 00:07:50.920 tant que l'on choisit un x qui-- disons que 00:07:50.920 --> 00:07:57.790 c'est entre, disons 0.9 et 1.1 00:07:57.790 --> 00:08:02.980 Dans ce cas, le delta de notre limite n'est que de 0.1. 00:08:02.980 --> 00:08:09.320 Tant que l'on choisit un x qui est au plus à 0.1 de ce point, 00:08:09.320 --> 00:08:13.640 f(x) sera à coup sûr 00:08:13.640 --> 00:08:15.740 dans cette zone. 00:08:15.740 --> 00:08:17.220 J'espère que ceci est clair. 00:08:17.220 --> 00:08:19.750 Définissons avec epsilon et delta, et c'est ce que vous 00:08:19.750 --> 00:08:22.580 verrez dans vos livres de maths. 00:08:22.580 --> 00:08:24.110 Nous verrons des exemples 00:08:24.110 --> 00:08:26.730 Et pour mettre au clair, ceci n'était qu'un expemple spécifique. 00:08:26.730 --> 00:08:29.870 Vous m'avez donné un epsilon, et je vous ai donné un delta qui fonctionne. 00:08:29.870 --> 00:08:36.270 Mais par définition, si l'on écrit ceci 00:08:36.270 --> 00:08:40.290 on dit que ça fonctionne non pas pour une situation spécifique, 00:08:40.290 --> 00:08:42.900 mais pour n'importe quel nombre. 00:08:42.900 --> 00:08:48.800 On pourrait dire que l'on veut être a moins d'un millionième de, ou encore 00:08:48.800 --> 00:08:52.180 10 exposant -100, vous savez, super 00:08:52.180 --> 00:08:55.590 proche de 2, et je pourrais vous donner une étendue autour 00:08:55.590 --> 00:09:00.270 de ce point, tant que vous choisissez un x dans cette étendue, f(x) sera 00:09:00.270 --> 00:09:03.540 dans l'étendue spécifiée, à l'intérieur de 00:09:03.540 --> 00:09:08.240 un trillionième d'unité du 00:09:08.240 --> 00:09:09.470 point limite. 00:09:09.470 --> 00:09:11.270 Et bien sûr, la chose que je ne peux garantir est 00:09:11.270 --> 00:09:12.760 ce qui arrive quand x=a. 00:09:12.760 --> 00:09:15.580 Je dis que pour une valeur rapprochée 00:09:15.580 --> 00:09:17.950 de a, mais pas exactement a, ceci fonctionne. 00:09:17.950 --> 00:09:21.720 Votre f(x) sera à l'intérieur de l'étendue voulue. 00:09:21.720 --> 00:09:23.680 Et pour clarifier la notation-- parce que je l'ai 00:09:23.680 --> 00:09:26.250 seulement énoncé en paroles, ce que vous verrez dans 00:09:26.250 --> 00:09:33.460 vos livres sera : donnez moi un epsilon 00:09:33.460 --> 00:09:35.810 plus grand que 0. 00:09:35.810 --> 00:09:37.390 Peu importe, ceci est une définition n'est-ce-pas? 00:09:37.390 --> 00:09:41.730 Si vous lisez ceci, c'est que pour tout 00:09:41.730 --> 00:09:52.800 epsilons plus grand que 0, on peut trouver un delta-- 00:09:52.800 --> 00:09:56.590 rappelez-vous que epsilon est la distance entre f(x) 00:09:56.590 --> 00:09:57.760 et votre limite. 00:09:57.760 --> 00:10:00.530 C'est une étendue autour de f(x)--on trouvera un delta 00:10:00.530 --> 00:10:04.860 qui est une étendue autour de a, n'est-ce-pas? 00:10:04.860 --> 00:10:05.520 Écrivons-le. 00:10:05.520 --> 00:10:11.830 La limite de f(x) quand x tend vers a est égale à L. 00:10:11.830 --> 00:10:15.210 On aura donc un delta tel que x n'est pas plus grand que delta 00:10:15.210 --> 00:10:23.025 La distance entre x et a, 00:10:23.025 --> 00:10:27.950 si on choisit un x ici, 00:10:27.950 --> 00:10:31.340 la distance entre cette valeur et a, tant qu'elle est 