1
00:00:01,710 --> 00:00:05,420
Welkom bij de presentatie over 45-45-90 driehoeken

2
00:00:05,420 --> 00:00:07,200
Laat ik dat opschrijven.

3
00:00:07,200 --> 00:00:08,300
Hoe kan het dat de pen...oh, kijk eens aan.

4
00:00:08,300 --> 00:00:15,770
45-45-90 driehoeken

5
00:00:15,770 --> 00:00:19,050
Of we kunnen zeggen 45-45-90 rechthoekige driehoeken, maar dat

6
00:00:19,050 --> 00:00:21,630
is overbodig, want we weten dat elke hoek met 90 graden

7
00:00:21,630 --> 00:00:24,110
is een rechthoekige driehoek

8
00:00:24,110 --> 00:00:27,790
en zoals je je wel kan voorstellen, de 45-45-90, dit zijn eigenlijk

9
00:00:27,790 --> 00:00:30,910
de graden van de hoeken van een driehoek.

10
00:00:30,910 --> 00:00:33,220
Dus waarom zijn deze driehoeken speciaal?

11
00:00:33,220 --> 00:00:35,720
Nou, als je de vorige presentatie gezien had die ik je heb gegeven

12
00:00:35,720 --> 00:00:43,950
over de wiskundige stelling, dat als je twee van de basis hoeken

13
00:00:43,950 --> 00:00:49,000
van een driehoek gelijk zijn, en het is alleen een basishoek

14
00:00:49,000 --> 00:00:49,800
als je het zo tekent

15
00:00:49,800 --> 00:00:51,830
Je kunt het ook zo tekenen, in dit geval is het misschien niet zo

16
00:00:51,830 --> 00:00:55,410
duidelijk dat dit een basishoek is, maar het is nog steeds waar.

17
00:00:55,410 --> 00:00:58,520
Als deze twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de zijden

18
00:00:58,520 --> 00:01:02,000
dat ze niet delen, dus deze zijde en deze zijde in dit voorbeeld

19
00:01:02,000 --> 00:01:05,280
of deze zijde en deze zijn in dit voorbeeld, dan

20
00:01:05,280 --> 00:01:07,050
zullen de twee zijden gelijk zijn.

21
00:01:07,050 --> 00:01:11,140
Dus wat er zo interessant is aan 45-45-90 driehoeken

22
00:01:11,140 --> 00:01:13,900
is dat dit is een rechthoekige driehoek met de gegeven eigenschap

23
00:01:13,900 --> 00:01:16,400
En hoe weten we dat dit de enige rechthoekige driehoek is

24
00:01:16,400 --> 00:01:17,690
dat deze eigenschap bevat?

25
00:01:17,690 --> 00:01:20,790
Nou, je zou jezelf een wereld kunnen voorstellen waar ik je vertelde dat

26
00:01:20,790 --> 00:01:24,140
dit een rechthoekige driehoek is.

27
00:01:24,140 --> 00:01:28,030
Dit is 90 graden, en dit is de schuine zijde.

28
00:01:28,030 --> 00:01:32,140
Dit klopt, het is de zijde tegenover de hoek met 90 graden.

29
00:01:32,140 --> 00:01:36,780
En als ik je zou vertellen dat deze twee hoeken gelijk zijn

30
00:01:36,780 --> 00:01:39,640
aan elkaar, wat zouden deze hoeken dan moeten zijn?

31
00:01:39,640 --> 00:01:42,840
Nou als we deze twee hoeken "X" noemen

32
00:01:42,840 --> 00:01:44,410
we weten dat hoeken in een driehoek bij elkaar op 180 moeten uitkomen

33
00:01:44,410 --> 00:01:49,220
Dus we kunnen zeggen "X" + "X" - dit is 90 -

34
00:01:49,220 --> 00:01:52,650
+ 90 is gelijk aan 180

35
00:01:52,650 --> 00:01:57,950
Of 2X + 90 = 180

36
00:01:57,950 --> 00:02:01,260
Of 2X = 90

37
00:02:01,260 --> 00:02:05,500
Of X = 45 graden

38
00:02:05,500 --> 00:02:10,180
Dus de enige rechthoekige driehoek waarin de andere twee hoeken

39
00:02:10,180 --> 00:02:17,990
gelijk zijn is een 45-45-90 driehoek

40
00:02:17,990 --> 00:02:22,680
Dus wat is er zo interessant aan een 45-45-90 driehoek?

41
00:02:22,680 --> 00:02:27,160
Nou behalve dat wat ik je net verteld heb - ik zal het hertekenen.

