Laissez-moi définir une fonction pour laquelle nous
établirons une limite.
Je la dessinerai visuellement pour l'instant, nous verrons
des exemples spécifiques un peu plus tard.
Donc voici mon axe y, et mon axe x.
Et disons que la fonction ressemble à--
Prenons une fonction simple
-- disons qu'elle est linéaire, en partie.
Disons comme ceci, à l'exception d'une
discontinuité au point
x=a, elle est donc indéfinie ici.
Laissons le point vide pour voir qu'elle
n'est pas définie ici.
Ce point est x=4.
Donc cet axe est y=f(x).
Disons seulement l'axe y.
Et disons que ceci est f(x), ou ceci est
y=f(x).
Nous avons vu plusieurs vidéos sur les limites.
Je crois que vous commencez à saisir.
Si je voulais connaître la limite quand x tend vers a,
et appelons ce point L.
Nous savons grâce aux vidéos précédents que-- bien premièrement
je pourrais l'écrire-- la limite lorsque x tend vers
a de f(x).
Cela revient à demander : si j'approche a d'un coté
ou de l'autre, de quelle valeur
s'approchera f(x) ?
Donc, quand x est ici, f(x) est là.
Quand x est ici, f(x) est là.
Et on voit que f(x) s'approche de L.
Et quand on s'approche de l'autre coté-- et on a vu les
limites à gauche et à droite,
mais pour réellement avoir une limite, celle-ci doit être la même
du coté positif et du coté négatif, mais en
s'en approchant par ici, si on choisit ce x, f(x) est ici.
f(x) est juste là,
Si x se rend ici, f(x) est là, et plus on s'approche
de a, plus f(x) tend vers L, cette valeur de L.
On dit donc que la limite de f(x) quand x tend vers a
est égale à L.
Je crois que vous saisissez.
Mais ceci n'est pas une définition rigoureuse du tout,
en ce qui concerne ce qu'on entend
spécifiquement par ''limite''.
On a seulement vu la valeur que prend f(x)
quand x tend vers a.
Je vais donc tenter de donner une définition
de ''limite'' un peu plus, en fait beaucoup plus
mathématiquement rigoureuse, plutôt que dire, quand x tend
vers cette valeur, quelle valeur prend f(x).
Et voici comment je me le représente, un peu comme un jeu.
La définition, cette expression signifie que
je peut toujours donner une étendue-- et
j'entend par étendue , non pas
l'étendue du domaine, mais seulement comme,
vous savez, je peux donner une étendue de valeurs, qui sans la dépasser,
garantit que f(x) ne dépassera
pas une distance donnée de L
--et voici comment je me le représente,
comme un jeu.
Je veux déterminer si f(x) peut être a moins de 0.5 unités de L.
Disons que vous me donnez 0.5, et par cette définition
vous devriez pouvoir me donner une étendue
autour de a qui donnera une valeur de à l'intérieur d'une distance 0.5 de L.
Alors les valeurs de f(x) seront toujours dans
cette étendue, ici.
Tant que je demeure dans cette étendue autour de a,
dans cette zone, toujours aussi près
de notre valeur limite.
Je vais redessiner la fonction en plus grand, parce que
je ne fais que tracer les même lignes sans cesse.
Donc disons que ceci est f(x), le point vide.
Il ne doit pas nécessairement y avoir de trou ici, la limite pourrait
être une valeur de la fonction, mais celle-ci est plus
intéressante quand la fonction est non-définie
mais la limite définie.
Alors ce point-- redessinons les axes.
L'axe des x, l'axe des y, et le point limite L.
Ceci est le point a.
Alors la définition de la limite, et j'y reviendrai dans quelques
secondes, parce que je veux le réexpliquer en plus grand.
Ceci dit-- et c'est la définition epsilon-delta
d'une limite, et nous y reviendrons,
je peux garantir que pour f(x), donnez-moi n'importe
quelle distance de L.
En fait, appelons ceci epsilon.
Voyons la définition
tout de suite.
Donc on ne veut pas s'éloigner de L plus que la valeur epsilon.
Et epsilon peut être n'importe quel réel
supérieur à 0.
Donc la distance ici est epsilon.
La distance est epsilon.
Et pour tout epsilon, tout réel,
on aurait L plus epsilon, ceci
serait L moins epsilon, la définition epsilon-delta
dit que peu importe le epsilon, je
peux toujours spécifier une distance autour de a,
qu'on notera delta
Je peux toujours spécifier une distance autour de a.
Ce delta est plus petit que a,
celui-ce est plus grand que a.
Ceci est la lettre delta.
Tant que vous choisissez un x entre a+delta et
a-delta, tant qu'il se situe ici, je garantis
que f(x) sera
dans l'étendue donnée.
Et si on y pense, c'est très sensé.
C'est comme dire, je peux t'apporter aussi près
de cette limite-- et je veux dire que
vous définissez une valeur pour epsilon,
c'est un peu comme un jeu-- et je peux vous apporter aussi près que
vous voulez de cette limite en vous donnant une étendue autour
de ce point vers lequel x tend.