00:10:31.340 --> 00:10:34.840 plus grande que zéro, 00:10:34.840 --> 00:10:37.980 parce que la fonction peut être indéfinie à ce point-- 00:10:37.980 --> 00:10:40.750 Mais tant que la distance entre x et a est plus grande 00:10:40.750 --> 00:10:45.400 que 0 et plus petite que cette étendue en x, 00:10:45.400 --> 00:10:46.450 plus petit que delta, 00:10:46.450 --> 00:10:49.930 tant que l'on choisit un x, on pourrait agrandir 00:10:49.930 --> 00:10:55.680 l'axe des x ici-- ceci est a, dont cette distance 00:10:55.680 --> 00:10:59.240 serait delta, et celle-ci serait aussi 00:10:59.240 --> 00:11:03.920 delta-- tant que le x est dans cette zone, 00:11:03.920 --> 00:11:07.520 que nous choisissions cette valeur, ou celle-ci-- 00:11:07.520 --> 00:11:10.560 tant que l'on en choisit l'une d'elles, on peut garantir que 00:11:10.560 --> 00:11:17.010 la distance entre la fonction et la limite, 00:11:17.010 --> 00:11:19.670 donc la distance entre, lorsque l'on prend 00:11:19.670 --> 00:11:23.460 ces valeurs de x et que l'on évalue f(x) à ce point, la 00:11:23.460 --> 00:11:27.170 distance entre f(x) et la limite 00:11:27.170 --> 00:11:31.560 sera plus petite que ce nombre que vous avez choisi. 00:11:31.560 --> 00:11:36.470 En y pensant, cela semble compliqué, et je 00:11:36.470 --> 00:11:38.690 suis incertain quand à l'inclusion de cette notion 00:11:38.690 --> 00:11:39.640 dans la plupart des cours de calcul. 00:11:39.640 --> 00:11:42.345 Ils intègrent cette notion au début 00:11:42.345 --> 00:11:44.670 avant même l'apprentissage des dérivées, et c'est très technique 00:11:44.670 --> 00:11:47.560 et rigoureux, et cela tend 00:11:47.560 --> 00:11:49.720 à faire décrocher plusieurs étudiants et je crois que beaucoup 00:11:49.720 --> 00:11:53.010 ne comprennent pas l'intuition derrière la notion, mais 00:11:53.010 --> 00:11:54.050 c'est mathématiquement très rigoureux. 00:11:54.050 --> 00:11:56.910 Et je crois que c'est très important lors de l'étude de 00:11:56.910 --> 00:11:58.910 calcul plus avancé ou dans le cas d'études en mathématiques. 00:11:58.910 --> 00:12:01.330 Ceci dit, cette définition est 00:12:01.330 --> 00:12:02.160 très intuitive. 00:12:02.160 --> 00:12:05.550 Avant, on disait : je peux approcher 00:12:05.550 --> 00:12:12.945 x de cette valeur, f(x) devra donc 00:12:12.945 --> 00:12:13.960 approcher de celle-ci. 00:12:13.960 --> 00:12:17.620 Et la façon mathématique de le définir est de dire, Sal, 00:12:17.620 --> 00:12:19.970 Je veut m'en approcher BEAUCOUP. 00:12:19.970 --> 00:12:22.180 Je veux que la distance entre f(x) et L 00:12:22.180 --> 00:12:25.640 soit de 0.000000001, et je peux toujours 00:12:25.640 --> 00:12:29.540 donner une distance autour de x pour laquelle ce sera vrai. 00:12:29.540 --> 00:12:31.320 Et on manque de temps 00:12:31.320 --> 00:12:34.260 Dans le prochain vidéo, je ferai des exemples où je prouverai 00:12:34.260 --> 00:12:38.120 les limites, je ferai la preuve de limites 00:12:38.120 --> 00:12:39.330 avec cette définition. 00:12:39.330 --> 00:12:43.370 Et espérons qu'en utilisant des exemples tangibles, 00:12:43.370 --> 00:12:45.440 cette définition vous sera plus sensée. 00:12:45.440 --> 00:12:47.270 À la prochaine!