1
00:00:00,900 --> 00:00:02,810
Laissez-moi définir une fonction pour laquelle nous

2
00:00:02,810 --> 00:00:04,490
établirons une limite.

3
00:00:04,490 --> 00:00:06,880
Je la dessinerai visuellement pour l'instant, nous verrons

4
00:00:06,880 --> 00:00:08,390
des exemples spécifiques un peu plus tard.

5
00:00:08,390 --> 00:00:11,870
Donc voici mon axe y, et mon axe x.

6
00:00:11,870 --> 00:00:14,180
Et disons que la fonction ressemble à--

7
00:00:14,180 --> 00:00:15,950
Prenons une fonction simple

8
00:00:15,950 --> 00:00:19,760
-- disons qu'elle est linéaire, en partie.

9
00:00:19,760 --> 00:00:23,100
Disons comme ceci, à l'exception d'une

10
00:00:23,100 --> 00:00:27,080
discontinuité au point

11
00:00:27,080 --> 00:00:28,690
x=a, elle est donc indéfinie ici.

12
00:00:28,690 --> 00:00:32,030
Laissons le point vide pour voir qu'elle

13
00:00:32,030 --> 00:00:33,110
n'est pas définie ici.

14
00:00:33,110 --> 00:00:38,780
Ce point est x=4.

15
00:00:38,780 --> 00:00:45,180
Donc cet axe est y=f(x).

16
00:00:45,180 --> 00:00:47,120
Disons seulement l'axe y.

17
00:00:47,120 --> 00:00:51,030
Et disons que ceci est f(x), ou ceci est

18
00:00:51,030 --> 00:00:53,880
y=f(x).

19
00:00:53,880 --> 00:00:55,740
Nous avons vu plusieurs vidéos sur les limites.

20
00:00:55,740 --> 00:00:57,160
Je crois que vous commencez à saisir.

21
00:00:57,160 --> 00:00:59,850
Si je voulais connaître la limite quand x tend vers a,

22
00:00:59,850 --> 00:01:04,020
et appelons ce point L.

23
00:01:04,020 --> 00:01:06,480
Nous savons grâce aux vidéos précédents que-- bien premièrement

24
00:01:06,480 --> 00:01:10,940
je pourrais l'écrire-- la limite lorsque x tend vers

25
00:01:10,940 --> 00:01:13,690
a de f(x).

26
00:01:13,690 --> 00:01:17,560
Cela revient à demander : si j'approche a d'un coté

27
00:01:17,560 --> 00:01:20,980
ou de l'autre, de quelle valeur

28
00:01:20,980 --> 00:01:22,290
s'approchera f(x) ?

29
00:01:22,290 --> 00:01:27,030
Donc, quand x est ici, f(x) est là.

30
00:01:27,030 --> 00:01:29,490
Quand x est ici, f(x) est là.

31
00:01:29,490 --> 00:01:33,080
Et on voit que f(x) s'approche de L.

32
00:01:35,950 --> 00:01:40,320
Et quand on s'approche de l'autre coté-- et on a vu les

33
00:01:40,320 --> 00:01:42,200
limites à gauche et à droite,

34
00:01:42,200 --> 00:01:44,750
mais pour réellement avoir une limite, celle-ci doit être la même

35
00:01:44,750 --> 00:01:48,670
du coté positif et du coté négatif, mais en

36
00:01:48,670 --> 00:01:52,380
s'en approchant par ici, si on choisit ce x, f(x) est ici.

37
00:01:52,380 --> 00:01:54,440
f(x) est juste là,

38
00:01:54,440 --> 00:01:57,460
Si x se rend ici, f(x) est là, et plus on s'approche

39
00:01:57,460 --> 00:02:03,860
de a, plus f(x) tend vers L, cette valeur de L.

40
00:02:03,860 --> 00:02:06,600
On dit donc que la limite de f(x) quand x tend vers a

41
00:02:06,600 --> 00:02:07,960
est égale à L.

42
00:02:07,960 --> 00:02:09,640
Je crois que vous saisissez.

43
00:02:09,640 --> 00:02:13,360
Mais ceci n'est pas une définition rigoureuse du tout,

44
00:02:13,360 --> 00:02:15,480
en ce qui concerne ce qu'on entend

45
00:02:15,480 --> 00:02:16,290
spécifiquement par ''limite''.

