William en Luis zitten in verschillende natuurkunde klassen
in Santa Rita.
De leraar van Luis geeft altijd proefwerken met 30 vragen,
terwijl Williams leraar vaker proefwerken
geeft met maar 24 vragen.
De leraar van Luis wijst ook drie projecten per jaar toe.
Ook al krijgen de twee klassen een verschillend
aantal proefwerken, hun leraren hebben gezegd
dat beide klassen
hetzelfde aantal proefwerkvragen krijgen elk jaar.
Wat is het minimum aantal proefwerkvragen
dat de klas van William of Luis kan verwachten in een jaar?
Laat eens denken wat er gebeurt.
Als we de leraar van Luis nemen, die
30 vragen per proefwerk geeft, dan na het eerste proefwerk,
heeft hij 30 vragen gehad.
Dus dit is 30 hier.
Na het tweede proefwerk heeft hij er 60 gehad.
Na het derde proefwerk heeft hij er 90 gehad.
En na het vierde proefwerk heeft hij er 120 gehad.
En na het vijfde proefwerk, als er een vijfde is,
heeft hij er-- dit is als hij er zoveel heeft gehad--
komt hij op 150 vragen in totaal.
En we kunnen door blijven gaan
en veelvouden van 30 opschrijven.
Dus dit is waarschijnlijk een hint waar we aan moeten denken.
We kijken naar veelvouden van getallen.
We willen de minimum aan veelvouden of het kleinste veelvoud.
Dus dat is met Luis.
Hoe zit dat met William?
Na het eerste proefwerk,
hebben ze 24 vragen gekregen.
Dan hebben ze 48 vragen gehad na de tweede test.
Dan hebben ze 72 gehad na het derde proefwerk.
Dan hebben ze er 96 gehad.
Ik neem gewoon veelvouden van 24.
Dan hebben ze er 96 gehad na het vierde proefwerk.
En na het vijfde proefwerk hebben ze er 120 gehad.
Als er een zesde proefwerk is, hebben ze er 144 gehad.
En zo zouden we alsmaar door kunnen gaan.
Wat is het minimum aantal proefwerkvragen
dat de klas van William of Luis kan verwachten in een jaar?
Nou, het minimum aantal is het punt
waar ze hetzelfde aantal proefwerkvragen hebben gehad,
ondanks het feit dat de test een
verschillend aantal vragen had.
En je ziet het punt waarop ze hetzelfde aantal hebben
op 120.
Dit gebeurt bij 120.
Ze kunnen beiden exact 120 vragen krijgen
ook al geeft de leraar van Luis er 30 per keer
en de leraar van William er 24 per keer.
Dus het antwoord is 120.
En kijk, ze hebben een verschillend aantal proefwerken.
Luis had er een, twee, drie, vier proefwerken
terwijl William er een, twee, drie, vier, vijf zou krijgen.
Maar dat resulteert voor beiden op 120 vragen.
Denkend in termen van wiskundige notatie
of de kleinste gemene veelvoud notatie die we eerder zagen,
dan is dit eigenlijk ons vragen wat de kleinste gemene veelvoud van 30
en 24 is.
En dat kleinst gemene veelvoud is gelijk aan 120.
Er is een andere manier hoe je
het kleinste gemene veelvoud kan vinden dan alleen
naar de veelvouden te kijken.
Je kan het ook ontbinden in priemfactoren.
30 is 2 keer 15, dat is 3 keer 5.
We kunnen dus zeggen dat 30 gelijk is aan 2 keer 3 keer 5.
En 24-- dat is een andere kleur dan die blauwe-- 24
is gelijk aan 2 keer 12.
12 is gelijk aan 2 keer 6.
6 is gelijk aan 2 keer 3.
Dus 24 is gelijk aan 2 keer 2 keer 2 keer 3.
Dus een andere manier om het kleinst gemene veelvoud te vinden,
als we deze oefening hierboven niet hadden gedaan,
is zeggen, het getal moet deelbaar zijn door zowel 30 als 24.
Als het deelbaar is door 30,
dan heeft het 2 keer 3 keer 5
in zijn priemfactoren.
Dat is in principe 30.
