0:00:00.720,0:00:02.550
好啦 現在我們有一個平行四邊形在這裡

0:00:02.560,0:00:06.660
我們想證明的是它的對角線互相平分

0:00:06.670,0:00:10.040
於是 我們第一件想到的事情 這些不僅僅是對角線

0:00:10.050,0:00:12.460
這些線是和平行線相交的線

0:00:12.470,0:00:14.560
所以 你也可以把他們看成是截線

0:00:14.570,0:00:19.540
如果我們留意DB的話 我們看到它和DC

0:00:19.550,0:00:21.890
AB相交 它在這裡

0:00:21.900,0:00:23.640
我們知道這些是平行四邊形

0:00:23.650,0:00:24.960
我們知道它們是平行的

0:00:24.970,0:00:25.990
這是一個平行四邊形

0:00:26.000,0:00:28.640
內錯角必須是相等的

0:00:28.650,0:00:31.360
所以 這個角等於這裡的這個角

0:00:31.370,0:00:32.670
讓我們在這裡做個記號

0:00:32.680,0:00:34.030
我們把中間點叫做E

0:00:34.040,0:00:42.630
所以 我們知道角ABE肯定等於角CDE

0:00:42.640,0:00:50.130
因爲它們是一對平行線的截線

0:00:50.140,0:00:52.130
的兩個內錯角

0:00:52.140,0:00:56.680
內錯角

0:00:56.690,0:01:00.840
如果我們看對角線AC 或者我們叫它截線AC

0:01:00.850,0:01:02.520
我們可以做出相同的論證

0:01:02.730,0:01:04.470
它和兩條線相交於這裡和這裡

0:01:04.480,0:01:06.220
這兩條線是平行的

0:01:06.230,0:01:09.360
所以 內錯角肯定是相等的

0:01:09.370,0:01:12.740
所以 角DEC肯定 讓我把這個寫下來

0:01:12.750,0:01:19.050
角DEC肯定和角BAE相等

0:01:24.780,0:01:27.150
這裡面的原因是完全一樣的

0:01:27.160,0:01:28.680
現在我們有些有趣的東西

0:01:28.690,0:01:31.580
如果我們看這個上面的三角形和這個下面的三角形

0:01:31.590,0:01:34.820
有一對對應的角是全等的

0:01:34.830,0:01:39.610
有一對夾在對應角之間的邊是相等的

0:01:39.620,0:01:41.220
讓我把這個明確地寫下來

0:01:41.230,0:01:46.380
我們已經知道並且已經在前面的影片裏證明了

0:01:46.670,0:01:50.380
平行四邊形的對邊互相平行

0:01:50.390,0:01:51.540
並且相等

0:01:51.550,0:01:54.310
所以 我們從前面的影片可以知道這邊

0:01:54.320,0:01:55.230
和這邊是相等的

0:01:55.240,0:01:56.840
所以 讓我回到我剛才說的話

0:01:56.850,0:01:59.760
我們有兩對對應的全等角

0:01:59.770,0:02:02.710
我們有夾在中間的一對邊是相等的

0:02:02.720,0:02:04.740
然後我們又有另一對對應的角

0:02:04.750,0:02:05.770
是相等的

0:02:05.780,0:02:08.150
所以 我們知道這個三角形全等於這個三角形

0:02:08.160,0:02:10.320
因爲角邊角

0:02:11.810,0:02:15.960
所以 我們知道這個三角形 我將會從藍色

0:02:15.970,0:02:17.460
到橙色到最後一個

0:02:17.470,0:02:23.120
根據角邊角定理 三角形ABE全等於藍 橙

0:02:23.130,0:02:29.970
然後是最後一個 三角形CDE

0:02:33.720,0:02:35.940
現在這個對我們有什麽幫助呢

0:02:35.950,0:02:38.860
我們知道當兩個三角形全等的時候

0:02:38.870,0:02:41.370
所有他們對應的特征 特別是對應的邊

0:02:41.380,0:02:42.620
是相等的

0:02:42.630,0:02:47.740
所以我們知道邊EC對應著EA

0:02:47.750,0:02:51.920
或者我們可以說邊AE

0:02:55.240,0:02:59.470
對應著邊CE

0:03:00.990,0:03:02.830
它們是全等三角形的對應邊

0:03:02.840,0:03:05.360
所以 它們的度量或者說它們的長度肯定是相同的

0:03:05.370,0:03:08.850
所以 AE肯定等於CE

0:03:08.860,0:03:12.320
讓我用兩劃來做記號因爲我在這裡已經用了一劃

0:03:12.330,0:03:18.200
現在 根據同樣的邏輯我們知道DE

0:03:18.210,0:03:24.320
讓我強調這點 我們知道BE肯定等於DE

0:03:25.950,0:03:29.450
我重覆一遍 他們是兩個全等三角形的對應邊

0:03:29.460,0:03:30.870
所以他們肯定有相同的長度

0:03:30.880,0:03:38.320
所以 這是全等三角形的對應邊

0:03:38.330,0:03:43.000
所以 BE等於DE

0:03:43.010,0:03:44.080
於是我們完成了我們的證明

0:03:44.090,0:03:48.780
我們證明了 看 對角線DB把AC分成

0:03:48.790,0:03:51.230
了長度相等的兩段 而且反之亦然

0:03:51.240,0:03:55.780
AC把DB分成了長度相等的兩段

0:03:55.790,0:03:58.070
所以 它們互相平分

0:03:58.080,0:03:59.640
現在 我們來進行另外一個方向

0:03:59.650,0:04:03.920