Tant que vous choisissez un x dans cette étendue
autour de a, une valeur de x autour de a,
je garantit que f(x) sera dans
l'étendue spécifiée.
Pour rendre la chose plus concrète, disons que
je veux que f(x) soit à au plus 0.5-- choisissons des
nombres concrets.
Disons que ceci est 2, et ceci est 1.
On dit que la limite quand x tend vers 1 de f(x)--
je ne l'ai pas défini, mais elle ressemble a une ligne avec un trou
, la limite est égale a 2.
Vous pouvez me donner n'importe quel nombre.
Disons qu'on veut quelques exemples.
Disons que f(x) soit-- prenons une autre couleur
--je veux que f(x) soit à au plus 0.5 de la valeur 2.
Donc entre 2.5 et 1.5.
Puis, tant que l'on choisit un x --je
ne sais pas, ça pourrait être arbitrairement rapproché, mais
tant que l'on choisit un x qui-- disons que
c'est entre, disons 0.9 et 1.1
Dans ce cas, le delta de notre limite n'est que de 0.1.
Tant que l'on choisit un x qui est au plus à 0.1 de ce point,
f(x) sera à coup sûr
dans cette zone.
J'espère que ceci est clair.
Définissons avec epsilon et delta, et c'est ce que vous
verrez dans vos livres de maths.
Nous verrons des exemples
Et pour mettre au clair, ceci n'était qu'un expemple spécifique.
Vous m'avez donné un epsilon, et je vous ai donné un delta qui fonctionne.
Mais par définition, si l'on écrit ceci
on dit que ça fonctionne non pas pour une situation spécifique,
mais pour n'importe quel nombre.
On pourrait dire que l'on veut être a moins d'un millionième de, ou encore
10 exposant -100, vous savez, super
proche de 2, et je pourrais vous donner une étendue autour
de ce point, tant que vous choisissez un x dans cette étendue, f(x) sera
dans l'étendue spécifiée, à l'intérieur de
un trillionième d'unité du
point limite.
Et bien sûr, la chose que je ne peux garantir est
ce qui arrive quand x=a.
Je dis que pour une valeur rapprochée
de a, mais pas exactement a, ceci fonctionne.
Votre f(x) sera à l'intérieur de l'étendue voulue.
Et pour clarifier la notation-- parce que je l'ai
seulement énoncé en paroles, ce que vous verrez dans
vos livres sera : donnez moi un epsilon
plus grand que 0.
Peu importe, ceci est une définition n'est-ce-pas?
Si vous lisez ceci, c'est que pour tout
epsilons plus grand que 0, on peut trouver un delta--
rappelez-vous que epsilon est la distance entre f(x)
et votre limite.
C'est une étendue autour de f(x)--on trouvera un delta
qui est une étendue autour de a, n'est-ce-pas?
Écrivons-le.
La limite de f(x) quand x tend vers a est égale à L.
On aura donc un delta tel que x n'est pas plus grand que delta
La distance entre x et a,
si on choisit un x ici,
la distance entre cette valeur et a, tant qu'elle est
plus grande que zéro,
parce que la fonction peut être indéfinie à ce point--
Mais tant que la distance entre x et a est plus grande
que 0 et plus petite que cette étendue en x,
plus petit que delta,
tant que l'on choisit un x, on pourrait agrandir
l'axe des x ici-- ceci est a, dont cette distance
serait delta, et celle-ci serait aussi
delta-- tant que le x est dans cette zone,
que nous choisissions cette valeur, ou celle-ci--
tant que l'on en choisit l'une d'elles, on peut garantir que
la distance entre la fonction et la limite,
donc la distance entre, lorsque l'on prend
ces valeurs de x et que l'on évalue f(x) à ce point, la
distance entre f(x) et la limite
sera plus petite que ce nombre que vous avez choisi.
En y pensant, cela semble compliqué, et je
suis incertain quand à l'inclusion de cette notion
dans la plupart des cours de calcul.
Ils intègrent cette notion au début
avant même l'apprentissage des dérivées, et c'est très technique
et rigoureux, et cela tend
à faire décrocher plusieurs étudiants et je crois que beaucoup
ne comprennent pas l'intuition derrière la notion, mais
c'est mathématiquement très rigoureux.
Et je crois que c'est très important lors de l'étude de
calcul plus avancé ou dans le cas d'études en mathématiques.
Ceci dit, cette définition est
très intuitive.
Avant, on disait : je peux approcher
x de cette valeur, f(x) devra donc
approcher de celle-ci.
Et la façon mathématique de le définir est de dire, Sal,
Je veut m'en approcher BEAUCOUP.
Je veux que la distance entre f(x) et L
soit de 0.000000001, et je peux toujours
donner une distance autour de x pour laquelle ce sera vrai.
Et on manque de temps
Dans le prochain vidéo, je ferai des exemples où je prouverai
les limites, je ferai la preuve de limites
avec cette définition.
Et espérons qu'en utilisant des exemples tangibles,
cette définition vous sera plus sensée.
À la prochaine!