วิลเลียมกับหลุยส์เรียนวิชาฟิสิกส์ที่
ซานตาริตา คนละห้องกัน.
ครูของหลุยส์ให้ข้อสอบ 30 ข้อตลอด
ในขณะที่ครูของวิลเลียมให้
ข้อสอบบ่อยกว่า แต่มีแค่ 24 ข้อเท่านั้น.
ครูของหลุยส์ยังสั่งโครงงาน 3 ชิ้นต่อปีด้วย.
ถึงแม้ว่าทั้งสองห้องจะสอบ
ไม่บ่อยเท่ากัน แต่ครูของพวกเขาบอกว่า
ทั้งสองห้อง -- ขอผมขีดเส้นใต้นะ --
ทั้งสองห้องจะได้จำนวนคำถาม เท่ากันในแต่ละปี.
จำนวนข้อสอบที่น้อยที่สุด
ที่ห้องของวิลเลียมหรือหลุยส์ จะได้ทำในแต่ละปีเป็นเท่าใด?
ลองคิดดูว่าเกิดอะไรขึ้นบ้าง.
ถ้าเราคิดถึงครูของหลุยส์ที่
ให้คำถาม 30 ข้อต่อชุด หลังจากชุดแรก
เขาจะให้ 30 ข้อ.
นี่ก็คือ 0 ตรงนี้.
หลังจากชุดที่สอง เขาจะทำไป 60.
หลังจากชุดที่สาม เขาทำได้ 90 ข้อ.
แล้วหลังจากชุดที่สี่ เขาจะทำไป 120 ข้อ.
และหลังจากชุดที่ห้า ถ้านี่คือชุดทีห้า
เขาจะ -- ถ้าเรายังสอบจำนวนเท่าเดิม
-- เขาจะทำทั้งหมด 150 ข้อ.
แล้วเราก็นับไปเรื่อยๆ
เป็นผลคูณของ 30 ได้.
และนี่คือคำใบ้ ว่าเราจะคิดยังไง.
เรารู้จำนวนเท่าของจำนวน.
เราอยากได้จำนวนเท่าที่น้อยที่สุด หรือผลคูณที่น้อยที่สุด.
นั่นคือของหลุยส์
เกิดอะไรขึ้นกับวิลเลียมบ้าง?
หลังจากข้อสอบชุดแรก ครูของวิลเลียม
จะให้คำถามไป 24 ข้อ.
แล้วเขาจะได้ 48 ข้อหลังจากชุดที่สอง
แล้วจะได้ 72 ข้อหลังจากชุดที่สาม.
แล้วจะได้ 96.
ผมแค่หาจำนวนเท่าของ 24
พวกเขาจะได้ 96 ข้อหลังจากชุดที่สี่.
แล้วหลังจากชุดที่ห้า พวกเขาจะได้ 120.
หลังจากชุดที่หก ได้ 144.
เราก็ทำไปเรื่อยๆ ได้
แต่ลองดูคำถาม.
จำนวนข้อที่น้อยที่สุด
ที่ห้องของวิลเลียมหรือหลุยส์ ต้องทำในหนึ่งปีเป็นเท่าใด?
จำนวนที่น้อยที่สุด คือจุดที่
เขาได้จำนวนข้อสอบเท่ากัน
ถึงแม้ว่าข้อสอบแต่ละชุด
จะมีจำนวนข้อไม่เท่ากัน.
คุณเห็นได้ว่า จุดที่ได้จำนวนเท่ากัน
คือ 120.
มันเกิดขึ้นที่ 120.
ทั้งสองห้องได้คำถาม 120 ข้อพอดี.
ถึงแม้ว่าครูของหลุยส์จะให้ทีละ 30 ข้อ
และถึงแม้ว่าครูของวิลเลียมจะให้ ทีละ 24 ข้อ.
คำตอบก็ยังเป็น 120.
สังเกตว่า พวกเขามีจำนวนชุดไม่เท่ากัน.
หลุยส์มี 1, 2, 3, 4 ชุด
ในขณะที่วิลเลียมต้องสอบ 1, 2, 3, 4
5 ครั้ง.
แต่ทั้งคู่ได้คำถามทั้งหมด 120 ข้อ.
ทีนี้ เมื่อคิดในรูปของสัญลักษณ์ ทางคณิตศาสตร์
หรือตัวคูณร่วมน้อยที่เราเห็นมาก่อน.
นี่ก็เหมือนกับถามเราว่า ตัวคูณร่วมน้อยของ 30
กับ 24 คืออะไร.
และตัวคูณร่วมน้อย เท่ากับ 120.
ทีนี้ ยังมีวิธีหา
ตัวคูณร่วมน้อยวิธีอื่น นอกเหนือ
จากการดูจำนวนเท่าอย่างนี้.
คุณหาจากการแยกตัวประกอบเฉพาะได้.
30 คือ 2 คูณ 15, ซึ่งก็คือ 3 คูณ 5.
เราก็บอกได้ว่า 30 เท่ากับ 2 คูณ 3 คูณ 5.
และ 24 -- มันคนละสีกับสีฟ้า -- 24
เท่ากับ 2 คูณ 12.
12 เท่ากับ 2 คูณ 6.
6 เท่ากับ 2 คูณ 3.
24 จึงเท่ากับ 2 คูณ 2 คูณ 2 คูณ 3.
วิธีหาตัวคูณร่วมน้อยอีกวิธี
ถ้าผมไม่ได้ทำตรงนี้ ผมก็บอกว่า
จำนวนนั้นต้องหารด้วยทั้ง 30 และ 24 ลงตัว.
ถ้ามันหารด้วย 30 ลงตัว
มันต้องมี 2 คูณ 3 คูณ 5
อยู่ในการแยกตัวประกอบเฉพาะ.
