好啦 現在我們有一個平行四邊形在這裡 我們想證明的是它的對角線互相平分 於是 我們第一件想到的事情 這些不僅僅是對角線 這些線是和平行線相交的線 所以 你也可以把他們看成是截線 如果我們留意DB的話 我們看到它和DC AB相交 它在這裡 我們知道這些是平行四邊形 我們知道它們是平行的 這是一個平行四邊形 內錯角必須是相等的 所以 這個角等於這裡的這個角 讓我們在這裡做個記號 我們把中間點叫做E 所以 我們知道角ABE肯定等於角CDE 因爲它們是一對平行線的截線 的兩個內錯角 內錯角 如果我們看對角線AC 或者我們叫它截線AC 我們可以做出相同的論證 它和兩條線相交於這裡和這裡 這兩條線是平行的 所以 內錯角肯定是相等的 所以 角DEC肯定 讓我把這個寫下來 角DEC肯定和角BAE相等 這裡面的原因是完全一樣的 現在我們有些有趣的東西 如果我們看這個上面的三角形和這個下面的三角形 有一對對應的角是全等的 有一對夾在對應角之間的邊是相等的 讓我把這個明確地寫下來 我們已經知道並且已經在前面的影片裏證明了 平行四邊形的對邊互相平行 並且相等 所以 我們從前面的影片可以知道這邊 和這邊是相等的 所以 讓我回到我剛才說的話 我們有兩對對應的全等角 我們有夾在中間的一對邊是相等的 然後我們又有另一對對應的角 是相等的 所以 我們知道這個三角形全等於這個三角形 因爲角邊角 所以 我們知道這個三角形 我將會從藍色 到橙色到最後一個 根據角邊角定理 三角形ABE全等於藍 橙 然後是最後一個 三角形CDE 現在這個對我們有什麽幫助呢 我們知道當兩個三角形全等的時候 所有他們對應的特征 特別是對應的邊 是相等的 所以我們知道邊EC對應著EA 或者我們可以說邊AE 對應著邊CE 它們是全等三角形的對應邊 所以 它們的度量或者說它們的長度肯定是相同的 所以 AE肯定等於CE 讓我用兩劃來做記號因爲我在這裡已經用了一劃 現在 根據同樣的邏輯我們知道DE 讓我強調這點 我們知道BE肯定等於DE 我重覆一遍 他們是兩個全等三角形的對應邊 所以他們肯定有相同的長度 所以 這是全等三角形的對應邊 所以 BE等於DE 於是我們完成了我們的證明 我們證明了 看 對角線DB把AC分成 了長度相等的兩段 而且反之亦然 AC把DB分成了長度相等的兩段 所以 它們互相平分 現在 我們來進行另外一個方向 讓我們來證明如果一個四邊形的兩條對角線 互相平分 那麽這是一個 平行四邊形 好的 我們來看 好 我們來假設兩條對角線 互相平分 所以 我們假設這個等於這個 然後這樣 這個等於這個 由於我們想證的是 只是一個平行四邊形 要做到這點我們只需提醒我們自己 我們只需提醒我們自己這個角將會 等於這個角 這是我們知道的第一點 因爲它們是對尖角 所以 讓我寫下來 C 標記著這一點 角CED等於 或全等於這個角 角BEA 然後這個 這是什麽 噢 這個證明了 這兩個三角形是全等的 因爲我們有兩對對應邊 和它們之間的夾角是相等的 所以 我們知道這個三角形 我把它弄成黃色 三角形AEB全等於三角形DEC 根據邊角邊 簡稱SAS定理 有道理 現在 如果我們知道兩個三角形全等 那麽我們知道 所有對應的邊和角都大小相等 所以 舉個例子 我們知道角CDE全等於 角BAE 而這只是全等三角形的對應角 現在我們有這種兩條線的截線 如果內錯角相等 那麽這兩條線互相平行 我們看到它們是的 這兩個是候選的內錯角 它們是相等的 所以 AB肯定等於CD 所以 AB 讓我們畫一個箭頭 AB肯定平行於CD 根據平行線內錯角相等 我只是在寫縮寫 而不是晦澀的全過程 盡管我已經 把它們說出來了 然後我們可以做完全一樣的事 就如我們剛才證明了 這兩條邊是互相平行的 我們可以用同樣的邏輯 來證明這兩條邊是互相平行的 我不會把它寫出來 這個證明和剛才證這兩條邊相等的完全一樣 所以 首先 我們知道這個角等於在這裡的 這個角 然後我們知道 事實上讓我寫出來 我們知道 角AEC等於角DEB 我應該說 它們是對尖角 而這也是這裡的原因 對尖角 接下來我們看到三角形AEC全等於 三角形DEB 根據邊角邊 然後我們根據SAS得出結論 三角形AEC全等於 三角形DEB 現在 我們知道對應角必須相等 我們證明這個角 比如說 角CAE 肯定全等於角BDE 這是全等三角形 的對應角 所以 CAE 讓我用一種新的顏色 CAE肯定等於BDE 現在我們有一根截線 內錯角是相等的 所以 這根線所截的兩條線 肯定是互相平行的 所以 這個全等於這個 然後 我們有AC平行於BD 因爲內錯角相等 我們完成了 我們已經證明了如果對角線相互平分 如果我們從這個開始 我們可以到達這點 嘿 這個四邊形的對邊肯定互相平行 或者ABCD是個平行四邊形