WEBVTT

00:00:00.700 --> 00:00:03.130
小吴和小刘

00:00:03.130 --> 00:00:04.370
在思睿学校不同的班级上物理课。

00:00:04.370 --> 00:00:07.750
小刘的老师总是在每次考试时出30道题，

00:00:07.750 --> 00:00:10.870
而小吴的老师考试更加频繁，

00:00:10.870 --> 00:00:14.150
但每次考试出24道题。

00:00:14.150 --> 00:00:17.802
小刘的老师每年还要布置3个专题项目。

00:00:17.802 --> 00:00:20.260
尽管这两个班考试的次数不一样，

00:00:20.260 --> 00:00:22.270
他们的老师告诉他们，

00:00:22.270 --> 00:00:25.250
两个班级--让我们画上重点线，--

00:00:25.250 --> 00:00:29.040
两个班每年考试题目的总数量必须相同。

00:00:29.040 --> 00:00:32.850
那么，小吴和小刘的两个班

00:00:32.850 --> 00:00:36.807
每年考试题目总数的最小值应该是多少？

00:00:36.807 --> 00:00:38.390
现在我们来看，这道题是什么意思。

00:00:38.390 --> 00:00:40.014
小刘的老师每次

00:00:40.014 --> 00:00:44.590
出30道题，所以第一次考试之后，

00:00:44.590 --> 00:00:46.850
他就做了30题。

00:00:46.850 --> 00:00:48.750
这里是0，

00:00:48.750 --> 00:00:52.240
第二次考试之后，他就做过60道题。

00:00:52.240 --> 00:00:56.150
第三次考试之后，他就做过90道题。

00:00:56.150 --> 00:01:00.070
第四次考试之后，他就做过120道题。

00:01:00.070 --> 00:01:03.480
第五次考试之后，如果有的话，

00:01:03.480 --> 00:01:06.700
他就做过--如果真是考了这么多次--

00:01:06.700 --> 00:01:08.912
他就做过150道题。

00:01:08.912 --> 00:01:10.620
我们可以这样一直继续下去，

00:01:10.620 --> 00:01:12.467
来寻求所有30的倍数。

00:01:12.467 --> 00:01:14.800
这或许是我们考虑问题的一个线索。

00:01:14.800 --> 00:01:16.549
我们在寻找一个数的倍数。

00:01:16.549 --> 00:01:19.710
我们在寻找最小的倍数。

00:01:19.710 --> 00:01:20.950
这是小刘的情况。

00:01:20.950 --> 00:01:22.710
现在，我们再来看小吴是什么情况？

00:01:22.710 --> 00:01:25.650
小吴的老师，在第一次考试之后，

00:01:25.650 --> 00:01:29.220
让他们做了24道题，

00:01:29.220 --> 00:01:32.770
然后，第二次考试后，他们就会做48道题，

00:01:32.770 --> 00:01:37.420
第三次考试之后，他们就会做72道题。

00:01:37.420 --> 00:01:39.250
然后，他们会做96道题，

00:01:39.250 --> 00:01:41.820
我只看24的倍数。

00:01:41.820 --> 00:01:45.030
在第四次考试后，他们会做96道题。

00:01:45.030 --> 00:01:49.610
在第五次考试之后，他们就会做过120道题。

00:01:49.610 --> 00:01:55.160
如果有第六次考试，他们就会做过144道题。

00:01:55.160 --> 00:01:57.430
这样，我们可以一直继续下去。

00:01:57.430 --> 00:01:58.300
但是，我们来看，题目怎么问的，

00:01:58.300 --> 00:02:00.180
小吴和小刘在一年里

00:02:00.180 --> 00:02:03.200
做过的题目数相同的数里面，最小的那个是什么？

00:02:03.200 --> 00:02:04.710
好， 最小的数就是这个点。

00:02:04.710 --> 00:02:07.380
在这里，我们得到了相同的考试题目数。

00:02:07.380 --> 00:02:09.190
尽管每次考试的题目数

00:02:09.190 --> 00:02:10.617
是不同的，

00:02:10.617 --> 00:02:12.950
你们可以看到，在这里，他们得到相同的数。

00:02:12.950 --> 00:02:14.880
它是120.

00:02:14.880 --> 00:02:16.770
在120 这一点，

00:02:16.770 --> 00:02:19.300
他俩都做了120道题。

00:02:19.300 --> 00:02:21.840
尽管小刘的老师每次考试出30题，

00:02:21.840 --> 00:02:25.240
而小吴的老师每次出24题。

00:02:25.240 --> 00:02:28.469
所以，答案就是120.