42
00:02:27,160 --> 00:02:29,180
Ik zal het hertekenen op deze manier.

43
00:02:29,180 --> 00:02:35,190
We weten dus dat dit 90 graden is, dit is 45 graden,

44
00:02:35,190 --> 00:02:37,320
dit is 45 graden.

45
00:02:37,320 --> 00:02:40,370
Op basis van wat ik je net verteld heb, weten we ook dat

46
00:02:40,370 --> 00:02:45,850
de zijden dat de hoeken met 45 graden niet delen, gelijk zijn

47
00:02:45,850 --> 00:02:49,560
Deze zijde is gelijk aan deze zijde.

48
00:02:49,560 --> 00:02:52,080
En als we het bekijken aan de hand van de stelling van Pythagoras

49
00:02:52,080 --> 00:02:55,240
dan vertelt dit ons dat de twee zijden dat niet

50
00:02:55,240 --> 00:02:57,710
schuinhoekig zijn, gelijk zijn aan elkaar.

51
00:02:57,710 --> 00:02:58,396
Dit is de schuine zijde

52
00:02:58,400 --> 00:03:03,660
.

53
00:03:03,660 --> 00:03:09,500
Laten we deze zijde A noemen en deze zijde B.

54
00:03:09,500 --> 00:03:11,360
We weten aan de hand van de stelling van Pythagoras,

55
00:03:11,360 --> 00:03:14,880
laten we zeggen de schuine zijde is gelijk aan C, de stelling

56
00:03:14,880 --> 00:03:21,380
vertelt ons dat A² + B² = C²

57
00:03:21,380 --> 00:03:21,863
Toch?

58
00:03:21,863 --> 00:03:24,720
.

59
00:03:24,872 --> 00:03:26,620
We weten dat A = B, want dit is een

60
00:03:26,620 --> 00:03:30,070
45-45-90 driehoek

61
00:03:30,070 --> 00:03:32,010
We kunnen A door B vervangen of B door A

62
00:03:32,010 --> 00:03:34,580
Maar laten we B door A vervangen.

63
00:03:34,580 --> 00:03:38,960
We kunnen dus zeggen B² +B²

64
00:03:38,960 --> 00:03:41,530
= C²

65
00:03:41,530 --> 00:03:47,490
Of 2B² = C²

66
00:03:47,490 --> 00:03:54,940
Of B² = C² ÷ 2

67
00:03:54,940 --> 00:04:03,640
Of B = √ C² ÷ 2

68
00:04:03,640 --> 00:04:06,530
wat gelijk is aan C, omdat we net

69
00:04:06,530 --> 00:04:09,130
de wortel van de teller en de wortel van de noemer

70
00:04:09,130 --> 00:04:10,570
C ÷ √ van 2

71
00:04:10,570 --> 00:04:15,250
En uiteindelijk, ook al is dit een presentatie over driehoeken,

72
00:04:15,250 --> 00:04:17,630
zal ik je een extra beetje informatie geven

73
00:04:17,630 --> 00:04:19,930
over wat we noemen het opheffen van breuken

74
00:04:19,930 --> 00:04:21,269
Dit is helemaal correct.

75
00:04:21,269 --> 00:04:25,950
We zijn net beland bij B en we weten ook dat A = B, maar

76
00:04:25,950 --> 00:04:29,510
dat B = C ÷ √2

77
00:04:29,510 --> 00:04:31,820
het blijkt dat in de meeste gevallen van wiskunde,

78
00:04:31,820 --> 00:04:34,780
ik heb nooit helemaal begrepen waarom dit het geval was,

79
00:04:34,780 --> 00:04:37,870
mensen houden niet van √ (de wortel) in een breuk

80
00:04:37,870 --> 00:04:40,720
Of ze houden in het algemeen niet van "irrationele getallen"

81
00:04:40,720 --> 00:04:41,140
in een noemer

82
00:04:41,140 --> 00:04:45,030
"irrationele getallen" zijn getallen dat decimalen bevat

83
00:04:45,030 --> 00:04:46,920
die nooit herhalen en nooit eindigen

84
00:04:46,920 --> 00:04:49,870
dus de manier waarop ze de "irrationele getallen" weghalen

85
00:04:49,870 --> 00:04:52,230
in de noemer is het opheffen van de noemer

86
00:04:52,230 --> 00:04:53,570
in de noemer is het opheffen van de noemer

87
00:04:53,570 --> 00:04:55,456
De manier waarop je een noemer opheft

88
00:04:55,456 --> 00:04:56,110
is,...laten we er een voorbeeld bij pakken.

