WEBVTT

00:00:00.720 --> 00:00:02.550
好啦 現在我們有一個平行四邊形在這裡

00:00:02.560 --> 00:00:06.660
我們想證明的是它的對角線互相平分

00:00:06.670 --> 00:00:10.040
於是 我們第一件想到的事情 這些不僅僅是對角線

00:00:10.050 --> 00:00:12.460
這些線是和平行線相交的線

00:00:12.470 --> 00:00:14.560
所以 你也可以把他們看成是截線

00:00:14.570 --> 00:00:19.540
如果我們留意DB的話 我們看到它和DC

00:00:19.550 --> 00:00:21.890
AB相交 它在這裡

00:00:21.900 --> 00:00:23.640
我們知道這些是平行四邊形

00:00:23.650 --> 00:00:24.960
我們知道它們是平行的

00:00:24.970 --> 00:00:25.990
這是一個平行四邊形

00:00:26.000 --> 00:00:28.640
內錯角必須是相等的

00:00:28.650 --> 00:00:31.360
所以 這個角等於這裡的這個角

00:00:31.370 --> 00:00:32.670
讓我們在這裡做個記號

00:00:32.680 --> 00:00:34.030
我們把中間點叫做E

00:00:34.040 --> 00:00:42.630
所以 我們知道角ABE肯定等於角CDE

00:00:42.640 --> 00:00:50.130
因爲它們是一對平行線的截線

00:00:50.140 --> 00:00:52.130
的兩個內錯角

00:00:52.140 --> 00:00:56.680
內錯角

00:00:56.690 --> 00:01:00.840
如果我們看對角線AC 或者我們叫它截線AC

00:01:00.850 --> 00:01:02.520
我們可以做出相同的論證

00:01:02.730 --> 00:01:04.470
它和兩條線相交於這裡和這裡

00:01:04.480 --> 00:01:06.220
這兩條線是平行的

00:01:06.230 --> 00:01:09.360
所以 內錯角肯定是相等的

00:01:09.370 --> 00:01:12.740
所以 角DEC肯定 讓我把這個寫下來

00:01:12.750 --> 00:01:19.050
角DEC肯定和角BAE相等

00:01:24.780 --> 00:01:27.150
這裡面的原因是完全一樣的

00:01:27.160 --> 00:01:28.680
現在我們有些有趣的東西

00:01:28.690 --> 00:01:31.580
如果我們看這個上面的三角形和這個下面的三角形

00:01:31.590 --> 00:01:34.820
有一對對應的角是全等的

00:01:34.830 --> 00:01:39.610
有一對夾在對應角之間的邊是相等的

00:01:39.620 --> 00:01:41.220
讓我把這個明確地寫下來

00:01:41.230 --> 00:01:46.380
我們已經知道並且已經在前面的影片裏證明了

00:01:46.670 --> 00:01:50.380
平行四邊形的對邊互相平行

00:01:50.390 --> 00:01:51.540
並且相等

00:01:51.550 --> 00:01:54.310
所以 我們從前面的影片可以知道這邊

00:01:54.320 --> 00:01:55.230
和這邊是相等的

00:01:55.240 --> 00:01:56.840
所以 讓我回到我剛才說的話

00:01:56.850 --> 00:01:59.760
我們有兩對對應的全等角

00:01:59.770 --> 00:02:02.710
我們有夾在中間的一對邊是相等的

00:02:02.720 --> 00:02:04.740
然後我們又有另一對對應的角

00:02:04.750 --> 00:02:05.770
是相等的

00:02:05.780 --> 00:02:08.150
所以 我們知道這個三角形全等於這個三角形

00:02:08.160 --> 00:02:10.320
因爲角邊角

00:02:11.810 --> 00:02:15.960
所以 我們知道這個三角形 我將會從藍色

00:02:15.970 --> 00:02:17.460
到橙色到最後一個

00:02:17.470 --> 00:02:23.120
根據角邊角定理 三角形ABE全等於藍 橙

00:02:23.130 --> 00:02:29.970
然後是最後一個 三角形CDE