46
00:02:16,290 --> 00:02:19,340
On a seulement vu la valeur que prend f(x)

47
00:02:19,340 --> 00:02:21,440
quand x tend vers a.

48
00:02:21,440 --> 00:02:27,360
Je vais donc tenter de donner une définition

49
00:02:27,360 --> 00:02:29,360
de ''limite'' un peu plus, en fait beaucoup plus

50
00:02:29,360 --> 00:02:32,180
mathématiquement rigoureuse, plutôt que dire, quand x tend

51
00:02:32,180 --> 00:02:36,990
vers cette valeur, quelle valeur prend f(x).

52
00:02:36,990 --> 00:02:39,290
Et voici comment je me le représente, un peu comme un jeu.

53
00:02:39,290 --> 00:02:48,640
La définition, cette expression signifie que

54
00:02:48,640 --> 00:02:55,150
je peut toujours donner une étendue-- et

55
00:02:55,150 --> 00:02:57,190
j'entend par étendue , non pas

56
00:02:57,190 --> 00:03:00,960
l'étendue du domaine, mais seulement comme,

57
00:03:00,960 --> 00:03:05,980
vous savez, je peux donner une étendue de valeurs, qui sans la dépasser,

58
00:03:05,980 --> 00:03:12,360
garantit que f(x) ne dépassera

59
00:03:12,360 --> 00:03:16,160
pas une distance donnée de L

60
00:03:16,160 --> 00:03:18,030
--et voici comment je me le représente,

61
00:03:18,030 --> 00:03:18,490
comme un jeu.

62
00:03:21,840 --> 00:03:29,900
Je veux déterminer si f(x) peut être a moins de 0.5 unités de L.

63
00:03:29,900 --> 00:03:37,460
Disons que vous me donnez 0.5, et par cette définition

64
00:03:37,460 --> 00:03:39,760
vous devriez pouvoir me donner une étendue

65
00:03:39,760 --> 00:03:46,330
autour de a qui donnera une valeur de à l'intérieur d'une distance 0.5 de L.

66
00:03:46,330 --> 00:03:49,980
Alors les valeurs de f(x) seront toujours dans

67
00:03:49,980 --> 00:03:51,160
cette étendue, ici.

68
00:03:51,160 --> 00:03:54,300
Tant que je demeure dans cette étendue autour de a,

69
00:03:54,300 --> 00:03:57,890
dans cette zone, toujours aussi près

70
00:03:57,890 --> 00:04:00,030
de notre valeur limite.

71
00:04:02,820 --> 00:04:07,830
Je vais redessiner la fonction en plus grand, parce que

72
00:04:07,830 --> 00:04:10,870
je ne fais que tracer les même lignes sans cesse.

73
00:04:10,870 --> 00:04:16,770
Donc disons que ceci est f(x), le point vide.

74
00:04:16,770 --> 00:04:19,340
Il ne doit pas nécessairement y avoir de trou ici, la limite pourrait

75
00:04:19,340 --> 00:04:21,020
être une valeur de la fonction, mais celle-ci est plus

76
00:04:21,020 --> 00:04:22,560
intéressante quand la fonction est non-définie

77
00:04:22,560 --> 00:04:23,910
mais la limite définie.

78
00:04:23,910 --> 00:04:28,770
Alors ce point-- redessinons les axes.

79
00:04:31,530 --> 00:04:44,010
L'axe des x, l'axe des y, et le point limite L.

80
00:04:44,010 --> 00:04:47,310
Ceci est le point a.

81
00:04:47,310 --> 00:04:49,630
Alors la définition de la limite, et j'y reviendrai dans quelques

82
00:04:49,630 --> 00:04:52,690
secondes, parce que je veux le réexpliquer en plus grand.

83
00:04:52,690 --> 00:04:58,090
Ceci dit-- et c'est la définition epsilon-delta

84
00:04:58,090 --> 00:05:01,260
d'une limite, et nous y reviendrons,

85
00:05:01,260 --> 00:05:05,790
je peux garantir que pour f(x), donnez-moi n'importe

86
00:05:05,790 --> 00:05:08,860
quelle distance de L.

87
00:05:08,860 --> 00:05:10,450
En fait, appelons ceci epsilon.

88
00:05:10,450 --> 00:05:12,590
Voyons la définition

89
00:05:12,590 --> 00:05:13,050
tout de suite.