00:02:28.469 --> 00:02:30.510
注意，他们考试的次数不一样，

00:02:30.510 --> 00:02:33.650
小刘考了1，2，3，4次试，

00:02:33.650 --> 00:02:36.300
而小吴考了1，2，3，4，

00:02:36.300 --> 00:02:37.570
5次试。

00:02:37.570 --> 00:02:41.270
但他们做题的总数都是120道题。

00:02:41.270 --> 00:02:44.100
现在，我们用数学方式来理解。

00:02:44.100 --> 00:02:47.370
或者用我们以前学过的最小公倍数的定义来考虑这个问题。

00:02:47.370 --> 00:02:55.650
这个题实际上是要我们求

00:02:55.650 --> 00:02:56.980
30和24的最小公倍数。

00:02:56.980 --> 00:03:02.692
它们的最小公倍数是120。

00:03:02.692 --> 00:03:04.150
除了刚才讲的寻求倍数的方法，

00:03:04.150 --> 00:03:06.399
还有另外一种方法

00:03:06.399 --> 00:03:07.870
来求最小公倍数。

00:03:07.870 --> 00:03:10.440
我们可以对它进行素因数分解。

00:03:10.440 --> 00:03:15.290
30等于2乘15，而15等于3乘5.

00:03:15.290 --> 00:03:20.420
因此，我们可以说，30等于2乘3乘5。

00:03:20.420 --> 00:03:28.580
再看24，我们用不同的颜色，用蓝色吧，

00:03:28.580 --> 00:03:31.570
24等于2乘12，

00:03:31.570 --> 00:03:33.846
12等于2乘6，

00:03:33.846 --> 00:03:36.080
6等于2乘3，

00:03:36.080 --> 00:03:44.660
所以24等于2乘2乘2乘3

00:03:44.660 --> 00:03:47.250
这是另一种求最小公倍数的方法，

00:03:47.250 --> 00:03:49.720
就算我们没有做上面的这个联系，

00:03:49.720 --> 00:03:52.820
这个公倍数必须能被30和24这两个数整除。

00:03:52.820 --> 00:03:54.810
要使它被30整除，

00:03:54.810 --> 00:04:00.060
它必须有2乘3乘5.

00:04:00.060 --> 00:04:01.430
这就是30的

00:04:01.430 --> 00:04:03.420
素因数

00:04:03.420 --> 00:04:05.830
它可以被30整除。

00:04:05.830 --> 00:04:10.050
然后，要使它被24整除，

00:04:10.050 --> 00:04:13.750
它的素因数需要3个2和1个3.

