1
00:00:00,700 --> 00:00:03,130
小吴和小刘

2
00:00:03,130 --> 00:00:04,370
在思睿学校不同的班级上物理课。

3
00:00:04,370 --> 00:00:07,750
小刘的老师总是在每次考试时出30道题，

4
00:00:07,750 --> 00:00:10,870
而小吴的老师考试更加频繁，

5
00:00:10,870 --> 00:00:14,150
但每次考试出24道题。

6
00:00:14,150 --> 00:00:17,802
小刘的老师每年还要布置3个专题项目。

7
00:00:17,802 --> 00:00:20,260
尽管这两个班考试的次数不一样，

8
00:00:20,260 --> 00:00:22,270
他们的老师告诉他们，

9
00:00:22,270 --> 00:00:25,250
两个班级--让我们画上重点线，--

10
00:00:25,250 --> 00:00:29,040
两个班每年考试题目的总数量必须相同。

11
00:00:29,040 --> 00:00:32,850
那么，小吴和小刘的两个班

12
00:00:32,850 --> 00:00:36,807
每年考试题目总数的最小值应该是多少？

13
00:00:36,807 --> 00:00:38,390
现在我们来看，这道题是什么意思。

14
00:00:38,390 --> 00:00:40,014
小刘的老师每次

15
00:00:40,014 --> 00:00:44,590
出30道题，所以第一次考试之后，

16
00:00:44,590 --> 00:00:46,850
他就做了30题。

17
00:00:46,850 --> 00:00:48,750
这里是0，

18
00:00:48,750 --> 00:00:52,240
第二次考试之后，他就做过60道题。

19
00:00:52,240 --> 00:00:56,150
第三次考试之后，他就做过90道题。

20
00:00:56,150 --> 00:01:00,070
第四次考试之后，他就做过120道题。

21
00:01:00,070 --> 00:01:03,480
第五次考试之后，如果有的话，

22
00:01:03,480 --> 00:01:06,700
他就做过--如果真是考了这么多次--

23
00:01:06,700 --> 00:01:08,912
他就做过150道题。

24
00:01:08,912 --> 00:01:10,620
我们可以这样一直继续下去，

25
00:01:10,620 --> 00:01:12,467
来寻求所有30的倍数。

26
00:01:12,467 --> 00:01:14,800
这或许是我们考虑问题的一个线索。

27
00:01:14,800 --> 00:01:16,549
我们在寻找这个数的倍数。

28
00:01:16,549 --> 00:01:19,710
我们要寻找最小的倍数。

29
00:01:19,710 --> 00:01:20,950
这是小刘的情况。

30
00:01:20,950 --> 00:01:22,710
现在，我们再来看小吴是什么情况？

31
00:01:22,710 --> 00:01:25,650
小吴的老师，在第一次考试之后，

32
00:01:25,650 --> 00:01:29,220
让他们做了24道题，

33
00:01:29,220 --> 00:01:32,770
然后，第二次考试后，他们就会做48道题，

34
00:01:32,770 --> 00:01:37,420
第三次考试之后，他们就会做72道题。

35
00:01:37,420 --> 00:01:39,250
然后，他们会做96道题，

36
00:01:39,250 --> 00:01:41,820
我只看24的倍数。

37
00:01:41,820 --> 00:01:45,030
在第四次考试后，他们会做96道题。

38
00:01:45,030 --> 00:01:49,610
在第五次考试之后，他们就会做过120道题。

39
00:01:49,610 --> 00:01:55,160
如果有第六次考试，他们就会做过144道题。

40
00:01:55,160 --> 00:01:57,430
这样，我们可以一直继续下去。

41
00:01:57,430 --> 00:01:58,300
但是，我们来看，题目怎么问的，

42
00:01:58,300 --> 00:02:00,180
小吴和小刘在一年里

43
00:02:00,180 --> 00:02:03,200
做过的相同的题目数里面，最小的那个是什么？

44
00:02:03,200 --> 00:02:04,710
好， 最小的数就是这个点。

45
00:02:04,710 --> 00:02:07,380
在这里，我们得到了相同的考试题目数。

46
00:02:07,380 --> 00:02:09,190
尽管每次考试的题目数

47
00:02:09,190 --> 00:02:10,617
是不同的，

48
00:02:10,617 --> 00:02:12,950
你们可以看到，在这里，他们做了相同的题目数。

49
00:02:12,950 --> 00:02:14,880
它是120.

50
00:02:14,880 --> 00:02:16,770
在120 这一点，

51
00:02:16,770 --> 00:02:19,300
他俩都做了120道题。

52
00:02:19,300 --> 00:02:21,840
尽管小刘的老师每次考试出30题，

53
00:02:21,840 --> 00:02:25,240
而小吴的老师每次出24题。

54
00:02:25,240 --> 00:02:28,469
所以，答案就是120.