89
00:04:56,110 --> 00:05:00,640
Als we C ÷ √2

90
00:05:00,640 --> 00:05:03,200
zowel de teller als de noemer met

91
00:05:03,200 --> 00:05:05,130
dezelfde nummer, toch?

92
00:05:05,130 --> 00:05:08,120
Want als je de teller en de noemer vermenigvuldig

93
00:05:08,120 --> 00:05:11,280
met dezelfde nummer, dan is het alsof je het vermenigvuldig met 1

94
00:05:11,280 --> 00:05:13,680
De wortel van 2 gedeeld door de wortel van 2 is 1.
√2 ÷ √2 = 1

95
00:05:13,680 --> 00:05:15,530
En zoals je ziet, de reden waarom we dit doen is

96
00:05:15,530 --> 00:05:17,020
de wortel van 2 vermenigvuldigd met 2,
√2 × √ 2

97
00:05:17,020 --> 00:05:19,040
wat is de wortel van 2 vermenigvuldigd met 2?
√2 × √2

98
00:05:19,040 --> 00:05:20,220
Natuurlijk, het is 2.

99
00:05:20,220 --> 00:05:21,030
Toch?

100
00:05:21,030 --> 00:05:23,930
We hebben net gezegd, iets keer iets is 2,

101
00:05:23,930 --> 00:05:25,990
de wortel van 2 × de wortel van 2 zal zijn 2.
(√2 × √2 = 2)

102
00:05:25,990 --> 00:05:31,010
En de teller is C × √2 ÷ 2

103
00:05:31,010 --> 00:05:34,420
Merk op dat C × √2 ÷ 2 is hetzelfde

104
00:05:34,420 --> 00:05:37,150
als C ÷ √2

105
00:05:37,150 --> 00:05:39,520
dit is erg belangrijk om je te realiseren, want soms

106
00:05:39,520 --> 00:05:41,090
als je een oefen test maakt

107
00:05:41,090 --> 00:05:44,190
of je doet een test in de klas, dan kun je een antwoord krijgen

108
00:05:44,190 --> 00:05:46,320
dat lijkt op dit, het heeft een √2, of misschien alleen een

109
00:05:46,320 --> 00:05:49,550
√3 of wat dan ook, in de noemer.

110
00:05:49,550 --> 00:05:51,420
En je zult dan niet je antwoord zien bij een

111
00:05:51,420 --> 00:05:52,750
meerkeuze vraag.

112
00:05:52,750 --> 00:05:55,710
Wat je moet doen in zo'n geval is de noemer vereenvoudigen.

113
00:05:55,710 --> 00:05:57,990
Vermenigvuldig de teller en de noemer met

114
00:05:57,990 --> 00:06:01,470
√ 2 en je krijgt √ 2 ÷ 2

115
00:06:01,470 --> 00:06:03,250
Hoe dan ook, terug naar onze opgave.

116
00:06:03,250 --> 00:06:04,450
Wat hebben we geleerd?

117
00:06:04,450 --> 00:06:06,880
Dit is gelijk aan B, toch?

118
00:06:06,880 --> 00:06:11,240
Het blijkt dat B = C × √ 2 ÷ 2

119
00:06:11,240 --> 00:06:13,420
B = C × √ 2 ÷ 2

120
00:06:13,420 --> 00:06:14,410
Laat me dat opschrijven.

121
00:06:14,410 --> 00:06:18,760
We weten dat A = B toch?

122
00:06:18,760 --> 00:06:27,610
en dat = √ 2 ÷ 2 × C.

123
00:06:27,610 --> 00:06:29,680
Misschien is het beter om dit te onthouden, hoewel je

124
00:06:29,680 --> 00:06:32,440
altijd dit kan vereenvoudigen, als je de stelling van Pythagoras gebruikt.

125
00:06:32,440 --> 00:06:35,720
Onthoud dat de zijden dat niet de schuine zijde is

126
00:06:35,720 --> 00:06:40,110
in een 45-45-90 driehoek, gelijk zijn aan elkaar.
A B = C

127
00:06:40,110 --> 00:06:41,370
Maar dit is erg goed om te weten.

128
00:06:41,370 --> 00:06:44,645
Want als, je de examens doet en je moet snel

129
00:06:44,645 --> 00:06:48,180
een opgave oplossen, en je hebt dit
uit je hoofd geleerd

130
00:06:48,180 --> 00:06:49,943
en iemand geeft je de schuine zijde, dan kun je heel snel

131
00:06:49,943 --> 00:06:51,890
weten wat de andere zijden zijn, of als iemand je de andere zijde geeft

132
00:06:51,890 --> 00:06:54,100
dan kun je heel snel de schuine zijde vinden.

