1
00:00:00,720 --> 00:00:02,550
好啦 現在我們有一個平行四邊形在這裡

2
00:00:02,560 --> 00:00:06,660
我們想證明的是它的對角線互相平分

3
00:00:06,670 --> 00:00:10,040
於是 我們第一件想到的事情 這些不僅僅是對角線

4
00:00:10,050 --> 00:00:12,460
這些線是和平行線相交的線

5
00:00:12,470 --> 00:00:14,560
所以 你也可以把他們看成是截線

6
00:00:14,570 --> 00:00:19,540
如果我們留意DB的話 我們看到它和DC

7
00:00:19,550 --> 00:00:21,890
AB相交 它在這裡

8
00:00:21,900 --> 00:00:23,640
我們知道這些是平行四邊形

9
00:00:23,650 --> 00:00:24,960
我們知道它們是平行的

10
00:00:24,970 --> 00:00:25,990
這是一個平行四邊形

11
00:00:26,000 --> 00:00:28,640
內錯角必須是相等的

12
00:00:28,650 --> 00:00:31,360
所以 這個角等於這裡的這個角

13
00:00:31,370 --> 00:00:32,670
讓我們在這裡做個記號

14
00:00:32,680 --> 00:00:34,030
我們把中間點叫做E

15
00:00:34,040 --> 00:00:42,630
所以 我們知道角ABE肯定等於角CDE

16
00:00:42,640 --> 00:00:50,130
因爲它們是一對平行線的截線

17
00:00:50,140 --> 00:00:52,130
的兩個內錯角

18
00:00:52,140 --> 00:00:56,680
內錯角

19
00:00:56,690 --> 00:01:00,840
如果我們看對角線AC 或者我們叫它截線AC

20
00:01:00,850 --> 00:01:02,520
我們可以做出相同的論證

21
00:01:02,730 --> 00:01:04,470
它和兩條線相交於這裡和這裡

22
00:01:04,480 --> 00:01:06,220
這兩條線是平行的

23
00:01:06,230 --> 00:01:09,360
所以 內錯角肯定是相等的

24
00:01:09,370 --> 00:01:12,740
所以 角DEC肯定 讓我把這個寫下來

25
00:01:12,750 --> 00:01:19,050
角DEC肯定和角BAE相等

26
00:01:24,780 --> 00:01:27,150
這裡面的原因是完全一樣的

27
00:01:27,160 --> 00:01:28,680
現在我們有些有趣的東西

28
00:01:28,690 --> 00:01:31,580
如果我們看這個上面的三角形和這個下面的三角形

29
00:01:31,590 --> 00:01:34,820
有一對對應的角是全等的

30
00:01:34,830 --> 00:01:39,610
有一對夾在對應角之間的邊是相等的

31
00:01:39,620 --> 00:01:41,220
讓我把這個明確地寫下來

32
00:01:41,230 --> 00:01:46,380
我們已經知道並且已經在前面的影片裏證明了

33
00:01:46,670 --> 00:01:50,380
平行四邊形的對邊互相平行

34
00:01:50,390 --> 00:01:51,540
並且相等

35
00:01:51,550 --> 00:01:54,310
所以 我們從前面的影片可以知道這邊

36
00:01:54,320 --> 00:01:55,230
和這邊是相等的

37
00:01:55,240 --> 00:01:56,840
所以 讓我回到我剛才說的話

38
00:01:56,850 --> 00:01:59,760
我們有兩對對應的全等角

39
00:01:59,770 --> 00:02:02,710
我們有夾在中間的一對邊是相等的

40
00:02:02,720 --> 00:02:04,740
然後我們又有另一對對應的角

41
00:02:04,750 --> 00:02:05,770
是相等的

42
00:02:05,780 --> 00:02:08,150
所以 我們知道這個三角形全等於這個三角形

43
00:02:08,160 --> 00:02:10,320
因爲角邊角

44
00:02:11,810 --> 00:02:15,960
所以 我們知道這個三角形 我將會從藍色

45
00:02:15,970 --> 00:02:17,460
到橙色到最後一個

46
00:02:17,470 --> 00:02:23,120
根據角邊角定理 三角形ABE全等於藍 橙

47
00:02:23,130 --> 00:02:29,970
然後是最後一個 三角形CDE

48
00:02:33,720 --> 00:02:35,940
