Приветствам те в лекцията за триъгълници 45-45-90.
Нека запиша това.
Защо химикалът... О, ето го.
Триъгълници 45-45-90.
Можем да кажем и правоъгълни триъгълници 45-45-90, но това е излишно,
защото знаем, че всеки ъгъл от 90 градуса
е в правоъгълен триъгълник.
Предполагам, че се досещаш, че 45-45-90 са фактически
градусите на ъглите на триъгълника.
Защо тези триъгълници са специални?
Ако видиш последното видео, в което направих
малка теорема, която показва, че ако тези два ъгъла при основата
на триъгълника са равни... това предполагам е само ъгъл
при основата, ако го начертаеш така.
Можеш да го начертаеш така, в този случай може би не е
очевидно, че това е ъгъл при основата, но все пак е вярно.
Ако тези два ъгъла са равни, то страните, които не
са общи... тази страна и тази страна в този пример, или
тази страна и тази страна в този пример... то тези две страни
ще бъдат равни.
Интересното за триъгълниците 45-45-90 е,
че правоъгълните триъгълници имат това свойство.
И как знаем, чe само правоъгълния триъгълник
има това свойство?
Можеш да си представиш ситуация, в която ти казвам, че
това е правоъгълен триъгълник.
Това е 90 градуса, така че това е хипотенузата.
Това е срещу 90-градусовия ъгъл.
Ако ти кажа, че тези два ъгъла са равни
един на друг, какви ще бъдат тези двата ъгъла?
Да наречем тези два ъгъла х,
знаем, че ъглите във всеки триъгълник са общо 180 градуса.
Да речем, че х плюс х плюс... това е 90...
плюс 90 е равно на 180.
Или 2х + 90 е равно на 180.
Или 2х е равно на 90.
Или х е равно на 45 градуса.
Единственият правоъгълен триъгълник, в който другите два ъгъла са равни,
е триъгълника 45-45-90.
Кое е интересното за триъгълника 45-45-90?
Освен това, което вече казах... ще го начертая пак.
Ще го начертая така.
Както вече знаем, това е 90 градуса, това е 45 градуса,
и това е 45 градуса.
На базата на това, което казах преди малко, знаем че
страните на 45-градусовите ъгли, които не са общо рамо за тях, са равни.
Така тази страна е равна на тази.
Ако разгледаме от гледна точка на питагоровата теорема,
това показва, че двете страни, които не са хипотенуза,
са равни.
Това е хипотенуза.
Да наречем тази страна А, а тази В.
Знаем, че от питагоровата теорема... да речем, че
хипотенузата е равна на С... Питагоровата теорема ни показва, че
А на квадрат плюс В на квадрат е равно на С на квадрат.
Нали така?
Добре, знаем, че А е равно на В, защото това е
триъгълник 45-45-90.
Можем да заместим А с В или В с А.
Но нека просто да заместим А с В.
Можем да кажем, че В на квадрат плюс В на квадрат е
равно на С на квадрат.
Или 2В на квадрат е равно на С на квадрат.
Или че В на квадрат е равно на С на квадрат върху 2.
Или В е равно на квадратен корен от С на квадрат върху 2.
Което е равно на С... намираме квадратния корен от
числителя и квадратния корен от знаменателя...
С върху квадратен корен от 2.
И всъщност, въпреки че това видео е за триъгълници,
ще ти дам малко повече информация
за нещо, наречено рационализиране на знаменателя.
Това е абсолютно вярно.
Стигнахме до В... и също така знаем, че А е равно на В...
че В е равно на С делено на квадратен корен от 2.
Излиза, че в математиката, така и не разбрах
защо е точно така, но хората
не обичат квадратен корен от 2 в знаменателя.
Или като цяло не харесват ирационални числа
в знаменателя.
Ирационалните числа са числа, които имат цифри след десетичната запетая,
които не се повтарят и никога не свършват.
Начинът, по който се отърваваме от ирационалните числа в
знаменателя е това, което понякога наричаме рационализация
на знаменателя.
Начинът, по който рационализираш знаменателя...
да вземем нашия пример сега.