讓我們來證明如果一個四邊形的兩條對角線

0:04:03.930,0:04:06.980
互相平分 那麽這是一個

0:04:06.990,0:04:08.810
平行四邊形

0:04:08.820,0:04:10.020
好的 我們來看

0:04:10.030,0:04:12.010
好 我們來假設兩條對角線

0:04:12.020,0:04:13.150
互相平分

0:04:13.160,0:04:14.980
所以 我們假設這個等於這個

0:04:14.990,0:04:17.360
然後這樣 這個等於這個

0:04:17.370,0:04:22.290
由於我們想證的是 只是一個平行四邊形

0:04:22.300,0:04:25.160
要做到這點我們只需提醒我們自己

0:04:25.440,0:04:30.000
我們只需提醒我們自己這個角將會

0:04:30.010,0:04:31.040
等於這個角

0:04:31.050,0:04:33.730
這是我們知道的第一點 因爲它們是對尖角

0:04:33.740,0:04:34.640
所以 讓我寫下來

0:04:34.650,0:04:43.580
C 標記著這一點 角CED等於

0:04:43.590,0:04:52.390
或全等於這個角 角BEA

0:04:52.400,0:04:55.200
然後這個 這是什麽 噢 這個證明了

0:04:55.210,0:04:57.810
這兩個三角形是全等的 因爲我們有兩對對應邊

0:04:57.820,0:05:00.310
和它們之間的夾角是相等的

0:05:00.320,0:05:03.810
所以 我們知道這個三角形 我把它弄成黃色

0:05:03.820,0:05:20.300
三角形AEB全等於三角形DEC 根據邊角邊

0:05:20.310,0:05:28.170
簡稱SAS定理

0:05:28.180,0:05:29.160
有道理

0:05:29.170,0:05:31.760
現在 如果我們知道兩個三角形全等 那麽我們知道

0:05:31.770,0:05:34.220
所有對應的邊和角都大小相等

0:05:34.230,0:05:44.580
所以 舉個例子 我們知道角CDE全等於

0:05:44.590,0:05:48.360
角BAE

0:05:55.650,0:06:05.790
而這只是全等三角形的對應角

0:06:05.800,0:06:12.430
現在我們有這種兩條線的截線

0:06:12.440,0:06:16.570
如果內錯角相等 那麽這兩條線互相平行

0:06:16.580,0:06:17.990
我們看到它們是的

0:06:18.000,0:06:22.470
這兩個是候選的內錯角

0:06:22.480,0:06:23.910
它們是相等的

0:06:23.920,0:06:26.870
所以 AB肯定等於CD

0:06:26.880,0:06:31.780
所以 AB 讓我們畫一個箭頭 AB肯定平行於CD

0:06:34.950,0:06:42.620
根據平行線內錯角相等

0:06:42.800,0:06:46.110
我只是在寫縮寫 而不是晦澀的全過程

0:06:46.120,0:06:47.670
盡管我已經 把它們說出來了

0:06:47.680,0:06:50.300
然後我們可以做完全一樣的事 就如我們剛才證明了

0:06:50.310,0:06:53.230
這兩條邊是互相平行的 我們可以用同樣的邏輯

0:06:53.240,0:06:55.640
來證明這兩條邊是互相平行的

0:06:55.650,0:06:57.090
我不會把它寫出來

0:06:57.100,0:06:59.970
這個證明和剛才證這兩條邊相等的完全一樣

0:06:59.980,0:07:03.680
所以 首先 我們知道這個角等於在這裡的

0:07:03.690,0:07:04.630
這個角

0:07:04.640,0:07:06.930
然後我們知道 事實上讓我寫出來 我們知道

0:07:06.940,0:07:18.670
角AEC等於角DEB 我應該說

0:07:22.650,0:07:24.360
它們是對尖角

0:07:26.980,0:07:29.060
而這也是這裡的原因

0:07:29.070,0:07:31.920
對尖角

0:07:31.930,0:07:35.260
接下來我們看到三角形AEC全等於

0:07:35.270,0:07:38.270
三角形DEB 根據邊角邊

0:07:38.600,0:07:45.010
然後我們根據SAS得出結論 三角形AEC全等於

0:07:45.020,0:07:50.890
三角形DEB

0:07:50.900,0:07:53.730
現在 我們知道對應角必須相等

0:07:53.740,0:07:58.680
我們證明這個角 比如說 角CAE

0:08:01.760,0:08:10.970
肯定全等於角BDE 這是全等三角形

0:08:10.980,0:08:13.510
的對應角

0:08:13.520,0:08:17.950
所以 CAE 讓我用一種新的顏色

0:08:18.130,0:08:25.940
CAE肯定等於BDE

0:08:28.050,0:08:30.100
現在我們有一根截線

0:08:30.110,0:08:32.100
內錯角是相等的

0:08:32.110,0:08:34.690
所以 這根線所截的兩條線

0:08:34.700,0:08:36.130
肯定是互相平行的

0:08:36.140,0:08:39.230
所以 這個全等於這個

0:08:39.240,0:08:44.440
然後 我們有AC平行於BD

0:08:45.490,0:08:47.970
因爲內錯角相等

0:08:50.560,0:08:51.360
我們完成了

0:08:51.370,0:08:53.970
我們已經證明了如果對角線相互平分

0:08:53.980,0:08:57.910
如果我們從這個開始 我們可以到達這點

0:08:57.920,0:09:00.860
嘿 這個四邊形的對邊肯定互相平行

0:09:00.870,0:09:04.690
或者ABCD是個平行四邊形