55
00:02:28,469 --> 00:02:30,510
注意，他们考试的次数不一样，

56
00:02:30,510 --> 00:02:33,650
小刘考了1，2，3，4次，

57
00:02:33,650 --> 00:02:36,300
而小吴考了1，2，3，4，

58
00:02:36,300 --> 00:02:37,570
5次。

59
00:02:37,570 --> 00:02:41,270
但他们做题的总数都是120道题。

60
00:02:41,270 --> 00:02:44,100
现在，我们用数学方式来理解。

61
00:02:44,100 --> 00:02:47,370
或者用我们以前学过的最小公倍数的定义来考虑这个问题。

62
00:02:47,370 --> 00:02:55,650
这个题实际上是要我们求

63
00:02:55,650 --> 00:02:56,980
30和24的最小公倍数。

64
00:02:56,980 --> 00:03:02,692
它们的最小公倍数是120。

65
00:03:02,692 --> 00:03:04,150
除了刚才讲的寻求倍数的方法，

66
00:03:04,150 --> 00:03:06,399
还有另外一种方法

67
00:03:06,399 --> 00:03:07,870
来求最小公倍数。

68
00:03:07,870 --> 00:03:10,440
我们可以对它进行素因数分解。

69
00:03:10,440 --> 00:03:15,290
30等于2乘15，而15等于3乘5.

70
00:03:15,290 --> 00:03:20,420
因此，我们可以说，30等于2乘3乘5。

71
00:03:20,420 --> 00:03:28,580
再看24，我们用不同的颜色，用蓝色吧，

72
00:03:28,580 --> 00:03:31,570
24等于2乘12，

73
00:03:31,570 --> 00:03:33,846
12等于2乘6，

74
00:03:33,846 --> 00:03:36,080
6等于2乘3，

75
00:03:36,080 --> 00:03:44,660
所以24等于2乘2乘2乘3

76
00:03:44,660 --> 00:03:47,250
这是另一种求最小公倍数的方法，

77
00:03:47,250 --> 00:03:49,720
就算我们没有做上面的这个练习题，也可以用这种方法。

78
00:03:49,720 --> 00:03:52,820
这个公倍数必须能被30和24这两个数整除。

79
00:03:52,820 --> 00:03:54,810
要使它被30整除，

80
00:03:54,810 --> 00:04:00,060
它必须有2乘3乘5.

81
00:04:00,060 --> 00:04:01,430
这是它的素因数分解里面的素数。

82
00:04:01,430 --> 00:04:03,420
这个乘积就是30.

83
00:04:03,420 --> 00:04:05,830
它可以被30整除。

84
00:04:05,830 --> 00:04:10,050
然后，要使它被24整除，

85
00:04:10,050 --> 00:04:13,750
它的素因数需要3个2和1个3.

