"William i Luis idu na različita
predavanja iz fizike, u Santa Riti.
Luisova profesorica uvijek daje
ispite sa 30 pitanja,
dok Williamova profesorica daje
češće ispite sa samo 24 pitanja.
Luisova profesorica također
zadaje 3 projekta u godini.
Iako ta dva razreda imaju
različit broj testova,
profesorice su im rekle da oba razred --
podcrtat ću -- oba razreda
će imati isti broj pitanja
na testovima kroz godinu.
Koji je minimalni broj pitanja
koje William i Luis mogu
očekivati u datoj godini?"
Razmislimo što se događa.
Ako razmislimo o Luisovoj profesorici
koja daje 30 pitanja na svakom testu,
nakon prvog testa,
imat će 30 pitanja.
To je nula ovdje.
Nakon drugog testa,
imat će 60.
Nakon trećeg testa će imati 90.
I nakon četvrtog, imati će 120.
Nakon petog testa, ako postoji peti test,
imat će -- znači, ako imaju toliko testova --
doći će do ukupnih 150 pitanja.
Mogli bismo nastaviti tražiti
višekratnike broja 30.
Ovo je vjerojatno nagovještaj
onoga o čemu mislimo.
Gledamo višekratnike brojeva.
A želimo minimalne višekratnike,
ili najmanji višekratnik.
To je sa Luisom.
Što se događa sa Williamom?
Williamova profesorica...
Nakon prvog testa,
imati će 24 pitanja.
Zatim će imati 48 pitanja
nakon drugog testa.
Zatim će imati 72 pitanja
nakon trećeg testa.
Zatim će doći do 96.
Samo uzimam višekratnike broja 24.
Doći će do 96 pitanja nakon četvrtog testa.
Zatim, nakon petog testa,
imati će ih 120.
Ako postoji i šesti test,
onda će ih imati 144.
Mogli bismo ići i dalje.
Ali pogledajmo što nas pitaju.
Koji je minimalni broj pitanja
koje Williamov i Luisov razred
mogu očekivati u godini?
Minimalni broj je točka
na kojoj će dobiti isti broj ispitnih pitanja,
bez obzira na činjenicu da su
testovi imali različiti broj pitanja.
A vidimo da je točka, na kojoj
su imali isti broj pitanja, na 120.
To se događa na 120.
Oboje bi mogli imati 120 pitanja.
Iako Luisova profesorica
daje 30 pitanja na testu
i bez obzira što Williamova profesorica
daje 24 po testu.
Dakle, odgovor je 120.
Primjetimo da su imali različiti broj ispita.
Luis je imao jedan,
dva, tri, četiri testa.
Dok je William imao jedan,
dva, tri, četiri, pet testova.
Ali to ih oboje dovodi do
120 ukupnih pitanja.
Sada razmislimo o tome u
terminima matematičke notacije,
ili barem notacije zajedničkog
višekratnika koju smo već vidjeli.
Ovdje nas zapravo pitaju koji je najmanji
zajednički višekratnik brojeva 30 i 24.
A najmanji zajednički
višekratnik je jednak 120.
Postoje i drugi načini na koje možemo naći
najmanji zajednički višekratnik
osim da gledamo višekratnike, kao ovdje.
Možemo ih naći pomoću proste faktorizacije.
30 je 2 puta 15, što je 3 puta 5.
Pa možemo reći da je 30
jednako 2 puta 3 puta 5.
I 24 -- to je drugačija boja
od ove plave --
24 je jednako 2 puta 12
12 je jednako 2 puta 6.
6 je jednako 2 puta 3.
Dakle, 24 je jednako 2 puta
2 puta 2 puta 3.
Drugi način da se dođe do najmanjeg
zajedničkog višekratnika,
i da nismo riješili vježbu ovdje, gle,
broj mora biti djeljiv i sa 30 i sa 24.
Ako je djeljiv sa 30,
mora imati 2 puta 3 puta 5
među svojim prostim faktorima.
To je zapravo 30.
To ga čini djeljivim sa 30.