90
00:05:13,050 --> 00:05:17,090
Donc on ne veut pas s'éloigner de L plus que la valeur epsilon.

91
00:05:17,090 --> 00:05:19,510
Et epsilon peut être n'importe quel réel

92
00:05:19,510 --> 00:05:20,960
supérieur à 0.

93
00:05:20,960 --> 00:05:24,320
Donc la distance ici est epsilon.

94
00:05:24,320 --> 00:05:27,810
La distance est epsilon.

95
00:05:27,810 --> 00:05:30,480
Et pour tout epsilon, tout réel,

96
00:05:30,480 --> 00:05:36,810
on aurait L plus epsilon, ceci

97
00:05:36,810 --> 00:05:43,030
serait L moins epsilon, la définition epsilon-delta

98
00:05:43,030 --> 00:05:48,030
dit que peu importe le epsilon, je

99
00:05:48,030 --> 00:05:51,650
peux toujours spécifier une distance autour de a,

100
00:05:51,650 --> 00:05:54,000
qu'on notera delta

101
00:05:54,000 --> 00:05:57,710
Je peux toujours spécifier une distance autour de a.

102
00:05:57,710 --> 00:06:02,320
Ce delta est plus petit que a,

103
00:06:02,320 --> 00:06:04,440
celui-ce est plus grand que a.

104
00:06:04,440 --> 00:06:05,365
Ceci est la lettre delta.

105
00:06:09,970 --> 00:06:15,680
Tant que vous choisissez un x entre a+delta et

106
00:06:15,680 --> 00:06:19,440
a-delta, tant qu'il se situe ici, je garantis

107
00:06:19,440 --> 00:06:23,160
que f(x) sera

108
00:06:23,160 --> 00:06:24,350
dans l'étendue donnée.

109
00:06:24,350 --> 00:06:26,060
Et si on y pense, c'est très sensé.

110
00:06:26,060 --> 00:06:29,630
C'est comme dire, je peux t'apporter aussi près

111
00:06:29,630 --> 00:06:32,980
de cette limite-- et je veux dire que

112
00:06:32,980 --> 00:06:36,430
vous définissez une valeur pour epsilon,

113
00:06:36,430 --> 00:06:38,940
c'est un peu comme un jeu-- et je peux vous apporter aussi près que

114
00:06:38,940 --> 00:06:43,000
vous voulez de cette limite en vous donnant une étendue autour

115
00:06:43,000 --> 00:06:44,680
de ce point vers lequel x tend.

116
00:06:44,680 --> 00:06:49,420
Tant que vous choisissez un x dans cette étendue

117
00:06:49,420 --> 00:06:52,570
autour de a, une valeur de x autour de a,

118
00:06:52,570 --> 00:06:55,440
je garantit que f(x) sera dans

119
00:06:55,440 --> 00:06:57,290
l'étendue spécifiée.

120
00:06:57,290 --> 00:07:01,270
Pour rendre la chose plus concrète, disons que

121
00:07:01,270 --> 00:07:04,490
je veux que f(x) soit à au plus 0.5-- choisissons des

122
00:07:04,490 --> 00:07:05,380
nombres concrets.

123
00:07:05,380 --> 00:07:11,750
Disons que ceci est 2, et ceci est 1.

124
00:07:11,750 --> 00:07:16,575
On dit que la limite quand x tend vers 1 de f(x)--

125
00:07:16,575 --> 00:07:18,880
je ne l'ai pas défini, mais elle ressemble a une ligne avec un trou

126
00:07:18,880 --> 00:07:21,480
, la limite est égale a 2.

127
00:07:21,480 --> 00:07:23,820
Vous pouvez me donner n'importe quel nombre.

128
00:07:23,820 --> 00:07:27,380
Disons qu'on veut quelques exemples.

129
00:07:27,380 --> 00:07:30,220
Disons que f(x) soit-- prenons une autre couleur

130
00:07:30,220 --> 00:07:35,680
--je veux que f(x) soit à au plus 0.5 de la valeur 2.

131
00:07:35,680 --> 00:07:39,970
Donc entre 2.5 et 1.5.

132
00:07:39,970 --> 00:07:45,650
Puis, tant que l'on choisit un x --je

133
00:07:45,650 --> 00:07:48,190
ne sais pas, ça pourrait être arbitrairement rapproché, mais

134
00:07:48,190 --> 00:07:50,920
tant que l'on choisit un x qui-- disons que

135
00:07:50,920 --> 00:07:57,790
c'est entre, disons 0.9 et 1.1

136
00:07:57,790 --> 00:08:02,980
Dans ce cas, le delta de notre limite n'est que de 0.1.