86
00:04:13,750 --> 00:04:15,230
这里，我们已经有1个3了，

87
00:04:15,230 --> 00:04:18,040
并且，我们也已经有1个2了，我们只需要另外2个2。

88
00:04:18,040 --> 00:04:20,740
所以，2乘2。

89
00:04:20,740 --> 00:04:24,340
这样就可以--让我往上移一下--

90
00:04:24,340 --> 00:04:29,080
这样，我们就可以让它被24整除。

91
00:04:29,080 --> 00:04:32,030
这其实就是30和24的

92
00:04:32,030 --> 00:04:34,920
最小公倍数的素因数分解。

93
00:04:34,920 --> 00:04:37,300
如果你去掉这些数的任何一个，

94
00:04:37,300 --> 00:04:40,251
它就不能被这两个数中的一个

95
00:04:40,251 --> 00:04:40,750
整除了。

96
00:04:40,750 --> 00:04:43,333
如果你去掉一个2，它就

97
00:04:43,333 --> 00:04:43,950
不能被24整除了

98
00:04:43,950 --> 00:04:45,830
如果你去掉1个2或者去掉1个3，

99
00:04:45,830 --> 00:04:50,520
如果你去掉1个3或者1个5，

100
00:04:50,520 --> 00:04:53,145
它就不能被30整除了。

101
00:04:53,145 --> 00:04:55,020
如果我们把所有的这些数乘起来，

102
00:04:55,020 --> 00:05:04,170
这就是2乘2乘2等于8，再乘3等于24，再乘5等于120。

103
00:05:04,170 --> 00:05:06,740
现在我们再看一道题。

104
00:05:06,740 --> 00:05:09,971
小马刚买了21个一包的文件夹，

105
00:05:09,971 --> 00:05:11,220
我们把这个数字写下来。

106
00:05:11,220 --> 00:05:12,660
21个文件夹。

107
00:05:12,660 --> 00:05:14,800
她还买了30支一包的铅笔。

108
00:05:17,860 --> 00:05:20,240
她想用这些文件夹和铅笔

109
00:05:20,240 --> 00:05:23,060
分成相同的办公用品组合包

110
00:05:23,060 --> 00:05:24,650
送给她的同班同学。

111
00:05:24,650 --> 00:05:27,540
请问，小马要想把这些办公用品都用上，

112
00:05:27,540 --> 00:05:29,456
她最多可以分成多少包呢？

113
00:05:29,456 --> 00:05:31,330
说到最大，

114
00:05:31,330 --> 00:05:33,246
这是一个线索，

115
00:05:33,246 --> 00:05:34,620
我们或许要求最大公约数。

116
00:05:34,620 --> 00:05:36,710
也是要考虑把这些东西分开，

117
00:05:36,710 --> 00:05:39,660
我们想把这两样东西分到

118
00:05:39,660 --> 00:05:44,764
完全相同的办公用品组合包里。

119
00:05:44,764 --> 00:05:46,930
我们可以用一些不同的方法来做。

120
00:05:46,930 --> 00:05:49,060
我们先来考虑什么是

121
00:05:49,060 --> 00:05:51,100
两个数的最大公约数。

122
00:05:51,100 --> 00:05:53,450
我们也可以叫它最大公因数，

123
00:05:53,450 --> 00:06:00,500
21和30的最大公约数。

124
00:06:00,500 --> 00:06:04,280
最大的能够整除这两个数的数是什么？

125
00:06:04,280 --> 00:06:05,902
我们可以求它们的素因数。

126
00:06:05,902 --> 00:06:07,610
我们可以列出它们所有的共同的因数

127
00:06:07,610 --> 00:06:09,570
然后找到最大的一个。

128
00:06:09,570 --> 00:06:16,700
或者，我们可以进行素因数分解。

129
00:06:16,700 --> 00:06:18,820
让我们采用素因数分解的方法。

130
00:06:18,820 --> 00:06:21,760
21就是3乘7，

131
00:06:21,760 --> 00:06:23,690
3和7都是素数。

132
00:06:23,690 --> 00:06:27,140
30，看看，

133
00:06:27,140 --> 00:06:30,210
我可以把它写在这里，它是2乘15。

134
00:06:30,210 --> 00:06:32,110
我们刚才做过的，

135
00:06:32,110 --> 00:06:34,620
15是3乘5。

136
00:06:34,620 --> 00:06:37,680
那么，在两个素因数分解中，最大的

137
00:06:37,680 --> 00:06:39,780
共同素数是什么？

138
00:06:39,780 --> 00:06:42,820
你们只有这个3。

139
00:06:42,820 --> 00:06:44,820
这个3不能乘以任何其他的数了。

140
00:06:44,820 --> 00:06:47,420
所以，答案应该是3

141
00:06:47,420 --> 00:06:48,900
这实质上是说，

142
00:06:48,900 --> 00:06:54,760
我们可以用3去除这两个数字。

143
00:06:54,760 --> 00:06:56,740
这样就可以得到

144
00:06:56,740 --> 00:06:58,504
最大的相同文具组合包的个数。

145
00:06:58,504 --> 00:07:00,170
我们应该很明确我们做了什么。

146
00:07:00,170 --> 00:07:02,260
我们的答案是3.

147
00:07:02,260 --> 00:07:04,360
但是为了有个直观的理解，

148
00:07:04,360 --> 00:07:07,070
让我们实际画出21个文件夹。

149
00:07:07,070 --> 00:07:13,728
这21个文件夹，1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

150
00:07:13,728 --> 00:07:19,320
11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.

151
00:07:19,320 --> 00:07:22,760
然后30支铅笔，我用绿色画。

152
00:07:22,760 --> 00:07:27,700
1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10.

153
00:07:27,700 --> 00:07:29,480
让我直接拷贝它们，

154
00:07:29,480 --> 00:07:31,660
免得过于繁琐，

155
00:07:31,660 --> 00:07:35,510
拷贝，粘贴，

156
00:07:35,510 --> 00:07:41,630
这是20，再粘贴，就是30.

157
00:07:41,630 --> 00:07:45,030
我们看到，3就是可以

158
00:07:45,030 --> 00:07:46,750
平均分配这两种文具的最大的数。

159
00:07:46,750 --> 00:07:50,670
现在我可以把这两种文具都分成3组。

160
00:07:50,670 --> 00:07:55,390
对于文件夹，我们可以把它分成每组7个的3个组，

161
00:07:55,390 --> 00:07:58,400
然后，对于铅笔，

162
00:07:58,400 --> 00:08:01,320
我们可以把它分成每组10支的三个组。

163
00:08:01,320 --> 00:08:03,050
如果有3个人

164
00:08:03,050 --> 00:08:05,710
进入这个教室，

165
00:08:05,710 --> 00:08:11,640
可以给他们每人7个文件夹和10支铅笔。

166
00:08:11,640 --> 00:08:14,290
但是这是小马可以做到的

167
00:08:14,290 --> 00:08:15,270
具有相同文具数量的组合包的最大数量。

168
00:08:15,270 --> 00:08:16,450
我们可以分成3个文具组合包。

169
00:08:16,450 --> 00:08:22,000
每个组合包有7个文件夹和10支铅笔。

170
00:08:22,000 --> 00:08:23,500
问题的实质就是，

171
00:08:23,500 --> 00:08:27,960
我们要找到一个最大的数，它能够平均分配两种文具的数量。

172
00:08:27,960 --> 00:08:30,050
或者说，能够平均分配这两种文具的

173
00:08:30,050 --> 00:08:33,263
最大的数是什么。