William a Luis chodí na různé hodiny fyziky
na škole Santa Rita.
Luisova učitelka jim vždy zadává testy s 30 otázkami,
zatímco Williamova učitelka jim dává
testy častěji a jen s 24 otázkami.
Luisova učitelka jim zároveň každý rok zadává 3 projekty.
Přestože obě třídy píší různý počet
testů, jejich učitelky jim řekly,
že obě třídy...podtrhnu to tu...obě třídy
budou mít za rok stejný celkový počet testových otázek.
Jaký je nejmenší možný počet testových otázek,
který mohou třídy Luise a Williama očekávat v daném roce?
Popřemýšlejme o tom, co se tu děje.
Zaměříme se na Luisovu učitelku, která
zadává v každém testu 30 otázek. Po prvním testu
by tedy měl 30 otázek.
Tady je 0.
Po druhém testu by měl 60,
po třetím pak 90
a po čtvrtém testu 120.
A po pátém testu, jestli nějaký bude,
by měl...to je pokud budou tolik testů psát...
měl by celkem 150 otázek.
A tak bychom mohli pokračovat a vypisovat
všechny násobky čísla 30.
To nám asi už napovídá, o co tady vlastně jde.
Hledáme násobky čísel.
Chceme ty nejnižší možné násobky čili nejmenší násobek.
Tak to máme Luise.
Jak to bude s Williamem?
Takže, Williamova třída se po prvním testu
dostane k 24 otázkám.
Po druhém testu jich budou mít 48.
Po třetím se dostanou k číslu 72.
Pak se dostanou k 96.
Jen vypisuji násobky čísla 24.
Po čtvrtém testu se dostanou k 96 otázkám.
Po pátém testu se pak dostanou k číslu 120.
A jestliže budou psát i šestý test, dostanou se k 144 otázkám.
A tak bychom mohli pokračovat.
Podívejme se, na co se nás vlastně ptají.
Minimálně kolik testových otázek
mohou třídy Luise a Williama během roku očekávat?
No, naším minimálním počtem je bod,
ve kterém jsme se dostali na stejný počet testových otázek
i přes skutečnost, že se testy
z hlediska počtu otázek lišily.
A vy vidíte, že obě čísla dosáhla stejného násobku
na 120.
Bodem, který hledáme, je číslo 120.
Obě třídy mohou mít přesně 120 testových otázek,
přestože Luisova učitelka zadává testy s 30 otázkami
a Williamova učitelka zase s 24 otázkami.
Odpověď je tedy 120.
Všimněte si, že měli různá množství testů.
Luis psal jeden, dva, tři, čtyři testy,
kdežto William by musel psát jeden, dva, tři, čtyři,
pět testů.
Ale oba mají celkem 120 otázek.
Když se zamyslíme nad matematickými zápisy
nebo nad zápisem nejmenšího společného násobku, který jsme již viděli,
zjistíme, že se nás vlastně ptají, jaký je nejmenší společný násobek čísel
30 a 24.
A tím nejmenším společným násobkem je 120.
Existují další způsoby,
jak najít nejmenší společný násobek
bez vypisování všech násobků.
Můžete to řešit rozdělením na prvočísla.
30 je 2 krát 15, což je 3 krát 5.
Můžeme tedy říci, že 30 se rovná 2 krát 3 krát 5.
A 24...to je jiná barva...24
se rovná 2 krát 12.
12 se rovná 2 krát 6.
6 se rovná 2 krát 3.
24 se tedy rovná 2 krát 2 krát 2 krát 3.
Dalším způsobem, jak zjistit nejmenší společný násobek
bez toho, abychom se dívali tady na to cvičení, je říct si, že
číslo, které hledáme, musí být dělitelné čísly 30 a 24.
Aby bylo dělitelné 30,
musí v sobě mít 2 krát 3 krát 5
po rozdělení na prvočísla.
Což je v podstatě 30.
Tím pádem to bude dělitelné číslem 30.
A aby bylo dělitelné i číslem 24,
po rozdělení na prvočísla bude potřebovat tři 2 a jednu 3.