00:02:33.720 --> 00:02:35.940
現在這個對我們有什麽幫助呢

00:02:35.950 --> 00:02:38.860
我們知道當兩個三角形全等的時候

00:02:38.870 --> 00:02:41.370
所有他們對應的特征 特別是對應的邊

00:02:41.380 --> 00:02:42.620
是相等的

00:02:42.630 --> 00:02:47.740
所以我們知道邊EC對應著EA

00:02:47.750 --> 00:02:51.920
或者我們可以說邊AE

00:02:55.240 --> 00:02:59.470
對應著邊CE

00:03:00.990 --> 00:03:02.830
它們是全等三角形的對應邊

00:03:02.840 --> 00:03:05.360
所以 它們的度量或者說它們的長度肯定是相同的

00:03:05.370 --> 00:03:08.850
所以 AE肯定等於CE

00:03:08.860 --> 00:03:12.320
讓我用兩劃來做記號因爲我在這裡已經用了一劃

00:03:12.330 --> 00:03:18.200
現在 根據同樣的邏輯我們知道DE

00:03:18.210 --> 00:03:24.320
讓我強調這點 我們知道BE肯定等於DE

00:03:25.950 --> 00:03:29.450
我重覆一遍 他們是兩個全等三角形的對應邊

00:03:29.460 --> 00:03:30.870
所以他們肯定有相同的長度

00:03:30.880 --> 00:03:38.320
所以 這是全等三角形的對應邊

00:03:38.330 --> 00:03:43.000
所以 BE等於DE

00:03:43.010 --> 00:03:44.080
於是我們完成了我們的證明

00:03:44.090 --> 00:03:48.780
我們證明了 看 對角線DB把AC分成

00:03:48.790 --> 00:03:51.230
了長度相等的兩段 而且反之亦然

00:03:51.240 --> 00:03:55.780
AC把DB分成了長度相等的兩段

00:03:55.790 --> 00:03:58.070
所以 它們互相平分

00:03:58.080 --> 00:03:59.640
現在 我們來進行另外一個方向

00:03:59.650 --> 00:04:03.920
讓我們來證明如果一個四邊形的兩條對角線

00:04:03.930 --> 00:04:06.980
互相平分 那麽這是一個

00:04:06.990 --> 00:04:08.810
平行四邊形

00:04:08.820 --> 00:04:10.020
好的 我們來看

00:04:10.030 --> 00:04:12.010
好 我們來假設兩條對角線

00:04:12.020 --> 00:04:13.150
互相平分

00:04:13.160 --> 00:04:14.980
所以 我們假設這個等於這個

00:04:14.990 --> 00:04:17.360
然後這樣 這個等於這個

00:04:17.370 --> 00:04:22.290
由於我們想證的是 只是一個平行四邊形

00:04:22.300 --> 00:04:25.160
要做到這點我們只需提醒我們自己

00:04:25.440 --> 00:04:30.000
我們只需提醒我們自己這個角將會

00:04:30.010 --> 00:04:31.040
等於這個角

00:04:31.050 --> 00:04:33.730
這是我們知道的第一點 因爲它們是對尖角

00:04:33.740 --> 00:04:34.640
所以 讓我寫下來

00:04:34.650 --> 00:04:43.580
C 標記著這一點 角CED等於

00:04:43.590 --> 00:04:52.390
或全等於這個角 角BEA

00:04:52.400 --> 00:04:55.200
然後這個 這是什麽 噢 這個證明了

00:04:55.210 --> 00:04:57.810
這兩個三角形是全等的 因爲我們有兩對對應邊

00:04:57.820 --> 00:05:00.310
和它們之間的夾角是相等的

00:05:00.320 --> 00:05:03.810
所以 我們知道這個三角形 我把它弄成黃色

00:05:03.820 --> 00:05:20.300
三角形AEB全等於三角形DEC 根據邊角邊

00:05:20.310 --> 00:05:28.170
簡稱SAS定理

00:05:28.180 --> 00:05:29.160
有道理

00:05:29.170 --> 00:05:31.760
現在 如果我們知道兩個三角形全等 那麽我們知道

