1
00:00:01,888 --> 00:00:09,539
In questo video faremo qualche esempio per esercitarci con le congetture e contro-esempi

2
00:00:09,677 --> 00:00:17,844
Vediamo l'esempio A: c'è un'equazione algebrica e una serie di valori per 'n' che corrispondono a 't'

3
00:00:18,044 --> 00:00:20,449
Fate attenzione siamo partiti da questa equazione

4
00:00:25,557 --> 00:00:28,717
e ora abbiamo una serie di valori, che possiamo organizzare in una tabella

5
00:00:30,317 --> 00:00:39,352
divisa in tre parti: nella prima troviamo i valori per 'n', poi tutte le operazioni che stanno in mezzo, quindi il nostro risultato per 't'

6
00:00:39,352 --> 00:00:43,383
Dopo aver osservato la tabella, Pablo esprime la seguente congettura

7
00:00:43,383 --> 00:00:53,391
il valore di ('n'-1)('n'-2)('n'-3, in altre parole, 't' è uguale a zero per ogni operazione con 'n'

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00:00:53,391 --> 00:00:58,938
Sta quindi dicendo che qualunque sia il numero alla sinistra di 'n'

9
00:00:58,938 --> 00:01:02,002
il mio risultato finale sarà sempre uguale a zero

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00:01:02,002 --> 00:01:05,269
perché questo è quello che succede nei primi tre esempi e quindi è probabile che accada sempre.

11
00:01:05,269 --> 00:01:09,902
Allora la domanda da porsi è: è vera o valida questa congettura?

12
00:01:09,902 --> 00:01:14,809
Dunque, se fosse vera significa che lo sarebbe per ogni numero che si sostituisce a 'n'

13
00:01:14,809 --> 00:01:19,133
Quindi possiamo metterci 100 e il risultato per 't' dovrebbe sempre essere uguale a zero

14
00:01:19,133 --> 00:01:25,501
Proviamo con 100. Diciamo che 'n'=100

15
00:01:25,501 --> 00:01:31,078
Stiamo cercando di verificare che 't' sia zero.

16
00:01:31,324 --> 00:01:39,119
Allora avremo: (100-1)(100-2)(100-3).

17
00:01:39,442 --> 00:01:41,283
100-1 is 99.

18
00:01:41,683 --> 00:01:43,660
Poi abbiamo per 98,

19
00:01:43,937 --> 00:01:45,579
e per 97.

20
00:01:45,949 --> 00:01:49,191
Ora, so benissimo che la soluzione non equivale a zero,

21
00:01:49,191 --> 00:01:55,234
perché per avere un risultato pari a zero dovremmo poter moltiplicare almeno una delle operazioni per zero.

22
00:01:55,234 --> 00:02:01,534
Quindi questo numero non è uguale a zero. Sarà un numero grande, di sicuro non uguale a zero.

23
00:02:01,711 --> 00:02:06,371
Il che significa che la nostra congettura non è valida.

24
00:02:07,140 --> 00:02:15,396
Non è valida e quello che ho appena fatto per testarla, ovvero 'n' uguale a 100, è un contro esempio.

25
00:02:15,642 --> 00:02:21,014
Perché è un esempio specifico che mostra come la congettura di Pablo sia sbagliata.

26
00:02:21,014 --> 00:02:28,504
Per fare un altro esempio: in quell'espressione posso mettere 100 al posto di 't' e la soluzione non è pari a zero. Quindi lui si sbaglia.

27
00:02:28,504 --> 00:02:33,195
Quindi un contro-esempio è semplicemente un esempio che dimostra che qualcuno si sbaglia.

28
00:02:33,195 --> 00:02:38,808
Quel prefisso "contro" significa andare contro le regole.

29
00:02:39,023 --> 00:02:42,072
Bene, passiamo all'esempio B:

30
00:02:43,241 --> 00:02:49,121
'Arthur sta preparando delle immagini per un progetto di arte grafica. Ha disegnato dei poligoni e alcune diagonali al loro interno".

31
00:02:49,275 --> 00:02:55,714
Abbiamo quattro esempi, su questi Arthur ha costruito la sua congettura:

32
00:02:55,714 --> 00:03:04,977
'Se un poligono convesso ha 'n' lati, allora ci potranno disegnare 'n'-2 triangoli da un qualunque vertice del poligono'.

33
00:03:04,977 --> 00:03:10,522
Cerchiamo di capire cosa significa. Sta dicendo che se il poligono ha 'n' lati,

34
00:03:10,522 --> 00:03:15,395
per esempio, se 'n' equivale a 3, tre lati,

35
00:03:15,765 --> 00:03:17,307
quattro lati,

36
00:03:17,768 --> 00:03:19,631
cinque lati,

37
00:03:20,462 --> 00:03:21,702
sei lati,

38
00:03:21,778 --> 00:03:26,387
Lui sostiene che ci saranno sempre n-2 triangoli.

39
00:03:26,387 --> 00:03:36,625
Facciamo un esempio. Se 'n' è uguale a cinque, 5-2 fa 3, quindi lui dice ci saranno 3 triangoli: uno, due, tre.

40
00:03:36,625 --> 00:03:42,909
E nella successiva che ci saranno quattro triangoli, ovvero 6-2.

41
00:03:42,909 --> 00:03:49,726
A questo punto la domanda è: la congettura di Arthur è corretta? Siete capaci di costruire un contro esempio per testarla?

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00:03:49,726 --> 00:03:55,910
La congettura appare valida sui quattro esempi.

43
00:03:55,910 --> 00:04:02,510
E potremmo anche farne altri e verrebbe fuori che provando con altri esempi rimarrebbe valida,

44
00:04:02,510 --> 00:04:08,061
eppure non ne avreste ancora dimostrato la validità, perché è sempre possibile che

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00:04:08,061 --> 00:04:14,227
ci sia anche un solo esempio che non abbiate pensato. Ovvero il contro-esempio a quella congettura.

46
00:04:14,227 --> 00:04:15,973
Quello che dovremmo chiederci è:

47
00:04:15,973 --> 00:04:19,765
la sua congettura appare vera,

48
00:04:22,411 --> 00:04:24,496
ma deve ancora essere testata.

49
00:04:26,694 --> 00:04:35,403
Osservare gli esempi non ci autorizza a pensare che la congettura sia vera e resti sempre vera.