137
00:08:02,980 --> 00:08:09,320
Tant que l'on choisit un x qui est au plus à 0.1 de ce point,

138
00:08:09,320 --> 00:08:13,640
f(x) sera à coup sûr

139
00:08:13,640 --> 00:08:15,740
dans cette zone.

140
00:08:15,740 --> 00:08:17,220
J'espère que ceci est clair.

141
00:08:17,220 --> 00:08:19,750
Définissons avec epsilon et delta, et c'est ce que vous

142
00:08:19,750 --> 00:08:22,580
verrez dans vos livres de maths.

143
00:08:22,580 --> 00:08:24,110
Nous verrons des exemples

144
00:08:24,110 --> 00:08:26,730
Et pour mettre au clair, ceci n'était qu'un expemple spécifique.

145
00:08:26,730 --> 00:08:29,870
Vous m'avez donné un epsilon, et je vous ai donné un delta qui fonctionne.

146
00:08:29,870 --> 00:08:36,270
Mais par définition, si l'on écrit ceci

147
00:08:36,270 --> 00:08:40,290
on dit que ça fonctionne non pas pour une situation spécifique,

148
00:08:40,290 --> 00:08:42,900
mais pour n'importe quel nombre.

149
00:08:42,900 --> 00:08:48,800
On pourrait dire que l'on veut être a moins d'un millionième de, ou encore

150
00:08:48,800 --> 00:08:52,180
10 exposant -100, vous savez, super

151
00:08:52,180 --> 00:08:55,590
proche de 2, et je pourrais vous donner une étendue autour

152
00:08:55,590 --> 00:09:00,270
de ce point, tant que vous choisissez un x dans cette étendue, f(x) sera

153
00:09:00,270 --> 00:09:03,540
dans l'étendue spécifiée, à l'intérieur de

154
00:09:03,540 --> 00:09:08,240
un trillionième d'unité du

155
00:09:08,240 --> 00:09:09,470
point limite.

156
00:09:09,470 --> 00:09:11,270
Et bien sûr, la chose que je ne peux garantir est

157
00:09:11,270 --> 00:09:12,760
ce qui arrive quand x=a.

158
00:09:12,760 --> 00:09:15,580
Je dis que pour une valeur rapprochée

159
00:09:15,580 --> 00:09:17,950
de a, mais pas exactement a, ceci fonctionne.

160
00:09:17,950 --> 00:09:21,720
Votre f(x) sera à l'intérieur de l'étendue voulue.

161
00:09:21,720 --> 00:09:23,680
Et pour clarifier la notation-- parce que je l'ai

162
00:09:23,680 --> 00:09:26,250
seulement énoncé en paroles, ce que vous verrez dans

163
00:09:26,250 --> 00:09:33,460
vos livres sera : donnez moi un epsilon

164
00:09:33,460 --> 00:09:35,810
plus grand que 0.

165
00:09:35,810 --> 00:09:37,390
Peu importe, ceci est une définition n'est-ce-pas?

166
00:09:37,390 --> 00:09:41,730
Si vous lisez ceci, c'est que pour tout

167
00:09:41,730 --> 00:09:52,800
epsilons plus grand que 0, on peut trouver un delta--

168
00:09:52,800 --> 00:09:56,590
rappelez-vous que epsilon est la distance entre f(x)

169
00:09:56,590 --> 00:09:57,760
et votre limite.

170
00:09:57,760 --> 00:10:00,530
C'est une étendue autour de f(x)--on trouvera un delta

171
00:10:00,530 --> 00:10:04,860
qui est une étendue autour de a, n'est-ce-pas?

172
00:10:04,860 --> 00:10:05,520
Écrivons-le.

173
00:10:05,520 --> 00:10:11,830
La limite de f(x) quand x tend vers a est égale à L.