My už jednu 3 máme.
Taky máme jednu 2, takže už jen potřebujeme dvě další 2.
Tedy 2 krát 2.
Díky tomu je to...trochu
to posunu...díky tady tomu je to dělitelné číslem 24.
Toto je v podstatě rozdělení na prvočísla
nejmenšího společného násobku čísel 30 a 24.
Pokud odeberete kterékoliv z těchto čísel,
nebude to již dělitelné některým z těchto dvou
čísel.
Pokud odeberete 2, nebude to již dělitelné
číslem 24.
Pokud odeberete 2 nebo 3.
Pokud odeberete 3 nebo 5,
nebude to již dělitelné číslem 30.
Když mezi sebou všechna tato čísla vynásobíte,
bude to 2 krát 2 krát 2 je 8 krát 3 je 24 krát 5 je 120.
Pojďme si vypočítat ještě jeden takový příklad.
Umaima právě koupila jeden balíček s 21 pořadači.
To číslo si napíšu.
21 pořadačů.
Zároveň koupila balíček s 30 tužkami.
30 tužek.
Chce použít všechny pořadače a tužky,
aby vytvořila stejné sady kancelářských potřeb
pro své spolužáky.
Jaký je nejvyšší možný počet naprosto stejných sad,
které může Umaima vytvořit s použitím všech nakoupených potřeb?
Skutečnost, že se bavíme o "největším možném",
nám napovídá, že budeme hledat
největší společný dělitel.
Také budeme rozdělovat tyto dvě věci.
Chceme je obě rozdělit na největší možný
počet stejných sad.
Je několik způsobů, jak o tom můžeme přemýšlet.
Zamysleme se nad tím, jaký je největší společný
dělitel obou těchto čísel.
Můžete také říci největší společný celočíselný dělitel.
Největší společný dělitel čísel 21 a 30.
Takže, jaké je největší možné číslo, kterým můžeme obě čísla vydělit?
Mohli bychom se zaměřit na prvočíselného dělitele.
Mohli bychom vypsat všechny jejich normální dělitele
a najít ten největší společný.
Nebo bychom je mohli rozdělit na prvočísla.
Pojďme si je rozdělit na prvočísla.
Takže, 21 je to samé jako 3 krát 7.
Obě to jsou prvočísla.
Číslo 30 je...vlastně
bych to mohl napsat takto...je to 2 krát 15.
To jsme vlastně už dělali.
A 15 je 3 krát 5.
Takže, jaké je to největší prvočíslo, kterým
jsou dělitelná obě čísla?
No, společnou mají jen 3.
A pak už nemáte 3 krát nějaké další číslo.
Takže se to bude rovnat 3.
To nám v podstatě říká,
že můžeme vydělit obě tato čísla číslem 3
a dá nám to největší možný
počet stejných sad.
Ujasněme si, co tu děláme.
My už víme, že odpověď na naši otázku je 3,
ale abychom si to lépe představili
nakreslíme si těch 21 pořadačů.
21 pořadačů, takže to máme 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.
A pak 30 tužek, ty si uděláme zeleně.
Takže, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Zbytek jen zkopíruji a vložím.
Začíná to být únavné.
Takže, kopírovat a vložit.
Takže to máme 20. A pak znovu vložíme a dá nám to 30.
Teď, přišli jsme na to, že 3 je největší číslo, které
rovnoměrně dělí obě tato čísla.
Mohu je tedy obě rozdělit do tří skupin.
Co se týče pořadačů, tak ty mohu rozdělit do tří skupin po 7.
A co se tužek týče, ty mohu rozdělit
do tří skupin po 10.
Pokud má Umaima
ve třídě 3 spolužáky, mohla by
každému z nich dát 7 pořadačů a 10 tužek.
To je největší možný počet identických sad,
které může Umaima vytvořit.
Měl bych 3 sady.
Každá sada by obsahovala 7 pořadačů a 10 tužek.
V podstatě jen hledáme
číslo, které rovnoměrně rozdělí obě tyto sady.
To největší možné číslo, které
rovnoměrně rozdělí obě tyto sady.