In questo video faremo qualche esempio per esercitarci con le congetture e contro-esempi
Vediamo l'esempio A: c'è un'equazione algebrica e una serie di valori per 'n' che corrispondono a 't'
Fate attenzione siamo partiti da questa equazione
e ora abbiamo una serie di valori, che possiamo organizzare in una tabella
divisa in tre parti: nella prima troviamo i valori per 'n', poi tutte le operazioni che stanno in mezzo, quindi il nostro risultato per 't'
Dopo aver osservato la tabella, Pablo esprime la seguente congettura
il valore di ('n'-1)('n'-2)('n'-3, in altre parole, 't' è uguale a zero per ogni operazione con 'n'
Sta quindi dicendo che qualunque sia il numero alla sinistra di 'n'
il mio risultato finale sarà sempre uguale a zero
perché questo è quello che succede nei primi tre esempi e quindi è probabile che accada sempre.
Allora la domanda da porsi è: è vera o valida questa congettura?
Dunque, se fosse vera significa che lo sarebbe per ogni numero che si sostituisce a 'n'
Quindi possiamo metterci 100 e il risultato per 't' dovrebbe sempre essere uguale a zero
Proviamo con 100. Diciamo che 'n'=100
Stiamo cercando di verificare che 't' sia zero.
Allora avremo: (100-1)(100-2)(100-3).
100-1 is 99.
Poi abbiamo per 98,
e per 97.
Ora, so benissimo che la soluzione non equivale a zero,
perché per avere un risultato pari a zero dovremmo poter moltiplicare almeno una delle operazioni per zero.
Quindi questo numero non è uguale a zero. Sarà un numero grande, di sicuro non uguale a zero.
Il che significa che la nostra congettura non è valida.
Non è valida e quello che ho appena fatto per testarla, ovvero 'n' uguale a 100, è un contro esempio.
Perché è un esempio specifico che mostra come la congettura di Pablo sia sbagliata.
Per fare un altro esempio: in quell'espressione posso mettere 100 al posto di 't' e la soluzione non è pari a zero. Quindi lui si sbaglia.
Quindi un contro-esempio è semplicemente un esempio che dimostra che qualcuno si sbaglia.
Quel prefisso "contro" significa andare contro le regole.
Bene, passiamo all'esempio B:
'Arthur sta preparando delle immagini per un progetto di arte grafica. Ha disegnato dei poligoni e alcune diagonali al loro interno".
Abbiamo quattro esempi, su questi Arthur ha costruito la sua congettura:
'Se un poligono convesso ha 'n' lati, allora ci potranno disegnare 'n'-2 triangoli da un qualunque vertice del poligono'.
Cerchiamo di capire cosa significa. Sta dicendo che se il poligono ha 'n' lati,
per esempio, se 'n' equivale a 3, tre lati,
quattro lati,
cinque lati,
sei lati,
Lui sostiene che ci saranno sempre n-2 triangoli.
Facciamo un esempio. Se 'n' è uguale a cinque, 5-2 fa 3, quindi lui dice ci saranno 3 triangoli: uno, due, tre.
E nella successiva che ci saranno quattro triangoli, ovvero 6-2.
A questo punto la domanda è: la congettura di Arthur è corretta? Siete capaci di costruire un contro esempio per testarla?
La congettura appare valida sui quattro esempi.
E potremmo anche farne altri e verrebbe fuori che provando con altri esempi rimarrebbe valida,
eppure non ne avreste ancora dimostrato la validità, perché è sempre possibile che
ci sia anche un solo esempio che non abbiate pensato. Ovvero il contro-esempio a quella congettura.
Quello che dovremmo chiederci è:
la sua congettura appare vera,
ma deve ancora essere testata.
Osservare gli esempi non ci autorizza a pensare che la congettura sia vera e resti sempre vera.