Dus dit maakt het deelbaar door 30.
Om deelbaar te zijn door 24,
moeten zijn priemfactoren bestaan uit 3 tweeën en een 3.
We hebben al één drie.
En we hebben al één tweee, dus we hebben nog 2 tweeën nodig.
Dus 2 keer 2.
Dit maakt het--
Dit hier maakt het deelbaar door 24.
En dit is dus de ontbinding in priemfactoren
van het kleinste gemene veelvoud van 30 en 24.
Je neemt één van deze getallen weg,
en het is niet deelbaar meer door één of twee van deze getallen.
Als je een twee weghaalt, is het niet meer deelbaar door 24.
Als je een twee of een drie weghaalt.
Als je een drie of een vijf weghaalt,
dan is het niet meer deelbaar door 30.
Dus als je deze met elkaar vermenigvuldigt,
2 keer 2 keer 2 is 8 keer 3 is 24 keer 5 is 120.
Laten we er nog zo een doen.
Umama heeft zojuist een pak met 21 verzamelmappen gekocht.
Laat me dat getal opschrijven.
21 mappen.
Ze kocht ook een pak met 30 potloden.
Ze wil al deze mappen en potloden
identieke setjes met schoolspullen maken
voor haar klasgenoten.
Wat is het grootste aantal identieke setjes
dat Umama kan maken als ze alle spullen wil opmaken?
Het feit dat we spreken over het grootste
is een aanwijzing dat we waarschijnlijk te maken hebben
met grootste gemene delers.
En we krijgen ook te maken met het delen van deze dingen.
We willen deze beide delen in het grootste
aantal gelijke setjes.
Er is een aantal manieren waarop we dit kunnen doen.
Bedenk eens wat de grootste gemene deler
van deze beide getallen is.
Of ik kan zelfs zeggen, de grootste gemene factor.
De grootste gemene deler van 21 en 30.
Wat is het grootste getal waarmee je beide kan delen?
We kunnen dat doen met de priemfactor.
We kunnen een lijst maken met hun priemfactoren
en kijken wat de grootste gemeenschappelijke is.
Of we kunnen kijken naar de ontbinding in priemfactoren.
Laten we de ontbinding in priemfactoren doen.
21 is hetzelfde als 3 keer 7.
Dit zijn beide priemgetallen.
30 is, eens kijken, is 3--
of eigenlijk-- het is 2 keer 15.
We hebben dit daarnet al gedaan.
En 15 is 3 keer 5.
Dus wat is het grootste aantal priemgetallen dat
gelijk is aan beide ontbindingen in priemfactoren?
Nou, je hebt alleen een drie daar.
En je hebt geen drie keer iets anders.
Dus dit is gewoon gelijk aan 3.
Dit vertelt ons,
kijk, we kunnen deze beide getallen delen door 3
en dat geeft ons het grootste
aantal gelijke setjes.
Om duidelijk te maken wat we hebben gedaan,
het antwoord op de vraag is 3,
maar om het te visualiseren voor deze vraag,
laten we 21 mappen tekenen.
Zeg, de 21 mappen, 1, 2 ... 9, 10,
11, 12 ... 20, 21
En dan 30 potloden, ik doe ze in groen.
Dus 1, 2 ... 9, 10
laat me dit kopiëren.
Het wordt wat eentonig.
Dat is 30 en dat is 30.
We hebben gevonden dat 3 is het grootste aantal dat
we beide gelijk mee kunnen delen.
Dus ik kan beide in groepen van 3 verdelen.
Voor de mappen, kan ik ze in drie groepen van 7 delen.
En de potloden kan ik het
in drie groepen van 10 doen.
Dus als er drie mensen zijn die
naar het klaslokaal komen,
kan ik ze ieder een set van zeven mappen en 10 potloden geven.
Maar dat is het grootste aantal identieke setjes dat
Umama kan maken.
Ik heb drie setjes.
Elke set heeft zeven mappen en 10 potloden.
En we zijn eigenlijk aan het bedenken
wat het aantal van deze setjes is waarin we kunnen verdelen.
Het grootste aantal dat we ze in
gelijke setjes kunnen verdelen.