133
00:06:54,100 --> 00:06:56,290
Laten we dat uitproberen.

134
00:06:56,290 --> 00:06:59,250
Ik zal alles uitwissen.

135
00:06:59,250 --> 00:07:06,060
We hebben net geleerd dat

136
00:07:06,060 --> 00:07:10,210
A = B = √2 ÷ 2 × C

137
00:07:10,210 --> 00:07:16,220
Dus als ik je een rechthoekige driehoek geef, en ik

138
00:07:16,220 --> 00:07:23,760
vertelde je dat deze hoek 90 graden is en deze 45

139
00:07:23,760 --> 00:07:28,570
en dat deze zijde is 8

140
00:07:28,570 --> 00:07:32,670
dan wil ik te weten komen wat deze zijde is.

141
00:07:32,670 --> 00:07:34,590
Allereerst, laten we uitrekenen welke zijde

142
00:07:34,590 --> 00:07:35,500
de schuine zijde is.

143
00:07:35,500 --> 00:07:39,620
De schuine zijde is het tegenovergestelde van de rechtehoekige hoek.

144
00:07:39,620 --> 00:07:42,060
We gaan nu dus de schuine zijde bepalen.

145
00:07:42,060 --> 00:07:44,640
Laten we de schuine zijde C noemen.

146
00:07:44,640 --> 00:07:47,560
En we weten dat dit een 45-45-90 driehoek is, toch?

147
00:07:47,560 --> 00:07:50,180
Want deze hoek is 45, dus deze is moet ook 45 zijn,

148
00:07:50,180 --> 00:07:54,620
want 45 + 90 + 90 = 180.

149
00:07:54,620 --> 00:07:58,840
Dit is dus een 45-45-90 driehoek, en we weten dat een van de zijden

150
00:07:58,840 --> 00:08:05,880
dit kan zowel A als B zijn, we weten dat 8 = √2 ÷ 2 × C

151
00:08:05,880 --> 00:08:10,030
8 = √2 ÷ 2 × C

152
00:08:10,030 --> 00:08:12,160
C is wat we proberen op te lossen.

153
00:08:12,160 --> 00:08:16,400
Dus als we beide zijden vermenigvulden met deze formule

154
00:08:16,400 --> 00:08:22,010
met 2× √2, - ik ben gewoon aan het vermenigvuldigen

155
00:08:22,010 --> 00:08:23,600
met the inverse of the coefficient on C.

156
00:08:23,600 --> 00:08:25,750
Want de √ 2 heft de √2 op

157
00:08:25,750 --> 00:08:28,430
deze 2 heft zichzelf op met deze 2.

158
00:08:28,430 --> 00:08:37,640
We krijgen 2 × 8, 16 ÷ √2 = C

159
00:08:37,640 --> 00:08:40,200
Wat klopt, maar zoals ik je liet zien, mensen

160
00:08:40,200 --> 00:08:42,120
houden niet van irrationele getallen in de noemer.

161
00:08:42,120 --> 00:08:46,250
Dus we kunnen zeggen C = 16 ÷ √2 × √2 ÷ √2

162
00:08:46,250 --> 00:08:51,290
C = 16 √2 × √2 ÷ √2

163
00:08:51,290 --> 00:08:58,790
Dit = 16 √2 ÷ 2

164
00:08:58,790 --> 00:09:04,330
Wat hetzelfde is als 8 √2

165
00:09:04,330 --> 00:09:10,170
C in dit geval is 8 √2

166
00:09:10,170 --> 00:09:13,790
We weten ook dat, dit een 45-45-90 driehoek is,

167
00:09:13,790 --> 00:09:16,700
deze zijde is 8

168
00:09:16,700 --> 00:09:17,940
Hopelijk is dit duidelijk.

169
00:09:17,940 --> 00:09:19,740
In de volgende presentatie laat ik

170
00:09:19,740 --> 00:09:20,680
verschillende types
driehoeken zien.

171
00:09:20,680 --> 00:09:22,900
Ik kan ook starten met meer voorbeelden

172
00:09:22,900 --> 00:09:25,080
van dit, want ik heb het gevoel dat ik dit iets te gehaast heb gedaan.

173
00:09:25,080 --> 00:09:28,450
In ieder geval, ik zie je snel in de volgende presentatie.