I recimo, da bi bio djeljiv sa 24,
njegovi prosti faktori će trebati
tri dvojke i trojku.
Već imamo jednu trojku.
I imamo jednu dvojku,
pa trebamo još dvije dvojke.
Dakle, 2 puta 2.
Ovo ga čini -- samo
da pomaknem malo gore --
Ovo ovdje ga čini djeljivim sa 24.
Ovo je zapravo prosta faktorizacija
najmanjeg zajedničkog
višekratnika brojeva 30 i 24.
Ako maknemo bilo koji od ovih brojeva,
neće biti djeljivo sa jednim od ova dva broja.
Ako maknemo 2,
neće više biti djeljivo sa 24.
Ako maknemo 2 ili 3.
Ako maknemo 3 ili 5,
neće više biti djeljivo sa 30.
Pa ako pomnožimo sve ove zajedno,
to je 2 puta 2 puta 2 je 8,
puta 3 je 24, puta 5 je 120.
Riješimo još jedan.
"Umama je kupila paket od 21 uveza.
Zapisat ću taj broj.
21 uvez.
Također je kupila paket od 30 olovaka.
30 olovaka.
Želi iskoristiti sve uveze i olovke
da bi stvorila identične setove
uredske opreme za svoje kolege.
Koji je najveći broj identičnih setova
koje Umama može napraviti
koristeći sav pribor?
Činjenica da pričamo o nečemu "najvećem"
nam govori da se vjerojatno
radi o najvećem zajedničkom djelitelju.
Također ćemo morati dijeliti ove stvari.
Želimo razdijeliti oba broja u
najveći broj identičnog seta.
O ovome možemo razmisliti na više načina.
Razmislimo koji je najveći zajednički
djelitelj od ova dva broja.
Ili mogu reći najveći
zajednički faktor.
Najveći zajednički djelitelj
od brojeva 21 i 30.
Koji je najveći broj koji
dijeli oba broja?
Možemo probati sa prostim faktorom.
Možemo zapisati sve njihove
normalne faktore
i vidjeti koji je najveći i zajednički.
Ili možemo probati sa prostom faktorizacijom.
Napravit ćemo sa metodom
proste faktorizacije.
21 je isto što i 3 puta 7.
Oba broja su prosta.
30 je, da vidimo, to je 3 -- zapravo,
mogu zapisati ovako --
to je 2 puta 15.
Zapravo smo ovo već riješili.
I 15 je 3 puta 5.
Koji je najveći prosti broj
koji je isti za obje faktorizacije?
Pa imamo samo 3 ovdje.
Nemamo 3 puta nešto.
Pa će ovo biti jednako 3.
Ovo nam zapravo govori
da možemo oba broja podijeliti sa 3
i to će nam dati najveći
broj identičnih setova.
Da pojasnim što radimo.
Odgovorili smo na pitanje... 3 je,
ali da vizualiziramo za ovo pitanje,
nacrtat ćemo 21 uvez.
Recimo, 21 uvez, dakle:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20, 21.
A zatim 30 olovaka,
nacrtat ću ih zelenom.
Dakle, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Kopirat ću ih i zalijepiti.
Ovo postaje naporno.
Kopiranje i lijepljenje.
Ovo je 20, pa zalijepi i to je 30.
Izračunali smo da je 3 najveći broj
koji dijeli oba broja jednako.
Pa ih sve mogu podijeliti u grupe od po 3.
Za uveze, mogu ih staviti u grupe od 7.
Zatim, za olovke, mogu ih složiti u tri grupe po 10.
Ako imamo troje ljudi
koji idu u taj razred,
mogao bih svakome dati
po 7 uveza i 10 olovaka.
To je najveći broj identičnih
setova koje Umama može napraviti.
Imao bih tri seta.
Svaki set bi imao 7 uveza i 10 olovaka.
Mi u biti samo razmišljamo kojim
bi brojem mogli podijeliti oboje
da dobijemo jednake setove..
Najveći broj kojim možemo podijeliti
oboje u jednake setove.