現在這個對我們有什麽幫助呢

49
00:02:35,950 --> 00:02:38,860
我們知道當兩個三角形全等的時候

50
00:02:38,870 --> 00:02:41,370
所有他們對應的特征 特別是對應的邊

51
00:02:41,380 --> 00:02:42,620
是相等的

52
00:02:42,630 --> 00:02:47,740
所以我們知道邊EC對應著EA

53
00:02:47,750 --> 00:02:51,920
或者我們可以說邊AE

54
00:02:55,240 --> 00:02:59,470
對應著邊CE

55
00:03:00,990 --> 00:03:02,830
它們是全等三角形的對應邊

56
00:03:02,840 --> 00:03:05,360
所以 它們的度量或者說它們的長度肯定是相同的

57
00:03:05,370 --> 00:03:08,850
所以 AE肯定等於CE

58
00:03:08,860 --> 00:03:12,320
讓我用兩劃來做記號因爲我在這裡已經用了一劃

59
00:03:12,330 --> 00:03:18,200
現在 根據同樣的邏輯我們知道DE

60
00:03:18,210 --> 00:03:24,320
讓我強調這點 我們知道BE肯定等於DE

61
00:03:25,950 --> 00:03:29,450
我重覆一遍 他們是兩個全等三角形的對應邊

62
00:03:29,460 --> 00:03:30,870
所以他們肯定有相同的長度

63
00:03:30,880 --> 00:03:38,320
所以 這是全等三角形的對應邊

64
00:03:38,330 --> 00:03:43,000
所以 BE等於DE

65
00:03:43,010 --> 00:03:44,080
於是我們完成了我們的證明

66
00:03:44,090 --> 00:03:48,780
我們證明了 看 對角線DB把AC分成

67
00:03:48,790 --> 00:03:51,230
了長度相等的兩段 而且反之亦然

68
00:03:51,240 --> 00:03:55,780
AC把DB分成了長度相等的兩段

69
00:03:55,790 --> 00:03:58,070
所以 它們互相平分

70
00:03:58,080 --> 00:03:59,640
現在 我們來進行另外一個方向

71
00:03:59,650 --> 00:04:03,920
讓我們來證明如果一個四邊形的兩條對角線

72
00:04:03,930 --> 00:04:06,980
互相平分 那麽這是一個

73
00:04:06,990 --> 00:04:08,810
平行四邊形

74
00:04:08,820 --> 00:04:10,020
好的 我們來看

75
00:04:10,030 --> 00:04:12,010
好 我們來假設兩條對角線

76
00:04:12,020 --> 00:04:13,150
互相平分

77
00:04:13,160 --> 00:04:14,980
所以 我們假設這個等於這個

78
00:04:14,990 --> 00:04:17,360
然後這樣 這個等於這個

79
00:04:17,370 --> 00:04:22,290
由於我們想證的是 只是一個平行四邊形

80
00:04:22,300 --> 00:04:25,160
要做到這點我們只需提醒我們自己

81
00:04:25,440 --> 00:04:30,000
我們只需提醒我們自己這個角將會

82
00:04:30,010 --> 00:04:31,040
等於這個角

83
00:04:31,050 --> 00:04:33,730
這是我們知道的第一點 因爲它們是對尖角

84
00:04:33,740 --> 00:04:34,640
所以 讓我寫下來

85
00:04:34,650 --> 00:04:43,580
C 標記著這一點 角CED等於

86
00:04:43,590 --> 00:04:52,390
或全等於這個角 角BEA

87
00:04:52,400 --> 00:04:55,200
然後這個 這是什麽 噢 這個證明了

88
00:04:55,210 --> 00:04:57,810
這兩個三角形是全等的 因爲我們有兩對對應邊

89
00:04:57,820 --> 00:05:00,310
和它們之間的夾角是相等的

90
00:05:00,320 --> 00:05:03,810
所以 我們知道這個三角形 我把它弄成黃色

91
00:05:03,820 --> 00:05:20,300
三角形AEB全等於三角形DEC 根據邊角邊

92
00:05:20,310 --> 00:05:28,170
簡稱SAS定理

93
00:05:28,180 --> 00:05:29,160
有道理

94
00:05:29,170 --> 00:05:31,760
現在 如果我們知道兩個三角形全等 那麽我們知道

95
00:05:31,770 --> 00:05:34,220
所有對應的邊和角都大小相等