174
00:10:11,830 --> 00:10:15,210
On aura donc un delta tel que x n'est pas plus grand que delta

175
00:10:15,210 --> 00:10:23,025
La distance entre x et a,

176
00:10:23,025 --> 00:10:27,950
si on choisit un x ici,

177
00:10:27,950 --> 00:10:31,340
la distance entre cette valeur et a, tant qu'elle est

178
00:10:31,340 --> 00:10:34,840
plus grande que zéro,

179
00:10:34,840 --> 00:10:37,980
parce que la fonction peut être indéfinie à ce point--

180
00:10:37,980 --> 00:10:40,750
Mais tant que la distance entre x et a est plus grande

181
00:10:40,750 --> 00:10:45,400
que 0 et plus petite que cette étendue en x,

182
00:10:45,400 --> 00:10:46,450
plus petit que delta,

183
00:10:46,450 --> 00:10:49,930
tant que l'on choisit un x, on pourrait agrandir

184
00:10:49,930 --> 00:10:55,680
l'axe des x ici-- ceci est a, dont cette distance

185
00:10:55,680 --> 00:10:59,240
serait delta, et celle-ci serait aussi

186
00:10:59,240 --> 00:11:03,920
delta-- tant que le x est dans cette zone,

187
00:11:03,920 --> 00:11:07,520
que nous choisissions cette valeur, ou celle-ci--

188
00:11:07,520 --> 00:11:10,560
tant que l'on en choisit l'une d'elles, on peut garantir que

189
00:11:10,560 --> 00:11:17,010
la distance entre la fonction et la limite,

190
00:11:17,010 --> 00:11:19,670
donc la distance entre, lorsque l'on prend

191
00:11:19,670 --> 00:11:23,460
ces valeurs de x et que l'on évalue f(x) à ce point, la

192
00:11:23,460 --> 00:11:27,170
distance entre f(x) et la limite

193
00:11:27,170 --> 00:11:31,560
sera plus petite que ce nombre que vous avez choisi.

194
00:11:31,560 --> 00:11:36,470
En y pensant, cela semble compliqué, et je

195
00:11:36,470 --> 00:11:38,690
suis incertain quand à l'inclusion de cette notion

196
00:11:38,690 --> 00:11:39,640
dans la plupart des cours de calcul.

197
00:11:39,640 --> 00:11:42,345
Ils intègrent cette notion au début

198
00:11:42,345 --> 00:11:44,670
avant même l'apprentissage des dérivées, et c'est très technique

199
00:11:44,670 --> 00:11:47,560
et rigoureux, et cela tend

200
00:11:47,560 --> 00:11:49,720
à faire décrocher plusieurs étudiants et je crois que beaucoup

201
00:11:49,720 --> 00:11:53,010
ne comprennent pas l'intuition derrière la notion, mais

202
00:11:53,010 --> 00:11:54,050
c'est mathématiquement très rigoureux.

203
00:11:54,050 --> 00:11:56,910
Et je crois que c'est très important lors de l'étude de

204
00:11:56,910 --> 00:11:58,910
calcul plus avancé ou dans le cas d'études en mathématiques.

205
00:11:58,910 --> 00:12:01,330
Ceci dit, cette définition est

206
00:12:01,330 --> 00:12:02,160
très intuitive.

207
00:12:02,160 --> 00:12:05,550
Avant, on disait : je peux approcher

208
00:12:05,550 --> 00:12:12,945
x de cette valeur, f(x) devra donc

209
00:12:12,945 --> 00:12:13,960
approcher de celle-ci.

210
00:12:13,960 --> 00:12:17,620
Et la façon mathématique de le définir est de dire, Sal,

211
00:12:17,620 --> 00:12:19,970
Je veut m'en approcher BEAUCOUP.

212
00:12:19,970 --> 00:12:22,180
Je veux que la distance entre f(x) et L

213
00:12:22,180 --> 00:12:25,640
soit de 0.000000001, et je peux toujours

214
00:12:25,640 --> 00:12:29,540
donner une distance autour de x pour laquelle ce sera vrai.

215
00:12:29,540 --> 00:12:31,320
Et on manque de temps

216
00:12:31,320 --> 00:12:34,260
Dans le prochain vidéo, je ferai des exemples où je prouverai

217
00:12:34,260 --> 00:12:38,120
les limites, je ferai la preuve de limites

218
00:12:38,120 --> 00:12:39,330
avec cette définition.

219
00:12:39,330 --> 00:12:43,370
Et espérons qu'en utilisant des exemples tangibles,

220
00:12:43,370 --> 00:12:45,440
cette définition vous sera plus sensée.

221
00:12:45,440 --> 00:12:47,270
À la prochaine!