00:04:13.750 --> 00:04:15.230
这里，我们已经有1个3了，

00:04:15.230 --> 00:04:18.040
并且，我们也已经有1个2了，我们只需要另外2个2。

00:04:18.040 --> 00:04:20.740
所以，2乘2。

00:04:20.740 --> 00:04:24.340
这样就可以--让我往上移一下--

00:04:24.340 --> 00:04:29.080
这样，我们就可以让它被24整除。

00:04:29.080 --> 00:04:32.030
这其实就是30和24的

00:04:32.030 --> 00:04:34.920
最小公倍数的素因数分解。

00:04:34.920 --> 00:04:37.300
如果你去掉这些数的任何一个，

00:04:37.300 --> 00:04:40.251
它就不能被这两个数中的一个数

00:04:40.251 --> 00:04:40.750
整除了。

00:04:40.750 --> 00:04:43.333
如果你去掉一个2，它就

00:04:43.333 --> 00:04:43.950
不能被24整除了

00:04:43.950 --> 00:04:45.830
如果你去掉1个2或者去掉1个3

00:04:45.830 --> 00:04:50.520
如果你去掉1个3或者1个5，

00:04:50.520 --> 00:04:53.145
它就不能被30整除了。

00:04:53.145 --> 00:04:55.020
如果我们把所有的这些数乘起来，

00:04:55.020 --> 00:05:04.170
这就是2乘2乘2等于8，再乘3等于24，再乘5等于120。

00:05:04.170 --> 00:05:06.740
现在我们再看一道题。

00:05:06.740 --> 00:05:09.971
小马刚买了21个一包的文件夹，

00:05:09.971 --> 00:05:11.220
我们把这个数字写下来。

00:05:11.220 --> 00:05:12.660
21个文件夹。

00:05:12.660 --> 00:05:14.800
她还买了30支一包的铅笔。

00:05:17.860 --> 00:05:20.240
她想用这些文件夹和铅笔

00:05:20.240 --> 00:05:23.060
分成相同的办公用品组合包

00:05:23.060 --> 00:05:24.650
送给她的同班同学。

00:05:24.650 --> 00:05:27.540
请问，小马要想把这些办公用品都用上，

00:05:27.540 --> 00:05:29.456
她最多可以分成多少包呢？

00:05:29.456 --> 00:05:31.330
说到最大，

00:05:31.330 --> 00:05:33.246
这是我们或许要考虑

00:05:33.246 --> 00:05:34.620
最大公约数的一个线索。

00:05:34.620 --> 00:05:36.710
也是要考虑把这些东西分开，

00:05:36.710 --> 00:05:39.660
我们想把这两样东西分到

00:05:39.660 --> 00:05:44.764
完全相同的办公用品组合包里。

00:05:44.764 --> 00:05:46.930
我们可以用一些不同的方法来做。

00:05:46.930 --> 00:05:49.060
我们先来考虑什么是

00:05:49.060 --> 00:05:51.100
两个数的最大公约数。

00:05:51.100 --> 00:05:53.450
我们也可以叫它最大公因数。

00:05:53.450 --> 00:06:00.500
21和30的最大公约数。

00:06:00.500 --> 00:06:04.280
最大的能够整除这两个数的数是什么？

00:06:04.280 --> 00:06:05.902
我们可以求它们的素因数。

00:06:05.902 --> 00:06:07.610
我们可以列出它们所有的共同的因数

00:06:07.610 --> 00:06:09.570
然后找到最大的一个。

00:06:09.570 --> 00:06:16.700
或者，我们可以进行素因数分解。

00:06:16.700 --> 00:06:18.820
让我们进行采用素因数分解的方法。

00:06:18.820 --> 00:06:21.760
21就是3乘7，

00:06:21.760 --> 00:06:23.690
3和7都是素数。

00:06:23.690 --> 00:06:27.140
30，看看，

00:06:27.140 --> 00:06:30.210
我可以把它写在这里，它是2乘15。

00:06:30.210 --> 00:06:32.110
我们刚才做过的，

00:06:32.110 --> 00:06:34.620
15是3乘5。

00:06:34.620 --> 00:06:37.680
那么，对两个素因数分解，最大的

00:06:37.680 --> 00:06:39.780
共同素数呢是什么？

00:06:39.780 --> 00:06:42.820
你们只有这个3。

00:06:42.820 --> 00:06:44.820
这个3不能乘以任何其他的数了。

00:06:44.820 --> 00:06:47.420
所以，答案应该是3

00:06:47.420 --> 00:06:48.900
这实质上是说，

00:06:48.900 --> 00:06:54.760
我们可以用3去除这两个数字。

00:06:54.760 --> 00:06:56.740
这样就可以得到

00:06:56.740 --> 00:06:58.504
最大的相同的文具组合包的个数。

00:06:58.504 --> 00:07:00.170
我们应该很明确我们做了什么。

00:07:00.170 --> 00:07:02.260
我们已经回答，这个问题的答案是3.

00:07:02.260 --> 00:07:04.360
但是为了有个直观的理解，

00:07:04.360 --> 00:07:07.070
让我们实际画出21个文件夹。

00:07:07.070 --> 00:07:13.728
这21个文件夹，1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

00:07:13.728 --> 00:07:19.320
11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.

00:07:19.320 --> 00:07:22.760
然后30支铅笔，我用绿色画。

00:07:22.760 --> 00:07:27.700
1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10.

00:07:27.700 --> 00:07:29.480
让我直接拷贝它们，

00:07:29.480 --> 00:07:31.660
免得过于繁琐，

00:07:31.660 --> 00:07:35.510
拷贝，粘贴，

00:07:35.510 --> 00:07:41.630
这是20，再粘贴，就是30.

00:07:41.630 --> 00:07:45.030
我们看到，3就是可以，

00:07:45.030 --> 00:07:46.750
平均分配这两种文具的最大的数。

00:07:46.750 --> 00:07:50.670
现在我可以把这两种文具都分成3组。

00:07:50.670 --> 00:07:55.390
对于文件夹，我们可以把它分成每组7个的3个组，

00:07:55.390 --> 00:07:58.400
然后，对于铅笔，

00:07:58.400 --> 00:08:01.320
我们可以把它分成每组10支的三个组。

00:08:01.320 --> 00:08:03.050
如果有3个人

00:08:03.050 --> 00:08:05.710
进入这个教室，

00:08:05.710 --> 00:08:11.640
可以给他们每人7个文件夹和10支铅笔。

00:08:11.640 --> 00:08:14.290
但是这是小马可以做到的

00:08:14.290 --> 00:08:15.270
有相同文具组合包的最大数量。

00:08:15.270 --> 00:08:16.450
我们可以分成3个文具组合包。

00:08:16.450 --> 00:08:22.000
每个组合包有7个文件夹和10支铅笔。

00:08:22.000 --> 00:08:23.500
实质上我们应该这样来思考问题的实质就是，

00:08:23.500 --> 00:08:27.960
我们要找到一个最大的数，它能够同时平均分配两种文具的数量，

00:08:27.960 --> 00:08:30.050
或者说，能够同时平均分配这两种文具的

00:08:30.050 --> 00:08:33.263
最大的数是什么。