นั่นก็คือ 30.
นี่ทำให้มันหารด้วย 30 ลงตัว.
และ เพื่อให้หารด้วย 24 ลงตัว
การแยกตัวประกอบเฉพาะของมัน ต้องมี 2 สามตัวกับ 3 หนึ่งตัว.
เรามี 3 หนึ่งตัวแล้วตอนนี้.
และเรามี 2 หนึ่งตัวแล้ว เราจึงต้องการ 2 อีกสองตัว.
2 คูณ 2.
นี่ทำให้ -- ขอผมเลื่อนขึ้น
หน่อยนะ -- อันนี้ตรงนี้ทำให้ หารด้วย 24 ลงตัว.
นี่ก็คือการแยกตัวประกอบเฉพาะ
ของตัวคูณร่วมน้อยของ 30 และ 24.
ถ้าคุณเอาเลขตัวหนึ่งไป
มันจะไม่สามารถหารด้วยเลข หนึ่งในนี้ได้.
ถ้าคุณเอา 2 ออกไป คุณจะ หารด้วย 24 ลงตัวไม่ได้อีก.
ถ้าคุณเอา 2 หรือ 3 ออกไป.
ถ้าคุณเอา 3 หรือ 5 ออกไป
คุณจะหารด้วย 30 ไม่ลงตัวอีกต่อไป.
และถ้าคุณคูณมันออกมา
นี่ก็คือ 2 คูณ 2 คูณ 2 ได้ 8
ลองทำอีกดีกว่า.
อูมามาซื้อแฟ้มหนึ่งห่อมี 21 อัน.
ขอผมเขียนเลขลงไปนะ.
21 อัน.
เธอซื้อดินสอหนึ่งห่อมี 30 แท่ง.
เธออยากใช้แฟ้มกับดินสอให้หมด
เพื่อจัดเป็นชุดเครื่องเขียน
ให้เพื่อนๆ ของเธอ.
จำนวนชุดที่เหมือนกันที่มากที่สุด
ที่อูมามาจัดได้เป็นเท่าใด?
การที่เราหาค่ามากที่สุด
เป็นคำใบ้ว่า เราจะน่า
หาตัวหารร่วมมาก.
และมันยังเกี่ยวกับการแบ่งด้วย.
เราอยากแบ่งทั้งสองอย่างด้วย
จำนวนชุดที่มากที่สดุ.
มีวิธีได้หลายวิธี.
ลองคิดว่าตัวหารร่วมมาก
ของเลขสองตัวนี้คืออะไร.
หรือผมบอกว่า ตัวประกอบร่วมมากก็ได้.
ตัวหารร่วมมากของ 21 กับ 30
จำนวนที่มากที่สุดที่หาร ทั้งสองลงตัวคืออะไร?
เราไปที่ตัวประกอบเฉพาะก็ได้.
เราเขียนตัวประกอบธรรมดาให้หมดก็ได้.
แล้วดูว่าตัวที่มากที่สุดคืออะไร.
หรือเราดูการแยกตัวประกอบเฉพาะก็ได้.
ลองใช้วิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะกัน.
21 ก็เหมือนกับ 3 คูณ 7.
พวกมันเป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่.
30, ลองดู, มันคือ 3 --
ที่จริงผมเขียนแบบนี้ได้ -- เป็น 2 คูณ 15.
เราทำไปแล้ว.
และ 15 คือ 3 คูณ 5.
กลุ่มจำนวนเฉพาะที่
มีร่วมกันในนี้ที่มากที่สุดคืออะไร?
คุณมีแค่ 3 ตรงนี้.
คุณจึงไม่ต้องหา 3 คูณอย่างอื่น.
มันจะเท่ากับ 3.
นี่จึงบอกเราว่า
ดูสิ เราหารเลขทั้งสองนี้ด้วย 3
แล้วเราจะได้จำนวนชุด
ที่เหมือนกันที่มากที่สุด.
เพื่อให้เห็นว่าเราทำอะไรอยู่
เราตอบคำถามแล้วว่า 3
แต่เพื่อให้เห็นภาพคำถามนี้
ลองวาดแฟ้ม 21 อันกัน.
สมมุติว่ามีแฟ้ม 21 อัน มี 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.
แล้วดินสอ 30 แท่ง ผมจะใช้สีเขียวนะ.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
ขอผมลอกแล้ววางนะ.
มันยุ่งยากมาก.
คัดลอกแล้ววาง
นั่นคือ 20 แล้ววาง คือ 30.
เราหาได้แล้วว่า 3 เป็นจำนวนที่มากที่สุดที่
หารเลขทั้งสองนี้ได้ลงตัว.
เราก็แบ่งทั้งสองอย่างนี้ เป็นกลุ่มกลุ่มละ 3 ได้.
ส่วนแฟ้ม ผมแบ่งเป็น 3 กลุ่มกลุ่มละ 7 ได้.
แล้วดินสอ ผมแบ่งได้
เป็นสามกลุ่มกลุ่มละ 10.
แล้วถ้ามีคน 3 คน
มาในห้องเรียนนี้
ผมก็ให้แฟ้ม 7 อันกับ ดินสอ 10 แท่งแต่ละคน.
แต่นั่นคือชุดที่เหมือนกัน ที่มากที่สุด
ที่อูมามาจัดได้.
ผมมี 3 ชุด.
แต่ละชุดมีแฟ้ม 7 อัน กับดินสอ 10 แท่ง.
เราก็แค่คิดว่า
จำนวนที่เราแบ่งของทั้งสองนี้
เท่าๆ กัน จำนวนที่เรา
แบ่งเป็นชุดได้เท่าๆ กันนั้น เป็นเท่าใด.