96
00:05:34,230 --> 00:05:44,580
所以 舉個例子 我們知道角CDE全等於

97
00:05:44,590 --> 00:05:48,360
角BAE

98
00:05:55,650 --> 00:06:05,790
而這只是全等三角形的對應角

99
00:06:05,800 --> 00:06:12,430
現在我們有這種兩條線的截線

100
00:06:12,440 --> 00:06:16,570
如果內錯角相等 那麽這兩條線互相平行

101
00:06:16,580 --> 00:06:17,990
我們看到它們是的

102
00:06:18,000 --> 00:06:22,470
這兩個是候選的內錯角

103
00:06:22,480 --> 00:06:23,910
它們是相等的

104
00:06:23,920 --> 00:06:26,870
所以 AB肯定等於CD

105
00:06:26,880 --> 00:06:31,780
所以 AB 讓我們畫一個箭頭 AB肯定平行於CD

106
00:06:34,950 --> 00:06:42,620
根據平行線內錯角相等

107
00:06:42,800 --> 00:06:46,110
我只是在寫縮寫 而不是晦澀的全過程

108
00:06:46,120 --> 00:06:47,670
盡管我已經 把它們說出來了

109
00:06:47,680 --> 00:06:50,300
然後我們可以做完全一樣的事 就如我們剛才證明了

110
00:06:50,310 --> 00:06:53,230
這兩條邊是互相平行的 我們可以用同樣的邏輯

111
00:06:53,240 --> 00:06:55,640
來證明這兩條邊是互相平行的

112
00:06:55,650 --> 00:06:57,090
我不會把它寫出來

113
00:06:57,100 --> 00:06:59,970
這個證明和剛才證這兩條邊相等的完全一樣

114
00:06:59,980 --> 00:07:03,680
所以 首先 我們知道這個角等於在這裡的

115
00:07:03,690 --> 00:07:04,630
這個角

116
00:07:04,640 --> 00:07:06,930
然後我們知道 事實上讓我寫出來 我們知道

117
00:07:06,940 --> 00:07:18,670
角AEC等於角DEB 我應該說

118
00:07:22,650 --> 00:07:24,360
它們是對尖角

119
00:07:26,980 --> 00:07:29,060
而這也是這裡的原因

120
00:07:29,070 --> 00:07:31,920
對尖角

121
00:07:31,930 --> 00:07:35,260
接下來我們看到三角形AEC全等於

122
00:07:35,270 --> 00:07:38,270
三角形DEB 根據邊角邊

123
00:07:38,600 --> 00:07:45,010
然後我們根據SAS得出結論 三角形AEC全等於

124
00:07:45,020 --> 00:07:50,890
三角形DEB

125
00:07:50,900 --> 00:07:53,730
現在 我們知道對應角必須相等

126
00:07:53,740 --> 00:07:58,680
我們證明這個角 比如說 角CAE

127
00:08:01,760 --> 00:08:10,970
肯定全等於角BDE 這是全等三角形

128
00:08:10,980 --> 00:08:13,510
的對應角

129
00:08:13,520 --> 00:08:17,950
所以 CAE 讓我用一種新的顏色

130
00:08:18,130 --> 00:08:25,940
CAE肯定等於BDE

131
00:08:28,050 --> 00:08:30,100
現在我們有一根截線

132
00:08:30,110 --> 00:08:32,100
內錯角是相等的

133
00:08:32,110 --> 00:08:34,690
所以 這根線所截的兩條線

134
00:08:34,700 --> 00:08:36,130
肯定是互相平行的

135
00:08:36,140 --> 00:08:39,230
所以 這個全等於這個

136
00:08:39,240 --> 00:08:44,440
然後 我們有AC平行於BD

137
00:08:45,490 --> 00:08:47,970
因爲內錯角相等

138
00:08:50,560 --> 00:08:51,360
我們完成了

139
00:08:51,370 --> 00:08:53,970
我們已經證明了如果對角線相互平分

140
00:08:53,980 --> 00:08:57,910
如果我們從這個開始 我們可以到達這點

141
00:08:57,920 --> 00:09:00,860
嘿 這個四邊形的對邊肯定互相平行

142
00:09:00,870 --> 00:09:04,690
或者ABCD是個平行四邊形