00:05:31.770 --> 00:05:34.220
所有對應的邊和角都大小相等

00:05:34.230 --> 00:05:44.580
所以 舉個例子 我們知道角CDE全等於

00:05:44.590 --> 00:05:48.360
角BAE

00:05:55.650 --> 00:06:05.790
而這只是全等三角形的對應角

00:06:05.800 --> 00:06:12.430
現在我們有這種兩條線的截線

00:06:12.440 --> 00:06:16.570
如果內錯角相等 那麽這兩條線互相平行

00:06:16.580 --> 00:06:17.990
我們看到它們是的

00:06:18.000 --> 00:06:22.470
這兩個是候選的內錯角

00:06:22.480 --> 00:06:23.910
它們是相等的

00:06:23.920 --> 00:06:26.870
所以 AB肯定等於CD

00:06:26.880 --> 00:06:31.780
所以 AB 讓我們畫一個箭頭 AB肯定平行於CD

00:06:34.950 --> 00:06:42.620
根據平行線內錯角相等

00:06:42.800 --> 00:06:46.110
我只是在寫縮寫 而不是晦澀的全過程

00:06:46.120 --> 00:06:47.670
盡管我已經 把它們說出來了

00:06:47.680 --> 00:06:50.300
然後我們可以做完全一樣的事 就如我們剛才證明了

00:06:50.310 --> 00:06:53.230
這兩條邊是互相平行的 我們可以用同樣的邏輯

00:06:53.240 --> 00:06:55.640
來證明這兩條邊是互相平行的

00:06:55.650 --> 00:06:57.090
我不會把它寫出來

00:06:57.100 --> 00:06:59.970
這個證明和剛才證這兩條邊相等的完全一樣

00:06:59.980 --> 00:07:03.680
所以 首先 我們知道這個角等於在這裡的

00:07:03.690 --> 00:07:04.630
這個角

00:07:04.640 --> 00:07:06.930
然後我們知道 事實上讓我寫出來 我們知道

00:07:06.940 --> 00:07:18.670
角AEC等於角DEB 我應該說

00:07:22.650 --> 00:07:24.360
它們是對尖角

00:07:26.980 --> 00:07:29.060
而這也是這裡的原因

00:07:29.070 --> 00:07:31.920
對尖角

00:07:31.930 --> 00:07:35.260
接下來我們看到三角形AEC全等於

00:07:35.270 --> 00:07:38.270
三角形DEB 根據邊角邊

00:07:38.600 --> 00:07:45.010
然後我們根據SAS得出結論 三角形AEC全等於

00:07:45.020 --> 00:07:50.890
三角形DEB

00:07:50.900 --> 00:07:53.730
現在 我們知道對應角必須相等

00:07:53.740 --> 00:07:58.680
我們證明這個角 比如說 角CAE

00:08:01.760 --> 00:08:10.970
肯定全等於角BDE 這是全等三角形

00:08:10.980 --> 00:08:13.510
的對應角

00:08:13.520 --> 00:08:17.950
所以 CAE 讓我用一種新的顏色

00:08:18.130 --> 00:08:25.940
CAE肯定等於BDE

00:08:28.050 --> 00:08:30.100
現在我們有一根截線

00:08:30.110 --> 00:08:32.100
內錯角是相等的

00:08:32.110 --> 00:08:34.690
所以 這根線所截的兩條線

00:08:34.700 --> 00:08:36.130
肯定是互相平行的

00:08:36.140 --> 00:08:39.230
所以 這個全等於這個

00:08:39.240 --> 00:08:44.440
然後 我們有AC平行於BD

00:08:45.490 --> 00:08:47.970
因爲內錯角相等

00:08:50.560 --> 00:08:51.360
我們完成了

00:08:51.370 --> 00:08:53.970
我們已經證明了如果對角線相互平分

00:08:53.980 --> 00:08:57.910
如果我們從這個開始 我們可以到達這點

00:08:57.920 --> 00:09:00.860
嘿 這個四邊形的對邊肯定互相平行

00:09:00.870 --> 00:09:04.690
或者ABCD是個平行四邊形