Ако имаме С върху квадратен корен от 2, просто умножаваме
и числителя и знаменателя по
едно и също число, нали?
Защото, когато умножим числителя и знаменателя
по едно и също число, все едно умножаваме по 1.
Квадратен корен от 2 върху квадратен корен от 2 е 1.
Както виждаш, причината да направим това е, защото
квадратен корен от 2 по квадратен корен от 2 е...
Колко е квадратен корен от 2 по квадратен корен от 2?
Това е 2.
Нали?
Току-що казахме, че нещо по нещо е 2. Добре, квадратен корен от 2
по квадратен корен от 2, това е 2.
И после числителят е С по квадратен корен от 2.
Забележи, че С по квадратния корен от 2 върху 2 е същото
като С върху квадратен корен от 2.
Това е важно да се разбере, защото понякога
докато правиш стандартен тест или
тест в час, може да получиш отговор, който изглежда така,
има квадратен корен от 2 или може би дори квадратен корен
от 3 или нещо такова, в знаменателя.
Може да видиш отговора, ако е въпрос
с избор от дадени варианти за отговор.
В такъв случай, трябва да рационализираш знаменателя.
Умножаваш числителя и знаменателя по
квадратен корен от 2 и ще получиш квадратен корен от 2 върху 2.
Но нека да се върнем на нашата задача.
Какво намерихме?
Това е равно на В. Нали?
Излиза, че В е равно на С по
квадратен корен от 2 върху 2.
Ще запиша това.
Знаем, че А е равно на В, нали?
Това е равно на квадратния корен от 2 върху 2 по С.
Може да запаметиш това, въпреки че винаги
може да го изведеш с помощта на питагоровата теорема и
помни, че страните, които не са хипотенузата в
триъгълник 45-45-90, са равни.
Но това е добре да се знае.
Защото ако, да речем, се явиш на изпита SAT и трябва да решиш
задача много бързо , ако помниш това и някой
ти даде хипотенузата, ще намериш много бързо
страните. Или ако ти дадат едната от страните,
може да намериш хипотенузата много бързо.
Да пробваме.
Ще изтрия всичко.
Научихме току-що, че А е равно на В, е равно на
квадратен корен от 2 върху 2 по С.
Ако ти дам правоъгълен триъгълник и ти кажа,
че този ъгъл е 90 градуса, а този ъгъл е 45, а тази страна е...
да кажем, че тази страна е 8.
Искам да намеря тази страна.
Първо ще намеря коя страна
е хипотенузата.
Хипотенузата е страната срещу правия ъгъл.
Опитваме се да намерим хипотенузата.
Да наречем хипотенузата С.
Също така знаем, че това е триъгълник 45-45-90, нали?
Понеже този ъгъл е 45, този също трябва да е 45,
защото 45 плюс 45 плюс 90 е равно на 180.
Това е триъгълник 45-45-90, а ние знаем, че една от страните...
тази страна е А или В... знаем, че 8 е равно на
квадратен корен от 2 върху 2 по С.
С е това, което търсим.
Ако умножим двете страни на уравнението по 2 по
квадратен корен от 2... просто умножавам по реципрочното
на коефицента на С.
Понеже квадратният корен от 2 се съкращава с квадратния корен от 2,
това 2 се съкращава с това 2.
Получаваме 2 по 8, което е 16, върху квадратен корен от 2, е равно на С.
Което е вярно, но както ти показах, хората
не обичат корени в знаменателя.
Можем просто да кажем, че С е равно на 16 върху квадратен корен от 2
по квадратен корен от 2 върху квадратен корен от 2.
Това е равно на 16 по квадратен корен от 2, цялото върху 2.
Което е същото като 8 по квадратен корен от 2.
Така С в този пример е 8 по квадратен корен от 2.
Също така знаем, че тъй като това е триъгълник 45-45-90,
тази страна е 8.
Надявам се, че това ти е ясно.
В следващото видео ще ти покажа
различен тип триъгълник.
Всъщност, може дори да започна с още няколко примера,
защото усещам, че малко поизбързахме.
Но, както и да е, ще се видим скоро в следващото видео.